廣東省中山市中山紀念中學(528454)汪晶晶

在歷年的中考數(shù)學中,矩形折疊問題常常受到出題人的青睞,以廣東省中考為例,近五年有四年考查(見表1).原因在于矩形是特殊的平行四邊形,在初中數(shù)學教材中處于非常重要的地位,不僅是前面三角形知識的延續(xù),而且是后續(xù)學習圓等其它知識的基礎.此外,矩形折疊問題不僅包含豐富的知識點,而且蘊含重要的數(shù)學思想方法,是對學生知識、能力和思維的綜合考查.以矩形折疊問題開展專題復習,能夠促進學生基礎知識、基本技能、基本思想、基本活動經(jīng)驗的發(fā)展,從而發(fā)展核心素養(yǎng).

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生長型數(shù)學專題復習是指圍繞某個核心知識點(重點、難點、疑點)或某個問題(基本問題、基本圖形、基本思想、基本方法),運用變式、拓展、延伸產(chǎn)生知識、方法、思維、經(jīng)驗生長鏈,形成核心知識間的結構關系,揭示出解決問題的規(guī)律和方法,領悟數(shù)學思想方法,積累數(shù)學活動經(jīng)驗,提升數(shù)學思維品質.生長型數(shù)學專題復習不只是數(shù)學知識內部再生長,內容重構重組,也是思想方法經(jīng)驗積累式生長、學生思維的遞進式生長,更是思維品質、生命品質的生長[1].近期,筆者上了一節(jié)“矩形折疊問題”生長型數(shù)學專題復習課,希望各位同行批評指正.

一、“矩形折疊問題”課例分析

課前學生準備好一張矩形紙片,在課堂上動手折疊.

問題1如圖1,有一張矩形紙片ABCD,AB= 6,AD=8,你能折疊出面積最大的正方形嗎？

圖1

圖2

如圖2,學生折疊矩形紙片得出答案,教師進一步追問：(1)為什么四邊形ABFE是正方形？(2)你能根據(jù)已知條件,求出哪些線段的長度？

分析此題改編自人教2013 版義務教育教科書八年級數(shù)學下冊59頁練習第1 題.作為基本問題,是本節(jié)課的“生長源”.此題的起點低,為后續(xù)的生長提供了空間.在教學中,學生都能夠完成,不僅激發(fā)學生學習興趣,而且充分尊重每一個生命個體.學生通過動手折疊,積累基本活動經(jīng)驗.教師通過追問,促進學生理解,使“生長源”不斷向下扎根,加深“生長源”在學生頭腦中的印象,形成解題模型,積累“生長源”.

問題2如圖3,繼續(xù)在剩下的矩形紙片按上述操作折疊,求A、H兩點間的距離.

圖3

教師進一步追問：以此操作繼續(xù)下去,最終能得到幾個正方形,邊長分別是多少？

分析此題是2017年廣東省中考的第16 題,不僅是“生長源”的變式,而且在問題1 的基礎上生長.求兩點間的距離,即是求兩點間線段的長度,將此線段放在直角三角形中,利用勾股定理求得,促進學生求兩點間距離方法的生長.繼續(xù)操作下去,體現(xiàn)極限思想,促進學生思維的生長.

問題3如圖4,在矩形紙片ABCD中,AB=6,BC=8,將紙片折疊,使得點B落在對角線AC上的E處,折痕為AF,求BF的長.

圖4

問題4若AB= 6,點E恰好為AC中點,則BF=____.

問題5若AB=6,BC=3BF,則BF=____.

分析問題3,將原來的矩形紙片的寬折疊至對角線處,求BF 的長.此題需要設未知數(shù),利用勾股定理列方程.問題5 是2016年廣東省中考第15 題的改編,問題3 是在問題1的基礎上生長,而問題4 和問題5 是在問題3 的基礎上生長,使其特殊化.問題4 和問題5 均要用到“直角三角形中,如果一條直角邊等于斜邊的一半,那么這條直角邊所對的角是30°”這一重要知識點或者是銳角三角函數(shù)知識.因此,這三個問題串,在“生長源”的基礎上,生長了知識鏈,同時方法鏈也得到生長.學生體會到方程思想,化歸思想,以及一般到特殊思想,思維鏈也得到生長.學生積累了矩形折疊問題的解題經(jīng)驗,生長了經(jīng)驗鏈.

問題6如圖5,先將矩形紙片ABCD沿三等分線折疊后得到折痕MN,再將紙片折疊,使得點B落在折痕MN上E處,折痕為AF,求BF的長.

圖5

圖6

分析問題6 是將寬折疊,使點B落在三等分線處.此題有一定的難度,利用之前的方法不能得以解決.需要過點E作AD邊的垂線,構造兩個直角三角形,利用R t△AGE～R t△EHF求得.因此,這個問題使學生的知識鏈、方法鏈都得到生長,學生的思維也進一步生長為高階思維,再一次積累了解題經(jīng)驗,生長經(jīng)驗鏈.在此,學生跨越了一個生長“結點”,雖然經(jīng)歷了生長的痛苦,但更多的是體驗到生長的快樂與欣喜.

問題7本節(jié)課研究思路怎樣？引導學生從知識、方法、思想、經(jīng)驗等方面進行梳理歸納,然后教師用思維導圖形式呈現(xiàn)小結.

分析從生長理念引導學生自主梳理、歸納本節(jié)課核心內容與方法,使知識、方法、經(jīng)驗、思維結構化、直觀化,有利于促進學生認知結構化.

課后作業(yè)

1.(2015年廣東中考第21 題改編)如圖7,在折疊得到的邊長為6 的正方形ABFE中,G是邊EF的中點,將△AEG沿AG對折至△AGH,延長GH交邊BF于點I,連接AI,則BI的長是( )

圖7

A.1 B.2 C.3 D.4

2.如圖8,在矩形紙片ABCD中,AB= 6,BC= 8,將紙片折疊,使得點C落在AD邊上的F處,折痕為BE,則CE=____.

圖8

3.(2018年廣東中考第22 題改編)如圖9,在矩形紙片ABCD中,AB= 6,BC= 8,把矩形沿對角線BD所在直線折疊,使點C落在點E處,AD交BE于點F,連接AF.

圖9

(1)求證：△AEF是等腰三角形;

(2)求tan ∠BAF的值.

4.(2012年廣東中考第21 題改編)在第3 題中,線段GH交AD于點K,把△GDH沿GH折疊,使點D落在A處,點D恰好與點A重合.求GH的長.

圖10

分析鞏固課堂知識和方法,進一步領悟數(shù)學思想,使知識、方法、思維和經(jīng)驗鏈得以繼續(xù)生長.課后作業(yè)與課堂上的問題形成系統(tǒng)化,有利于學生認知結構整體化、系統(tǒng)化的形成.

二、生長型數(shù)學專題復習課的實踐思考

(一)生長源是核心

生長源是專題復習課的核心.根據(jù)生長型數(shù)學專題復習課的內涵可知,生長源是某個核心知識點(重點、難點、疑點)或某個問題(基本問題、基本圖形、基本思想、基本方法),整節(jié)課設計的問題都要圍繞生長源變式、拓展和延伸,學生的知識鏈、方法鏈、思維鏈、經(jīng)驗鏈在生長源的基礎上生長.生長源好比一粒種子,只有好的種子,才能發(fā)芽、枝繁葉茂,直至長成參天大樹.從數(shù)學教學心理學的角度,學習的過程就是知識遷移的過程.當人們遇到一個新問題,往往想起一個過去已經(jīng)解決的相似問題(源問題),并運用源問題的解決方法和程序去解決新問題,這一問題解決策略被稱為類比遷移[2].因此,對于學生而言,在解決新問題時能夠聯(lián)想到一個過去已經(jīng)解決的相似問題是知識遷移的關鍵.在生長型數(shù)學專題復習課中,生長源是學生在今后遇到相似問題時能夠聯(lián)想到的源問題,生長源的重要性不言而喻.

本節(jié)課中的問題1 是生長源,來源于課本基礎練習題,起點較低.問題2 到問題6,以及課后作業(yè),都圍繞問題1 設計,學生的知識鏈、方法鏈、思維鏈、經(jīng)驗鏈在生長源的基礎上生長.問題1 簡潔,便于學生今后遇到矩形折疊問題類比遷移.生長源的選取要結合教材與中考題,可以是數(shù)學問題,也可以是幾何圖形,比如“8 字形”、“雙平等腰型”、“一線三等角”等.

(二)生長性是目的

生長性是專題復習課的目的.所謂生長性,由生長源出發(fā),基于基礎與經(jīng)驗,在解決問題過程中不斷產(chǎn)生新問題,不斷生長新的數(shù)學知識、方法、思維、經(jīng)驗.任何一節(jié)數(shù)學課,都要有教學目的,所有的設計問題及活動都是為達到這個目的服務的.一節(jié)好的數(shù)學課,教學目的是發(fā)展學生的四基.數(shù)學專題復習課也不例外,對于復習課,教學目的不能簡單停留在知識點的回憶和復習,應以發(fā)展學生四基為目的,重建知識結構,領悟重要思想方法,積累數(shù)學活動經(jīng)驗,提升思維品質,發(fā)展核心素養(yǎng),學生的知識鏈、方法鏈、思維鏈和經(jīng)驗鏈都要生長.因此,在生長型數(shù)學專題復習課中,變式、拓展、延伸出問題鏈是方式,生長性是目的.

本節(jié)課由生長源變式、拓展、延伸生長的知識鏈、方法鏈、思維鏈和經(jīng)驗鏈如下圖11：

圖11

(三)層次性是前提

層次性是專題復習課的前提.教育的根本任務是立德樹人,數(shù)學教師應成為學生發(fā)展的導師,教數(shù)學知識是手段,育人是目的,而育人的前提是尊重每個生命個體.教師設計問題基于每位學生的學情,為不同層次的學生制定恰當?shù)慕虒W目標,設計問題具有層次性就是尊重學生的表現(xiàn).《義務教育數(shù)學課程標準(2011年版)》中課程基本理念為數(shù)學課程應致力于實現(xiàn)義務教育階段的培養(yǎng)目標,要面向全體學生,適應學生個性發(fā)展的需要,使得：人人都能獲得良好的數(shù)學教育,不同的人在數(shù)學上得到不同的發(fā)展[3].生長型專題復習課的情懷源于生命,立意基于生長,本質體現(xiàn)發(fā)展,價值就在于尊重生命,放飛思維,收獲素養(yǎng)[4].因此,生長型數(shù)學專題復習課要關注每一位學生的發(fā)展,設計的問題要體現(xiàn)層次性,由易到難,從低階思維到高階思維.

本節(jié)課以生長源為出發(fā)點,起點低,面向全體學生,尊重每一個生命個體.問題串以生長源為核心,著眼于學生的最近發(fā)展區(qū),由易到難變式,促進學生知識鏈、方法鏈、思維鏈、經(jīng)驗鏈的生長,超越其最近發(fā)展區(qū)而達到下一發(fā)展階段的水平.

(四)結構化是關鍵

結構化是專題復習課的關鍵.復習課難,專題復習課更難,難就難在重建或完善學生認知結構.現(xiàn)代學習理論表明,數(shù)學學習的實質是學生在教師的引導下能動地建構數(shù)學認知結構,并使自己得到全面發(fā)展的過程.專題復習課的內容應具備結構化特點,是激活學生重建或完善認知結構的催化劑,為學生生長提供必備的養(yǎng)料.因此,結構化是專題復習課的關鍵,決定著發(fā)展學生認知結構的成敗.生長型數(shù)學專題復習以整體觀架構,形成以生長源為核心的認知結構,體現(xiàn)知識的整體性和結構性,有利于重建或完善學生認知結構.

本節(jié)課中課堂教學中的由七個問題組成的問題串和課后作業(yè)的設計體現(xiàn)了如圖12 的結構性：

圖12

生長型數(shù)學專題復習課最根本的出發(fā)點與落腳點都是每一個生命個體,在實際教學中,教師要基于學生學情,對于數(shù)學素養(yǎng)有待提高的班級,一定要“扎根”,不可“拔苗助長”,盲目生長.