彭艷貴，趙立純，徐 偉

(鞍山師范學(xué)院 數(shù)學(xué)與信息科學(xué)學(xué)院,遼寧 鞍山 114007)

教育是一個龐大且復(fù)雜的系統(tǒng)，教師是影響其發(fā)展的重要因素之一.在我國的基礎(chǔ)教育改革過程中，越來越看重教師的發(fā)展與培養(yǎng).專業(yè)知識素養(yǎng)是教師的重要素養(yǎng)之一，是教師教學(xué)能力發(fā)展的重要內(nèi)在動力，對教師設(shè)計教學(xué)、實施教學(xué)等方面具有重要意義.在基礎(chǔ)教育中強(qiáng)調(diào)發(fā)展學(xué)生的核心素養(yǎng)的同時，也應(yīng)該在教師培養(yǎng)過程中增強(qiáng)教師在今后的教學(xué)實踐中落實和貫徹核心素養(yǎng)理念的能力，而教師的專業(yè)知識將影響教師把握核心素養(yǎng)理念的能力.所以，數(shù)學(xué)師范專業(yè)的基礎(chǔ)課程設(shè)置與教學(xué)方面是否能夠緊密契合自身的培養(yǎng)目標(biāo)是當(dāng)前值得關(guān)注的一個研究問題.為了提高高等教育服務(wù)區(qū)域社會發(fā)展的能力和水平，從根本上促進(jìn)教師教育發(fā)展體系的完善，對于數(shù)學(xué)師范生的培養(yǎng)來說，改進(jìn)數(shù)學(xué)師范專業(yè)基礎(chǔ)課程的教學(xué)是必要的.高等教育目前存在的一個主要問題是同質(zhì)化傾向嚴(yán)重，在數(shù)學(xué)師范生的培養(yǎng)過程中不能深入思考教育的時代性所帶來的問題，如不同時期學(xué)生的數(shù)學(xué)知識掌握與數(shù)學(xué)學(xué)科的邏輯嚴(yán)謹(jǐn)性的程度變化，包括數(shù)學(xué)知識在內(nèi)的科學(xué)技術(shù)發(fā)展而引起的初等數(shù)學(xué)到高等數(shù)學(xué)的課程內(nèi)容的變化等.在教學(xué)中若不能洞察和解決類似問題，就會導(dǎo)致師范生的培養(yǎng)不能完全滿足社會發(fā)展的基本教育需求.PCK(Pedagogical Content Knowledge)是美國學(xué)者舒爾曼(Shulman)于1986年提出的關(guān)于教師教學(xué)能力發(fā)展的學(xué)科教學(xué)知識理論.在數(shù)學(xué)教師發(fā)展研究領(lǐng)域，國內(nèi)外的教育研究者一直把數(shù)學(xué)專業(yè)知識、數(shù)學(xué)素養(yǎng)作為評價數(shù)學(xué)教師的一個標(biāo)準(zhǔn).合理的專業(yè)課程設(shè)置與教學(xué)形式對數(shù)學(xué)師范生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)的發(fā)展具有重要作用.國內(nèi)外的師范院校在師范專業(yè)的發(fā)展中普遍把專業(yè)基礎(chǔ)課程的設(shè)置與教學(xué)看作一個重要環(huán)節(jié).

1 數(shù)學(xué)師范專業(yè)基礎(chǔ)課程教學(xué)面臨的問題和挑戰(zhàn)

數(shù)學(xué)分析是數(shù)學(xué)類專業(yè)最重要的基礎(chǔ)課之一，其課堂教學(xué)周期最長，教學(xué)課時數(shù)量多，且內(nèi)容具有抽象性、邏輯具有連貫性、應(yīng)用具有廣泛性的特點.在教學(xué)內(nèi)容上數(shù)學(xué)分析是聯(lián)系初等數(shù)學(xué)和現(xiàn)代數(shù)學(xué)的紐帶，而且肩負(fù)著為后繼課程提供基礎(chǔ)之重任.相對于廣泛的課程內(nèi)容來說，在有限的時間內(nèi)完成課程任務(wù)并不容易，這就要求有效規(guī)劃課堂教學(xué)內(nèi)容和提高教學(xué)效率.同時，學(xué)生在數(shù)學(xué)知識掌握程度、范圍等方面的差異也對相關(guān)課程的教學(xué)產(chǎn)生影響.綜合各方面因素的影響，當(dāng)前的數(shù)學(xué)師范專業(yè)的課程教學(xué)需要從學(xué)生、課程內(nèi)容、教學(xué)形式等方面深入思考.

為了順應(yīng)高校發(fā)展的新形勢和滿足社會經(jīng)濟(jì)發(fā)展的需要，師范院校把未來教師的培養(yǎng)、教師教育專業(yè)的發(fā)展目標(biāo)定位為師范生的專業(yè)素養(yǎng)和教學(xué)素養(yǎng)的綜合發(fā)展，從深層次提高未來教師的綜合素質(zhì).作為數(shù)學(xué)專業(yè)的教學(xué)實踐者和研究者，必須探討相應(yīng)的教學(xué)方法以實現(xiàn)對傳統(tǒng)教學(xué)方法的改進(jìn).當(dāng)前形勢下數(shù)學(xué)分析課程的教學(xué)面臨以下幾方面的問題和挑戰(zhàn):

1.1 教育的發(fā)展性所帶來的知識銜接問題

在與初等數(shù)學(xué)內(nèi)容銜接方面，現(xiàn)有數(shù)學(xué)分析教學(xué)大綱很大程度上依賴于原有的高中數(shù)學(xué)教學(xué)大綱，新課標(biāo)的實施勢必造成數(shù)學(xué)分析與中學(xué)數(shù)學(xué)內(nèi)容上的重復(fù)與脫節(jié).在此背景下，龔小兵從中國教育模式、教材和教學(xué)目的等宏觀層面分析數(shù)學(xué)分析與新課標(biāo)下中學(xué)數(shù)學(xué)的脫節(jié)問題，并提出相應(yīng)的解決策略[1]，孔祥勇等人則從數(shù)學(xué)思想、課程內(nèi)容和教與學(xué)等微觀層面闡述了數(shù)學(xué)分析與新課標(biāo)下中學(xué)數(shù)學(xué)的脫節(jié)現(xiàn)象，并給出了相應(yīng)的解決方案[2].陳娟、潘建輝等人更是從函數(shù)、極限、導(dǎo)數(shù)等具體內(nèi)容出發(fā)，列舉數(shù)學(xué)分析與新課標(biāo)下的中學(xué)數(shù)學(xué)脫節(jié)案例，并歸納出“兩頭不管型”“原樣重復(fù)型”“重復(fù)提升型”等類型.隨后根據(jù)一般師范院校數(shù)學(xué)分析課程的教學(xué)實際情況，結(jié)合數(shù)學(xué)教學(xué)方法研究，探討適合我國教師教育發(fā)展的、滿足培養(yǎng)合格教師需要的教學(xué)方法，探討當(dāng)前高等教育、教師教育等方面的發(fā)展問題[3，4].

1.2 普及型教育導(dǎo)致的學(xué)生基礎(chǔ)差異問題

目前，我國高等教育已實現(xiàn)了精英式教育向大眾化教育的轉(zhuǎn)化，并向普及型教育發(fā)展，在學(xué)生評價與選拔方面發(fā)生了明顯的變化，同一班級學(xué)生的理解能力、分析能力和學(xué)習(xí)成績等不盡相同.另外，受教育轉(zhuǎn)型以及國家的一些教育政策的影響，數(shù)學(xué)分析等專業(yè)基礎(chǔ)課程也面臨課時縮減的要求.針對性的教學(xué)方法顯得尤為重要，它是考慮教育目標(biāo)、學(xué)生學(xué)習(xí)情況、社會需求等多方面因素綜合影響，采用技術(shù)手段將數(shù)學(xué)分析教學(xué)分為基礎(chǔ)層次和提高層次并設(shè)計相應(yīng)的教學(xué)方案，能夠充分體現(xiàn)因材施教的原則，保證不同水平的學(xué)生都能夠朝著最有利于自己的方向發(fā)展.但目前一些教學(xué)研究者提出的分層式教學(xué)方法多為“班內(nèi)分層”原則[5，6]，仍然存在一定的局限性.有必要在實踐教學(xué)中探索和嘗試新的分層方法，從而實現(xiàn)新形勢下的教育教學(xué)目標(biāo).

1.3 適應(yīng)社會發(fā)展需求的挑戰(zhàn)

在國家提出的高等教育轉(zhuǎn)型的大背景下，數(shù)學(xué)的應(yīng)用性也越發(fā)受到各行各業(yè)的關(guān)注.數(shù)學(xué)分析這樣的數(shù)學(xué)專業(yè)課程教學(xué)也應(yīng)注重培養(yǎng)學(xué)生解決實際問題的能力，數(shù)學(xué)建模和現(xiàn)代技術(shù)輔助教學(xué)都是很好的培養(yǎng)方式.在數(shù)學(xué)分析課程中的數(shù)學(xué)建模不僅可以激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)積極性，更突出培養(yǎng)了學(xué)生的應(yīng)用能力，提高了他們的創(chuàng)造精神和創(chuàng)新意識，因此很多教師將數(shù)學(xué)建模思想有意識地滲入到數(shù)學(xué)分析教學(xué)中，并取得重要研究成果.現(xiàn)代技術(shù)輔助教學(xué)在數(shù)學(xué)分析教學(xué)中的運(yùn)用一直備受爭議[7-14]，但它對幾何直觀教學(xué)起著重要作用.只有突破傳統(tǒng)的教育方式，才能滿足國家對應(yīng)用型人才培養(yǎng)的需求.

2 數(shù)學(xué)分析課程教學(xué)的探索與實踐

從數(shù)學(xué)教學(xué)方法論層面探討教師發(fā)展意義下的數(shù)學(xué)分析課程的教學(xué)問題.

2.1 基于數(shù)學(xué)課程銜接性的教學(xué)探索

已有研究為當(dāng)前的數(shù)學(xué)師范專業(yè)課程教學(xué)提供了重要的啟示.在師范專業(yè)的數(shù)學(xué)分析課程教學(xué)實踐過程中，明顯存在兩種類型的問題：一是高中數(shù)學(xué)和大學(xué)數(shù)學(xué)內(nèi)容存在斷帶，高中因為高考等原因沒能學(xué)習(xí)的內(nèi)容，大學(xué)課堂上以為學(xué)生在高中已經(jīng)掌握了該內(nèi)容；二是高中已經(jīng)學(xué)過的某些數(shù)學(xué)內(nèi)容，到大學(xué)后又重復(fù)學(xué)習(xí)一遍.這兩方面對數(shù)學(xué)分析課程的教學(xué)和學(xué)習(xí)產(chǎn)生了嚴(yán)重的影響，研究和實踐相應(yīng)的教學(xué)策略對數(shù)學(xué)師范生的專業(yè)知識發(fā)展有重要的現(xiàn)實意義.

2.1.1 基于“數(shù)學(xué)知識斷帶”的課程銜接問題 學(xué)生缺失的數(shù)學(xué)知識通常屬于高中知識范疇，從思維程度上來說，難度并不是很大，相對容易補(bǔ)救.如反三角函數(shù)的內(nèi)容就屬于這種類型，經(jīng)調(diào)查有半數(shù)以上同學(xué)不熟悉這部分內(nèi)容[2]，而作為數(shù)學(xué)分析課程內(nèi)容中具有重要地位的基本初等函數(shù)，反三角函數(shù)的分析學(xué)性質(zhì)研究是課程的基本內(nèi)容之一.在課時有限的情況下，采用幾何直觀的教學(xué)方法完成這部分內(nèi)容的補(bǔ)充.

如y=arcsinx內(nèi)容的學(xué)習(xí)中，首先，請同學(xué)說出y=sinx圖像特點，教師輔助繪圖；其次，教師啟發(fā)同學(xué)考慮“函數(shù)與其相應(yīng)反函數(shù)的圖像特性”，依此做出y=arcsinx的圖像，再了解其相應(yīng)性質(zhì)，同時思考y=arcsinx的主值區(qū)間等問題.由熟知的三角函數(shù)的圖像導(dǎo)出反三角函數(shù)的相應(yīng)圖形，然后根據(jù)圖形了解反三角函數(shù)的性質(zhì)，這樣師生互動不僅使學(xué)生體會到數(shù)學(xué)分析課程的連貫性思想，也彌補(bǔ)了數(shù)學(xué)分析與新課標(biāo)下中學(xué)數(shù)學(xué)脫節(jié)問題.

2.1.2 基于“數(shù)學(xué)知識重復(fù)學(xué)習(xí)”的課程銜接問題 在基礎(chǔ)教育改革過程中，高等數(shù)學(xué)知識下移到高中數(shù)學(xué)中是比較典型的課程發(fā)展現(xiàn)象.對于這樣的數(shù)學(xué)知識內(nèi)容，學(xué)生會在初等數(shù)學(xué)中有過接觸，但往往停留于形式學(xué)習(xí)或者比較基本的概念理解層次，教學(xué)中不夠深入.那么，在高等數(shù)學(xué)課程學(xué)習(xí)過程中再一次面對這部分內(nèi)容，加深理解層次，從本質(zhì)上掌握，才是高等數(shù)學(xué)課程的根本任務(wù).在教學(xué)中要把握好學(xué)生已有的認(rèn)知基礎(chǔ)，結(jié)合相對直觀的方法，用從定性描述到定量分析的教學(xué)方法完成本部分的教學(xué)內(nèi)容.

圖1 數(shù)列極限示意圖

步驟2用具體圖形表達(dá)步驟1的定性描述，從圖1可以看出：當(dāng)ε=ε1時，?N=5，n>N對應(yīng)的點an均落在以a為中心，以ε=ε1為半徑的帶型區(qū)域里；而當(dāng)ε=ε0時，?N=8，n>N對應(yīng)的點an均落在以a為中心，以ε=ε0為半徑的帶型區(qū)域里，從中可以看出結(jié)論：N隨著ε的變化而變化，且隨著ε的減小而增加，ε的任意性體現(xiàn)了《數(shù)學(xué)分析》的動態(tài)特性.

步驟3結(jié)合圖1，將步驟1中的“定性描述” 翻譯成精確的“數(shù)學(xué)語言”，即通常所說的“定量分析”，其中，有兩件事情需要處理：一是給出“n要多么大就有多么大”的數(shù)學(xué)表示，即“N>0，n>N”，其中，N是要多么大有多么大的正數(shù)，這體現(xiàn)了大學(xué)數(shù)學(xué)的動態(tài)思想；二是“數(shù)列an要多么逼近就有多么逼近常數(shù)a”的數(shù)學(xué)表示，即“?ε0>0，|an-a|<ε”，其中，ε是要多么小就有多么小的正數(shù)，這同樣體現(xiàn)了大學(xué)數(shù)學(xué)的動態(tài)思想.

這種教學(xué)方法體現(xiàn)了由“靜”到“動”的數(shù)學(xué)思想，克服了數(shù)學(xué)分析與中學(xué)數(shù)學(xué)“重復(fù)而缺少本質(zhì)提高”的脫節(jié)問題，某種意義上實現(xiàn)了中學(xué)數(shù)學(xué)到大學(xué)數(shù)學(xué)的自然過渡.

2.2 基于學(xué)生基礎(chǔ)差異性的教學(xué)探索

由于社會進(jìn)步與發(fā)展的需要，國家的高等教育政策調(diào)整，普及型教育勢必導(dǎo)致學(xué)生在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程中的知識掌握程度的差異，按照已有研究結(jié)果[15]劃分低層次、較高層次和高層次3個不同層次學(xué)生培養(yǎng)的教學(xué)目標(biāo)進(jìn)階要求，制定短期、中期和長期的教學(xué)進(jìn)階策略，具體如下：

2.2.1 針對學(xué)生知識基礎(chǔ)相對較薄弱的短期教學(xué)策略 每個學(xué)生的認(rèn)知水平、理解能力等存在一定差異，課程學(xué)習(xí)所需要的知識基礎(chǔ)也有強(qiáng)弱之分.因此，根據(jù)實際情況，調(diào)整教學(xué)策略是必要的.短期教學(xué)策略是完成教學(xué)大綱的基本要求，側(cè)重完成基本層次的數(shù)學(xué)課程教學(xué)目標(biāo)，即操作性強(qiáng)的、基本技巧型的方法.在教學(xué)過程中，結(jié)合廣大教育研究者提出幾何直觀的教學(xué)方法[16]，采取問題設(shè)定和問題回答的方式完成短期教學(xué)策略.

問題設(shè)定：將每次課的重點內(nèi)容以問題的形式提出，讓學(xué)生帶著問題去學(xué)習(xí)，待課程講解結(jié)束后再讓學(xué)生回答前面問題.如在講解平面點集時，教學(xué)中設(shè)定如下問題：“集合的界點是否一定是該集合的聚點”“集合的孤立點是否一定是該集合的外點”，等等,通過學(xué)生的回答可以及時了解學(xué)生對課上內(nèi)容的掌握情況，有助于學(xué)生養(yǎng)成良好的學(xué)習(xí)習(xí)慣，取得良好的教學(xué)效果.

問題解答：在教學(xué)過程中鼓勵學(xué)生隨時提出問題，教師要及時做出回應(yīng)，充分發(fā)揮學(xué)生在教學(xué)中的主體地位.如同樣在講解平面點集的內(nèi)容時，當(dāng)給出“鄰域是開集”的結(jié)論時，有學(xué)生反問 “去心鄰域是否也是開集”，此時教師與學(xué)生按照開集定義一起討論，最終給出正確答案，從學(xué)生的表情可以看出他的成就感.

2.2.2 針對學(xué)生知識基礎(chǔ)相對中等的中期教學(xué)策略 中期教學(xué)策略就是在短期教學(xué)策略基礎(chǔ)上，在教學(xué)過程中側(cè)重培養(yǎng)學(xué)生較高層次的數(shù)學(xué)思想方法，即分析歸納得到的具有確定的邏輯結(jié)構(gòu)的、能普遍適用的推理論證模式.這一策略借助輔導(dǎo)大學(xué)生數(shù)學(xué)競賽的契機(jī)進(jìn)行，采用幾何直觀法對數(shù)學(xué)分析涉及的極限理論、微分學(xué)、積分學(xué)和級數(shù)理論4部分內(nèi)容進(jìn)行總結(jié)，與學(xué)生一起將歷年大學(xué)生數(shù)學(xué)競賽題歸類并總結(jié)出相應(yīng)的解題方法，這樣可使學(xué)生對數(shù)學(xué)分析課程有一個總體理解，為進(jìn)一步長期教學(xué)策略的實施奠定基礎(chǔ).

2.2.3 針對具有優(yōu)秀潛質(zhì)學(xué)生的長期教學(xué)策略 長期教學(xué)策略是在中期教學(xué)策略基礎(chǔ)上，針對具有優(yōu)秀潛質(zhì)學(xué)生的教學(xué)策略設(shè)置.在教學(xué)過程中側(cè)重培養(yǎng)學(xué)生高層次的學(xué)習(xí)目標(biāo)實現(xiàn)，即全局性，整體性，為學(xué)科發(fā)展起到指引性作用的思想方法.該策略通過能夠體現(xiàn)課程核心內(nèi)容的拓展研究方式實現(xiàn)，在中期教學(xué)方案基礎(chǔ)上，可以選擇數(shù)學(xué)分析課程中核心問題或者是能夠反映知識發(fā)展性的更深入問題等，在對其總結(jié)分類基礎(chǔ)上尋求相應(yīng)的解題方法，如極限問題，將涉及極限的問題進(jìn)行歸納，在思維層次上系統(tǒng)地總結(jié)這類問題的計算、證明和應(yīng)用等方面的一般處理方法.

總之，學(xué)生可以根據(jù)自己的實際情況選擇適合自己的層次，充分體現(xiàn)的學(xué)生主體地位，不僅延續(xù)了基礎(chǔ)教育中的新數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)強(qiáng)調(diào)的數(shù)學(xué)思想方法的教學(xué)，也有利于培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)修養(yǎng)和創(chuàng)新意識，為數(shù)學(xué)分析課程的“教育形態(tài)”發(fā)展提供基礎(chǔ).

2.3 基于應(yīng)用性的轉(zhuǎn)型教學(xué)策略

一些學(xué)校面臨向應(yīng)用技術(shù)類型高校轉(zhuǎn)型發(fā)展的新挑戰(zhàn)，地方師范院校需要強(qiáng)調(diào)數(shù)學(xué)知識的應(yīng)用性、技能性，這對數(shù)學(xué)分析課程的教與學(xué)提出了更高的要求.

2.3.1 教學(xué)中滲入數(shù)學(xué)建模思想 基礎(chǔ)教育中的高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)和義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)都非常強(qiáng)調(diào)數(shù)學(xué)思想方法的教學(xué)、數(shù)學(xué)模型的應(yīng)用價值等[17].為了適應(yīng)新形勢下應(yīng)用型人才培養(yǎng)，作為中學(xué)數(shù)學(xué)的延續(xù)，數(shù)學(xué)分析教學(xué)沒有理由不秉承這一理念.數(shù)學(xué)建模是聯(lián)系實際問題和數(shù)學(xué)知識的紐帶，是將一些實際問題抽象出數(shù)學(xué)模型并運(yùn)用數(shù)學(xué)的一些綜合知識加以解決[18].數(shù)學(xué)分析課程正是這類知識的重要來源，其中許多概念和定理有著豐富的現(xiàn)實原型，因此在數(shù)學(xué)分析教學(xué)中有目的地滲入數(shù)學(xué)建模思想是可行且必要的，符合應(yīng)用型人才的培養(yǎng)目標(biāo).通過如下兩種方式有意識滲入數(shù)學(xué)建模思想：(1)課堂上.著重講解一些重要概念的現(xiàn)實原型和一些重要理論的應(yīng)用例子，如導(dǎo)數(shù)的物理背景——瞬時速度、經(jīng)濟(jì)背景——邊際成本，又如應(yīng)用最值原理解決最小二乘問題等.(2)課堂外.對于一些中學(xué)沒有接觸的參數(shù)方程和極坐標(biāo)方程，留作業(yè)給學(xué)生，讓他們通過課外學(xué)習(xí)了解它們的背景后在課堂講解，如懸鏈線方程的物理背景、心形線的形成等，這樣使學(xué)生參與到數(shù)學(xué)分析的教學(xué)活動中，一方面可解決中學(xué)數(shù)學(xué)和數(shù)學(xué)分析的脫節(jié)問題；另一方面延續(xù)了課程標(biāo)準(zhǔn)中強(qiáng)調(diào)數(shù)學(xué)模型應(yīng)用價值的教學(xué)理念，提高了學(xué)生應(yīng)用數(shù)學(xué)知識解決實際問題的能力.

2.3.2 基于現(xiàn)代技術(shù)的多媒體教學(xué) 目前數(shù)學(xué)分析課程的課堂教學(xué)多采用黑板+粉筆的傳統(tǒng)教學(xué)方法，具有互動性好、課堂進(jìn)度容易控制等優(yōu)點，但存在表現(xiàn)手法單一、信息量小等缺點.而在國家政策調(diào)整和學(xué)校轉(zhuǎn)型的新形勢下，數(shù)學(xué)分析課程的總學(xué)時再次面臨被縮減的壓力，適當(dāng)采取多媒體輔助教學(xué)不僅可以提高課堂教學(xué)的效率，也可激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，適應(yīng)新形勢下應(yīng)用型人才的培養(yǎng)目標(biāo).基于現(xiàn)代技術(shù)的多媒體輔助教學(xué)中使用的課件絕大多數(shù)是由PPT制作的講解演示型課件，而討論型、協(xié)作學(xué)習(xí)型、實驗?zāi)M型、問題解決型、教學(xué)游戲型、模擬測試型等類型的課件比較少見.可以利用一些數(shù)學(xué)軟件和CAD等制作模擬型課件，在課上，通過演示模擬向?qū)W生展示數(shù)學(xué)分析中各種抽象概念和復(fù)雜函數(shù)圖像，化抽象為具體，化復(fù)雜為簡明；在課下，指導(dǎo)學(xué)生利用matlab或mathematica等軟件做出抽象函數(shù)的圖像，如,馬鞍面等.

在數(shù)學(xué)分析教學(xué)中適當(dāng)滲透數(shù)學(xué)建模思想和使用多媒體輔助教學(xué)，不僅可以激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)積極性，而且可為學(xué)生后繼數(shù)學(xué)實驗、數(shù)學(xué)建模課程的學(xué)習(xí)打下堅實基礎(chǔ).

2.4 關(guān)注數(shù)學(xué)分析理論對中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)的指導(dǎo)作用

數(shù)學(xué)分析課程的理論教學(xué)要關(guān)注若干理論對中學(xué)知識教學(xué)及解題教學(xué)的指導(dǎo)作用，使該課程富有“師范性”的特征，有利于學(xué)生明確學(xué)習(xí)的目的，掌握必要的數(shù)學(xué)專業(yè)知識、技能與方法.

一般來說，方程與不等式問題常常借助于函數(shù)得以解決，即利用導(dǎo)數(shù)討論函數(shù)的單調(diào)性求極值(最值)來解決方程與不等式問題.對于高中教材中出現(xiàn)的非線性方程，采用的方法是，在函數(shù)的意義下，通過利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性以獲得極值等函數(shù)信息來刻畫函數(shù)的性狀，利用零點定理(高中)等方法獲得根的分布，從而估計方程根的分布情況，進(jìn)而利用“兩分法”(高中)(在數(shù)值分析理論中會介紹很多方法，如Newton切線法)去近似求解.如此，就帶來了數(shù)列迭代及數(shù)列收斂速度等與數(shù)列有關(guān)的問題，這也是很多高考試題的命制背景.

例1解方程ex-x-1=0.

顯然x=0是方程的一個解.從圖像可以觀察到函數(shù)f(x)=ex與f(x)=x+1只有一個交點，說明該方程只有這一個解.我們知道，ex≥1+x是一個極有價值的不等式，右側(cè)是函數(shù)f(x)=ex在x=0處泰勒展開的前兩項，這反映了用簡單的線性函數(shù)逼近非線性函數(shù)的思想.因此，可以構(gòu)造函數(shù)f(x)=ex-x-1，通過研究其單調(diào)性來解決這個方程問題.

不等式問題中有一類問題是求參數(shù)的取值范圍，大體有兩種方法：一種是分離變量法，另一種是將參數(shù)與自變量整體處理的方法.值得注意的是分離變量法有時難以貫徹到底，原因是分離后參數(shù)另一側(cè)的函數(shù)受高中知識方法的限制不能求出極限值，從數(shù)學(xué)分析理論看，嚴(yán)格的解決問題方法是應(yīng)用洛必達(dá)法則.

例2設(shè)函數(shù)f(x)=ex-1-x-ax2.

(Ⅰ)若a=0，求f(x)的單調(diào)區(qū)間；

(Ⅱ)若當(dāng)x≥0時，f(x)≥0，求a的取值范圍.

顯然，第(Ⅱ)問中對參數(shù)a取值范圍的估計，其問題的命制背景與泰勒展開有關(guān).而對于已知不等式恒成立或有解求參數(shù)的取值范圍問題，常采用參數(shù)和自變量整體處理和參數(shù)與自變量分離的方法，而后者的使用要求函數(shù)在某點處能求到極值，而有些時候是求不到的，需使用洛必達(dá)法則.

數(shù)學(xué)學(xué)科具有抽象性、邏輯性、思想性等學(xué)科特點.數(shù)學(xué)方法、思想往往貫穿整個數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程，無論是在初等數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程，還是在高等數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程中，數(shù)學(xué)師范生在大學(xué)專業(yè)課程的學(xué)習(xí)有助于他們在高等數(shù)學(xué)更加嚴(yán)謹(jǐn)、更加豐富的知識體系下，更好地認(rèn)識和把握數(shù)學(xué)的思想方法，提高數(shù)學(xué)抽象思維的高階認(rèn)識，這是一個必要的教師培養(yǎng)與發(fā)展過程.

拉格朗日中值定理是高中討論函數(shù)單調(diào)性的理論基礎(chǔ)，也是高考試題的命制背景.如2009遼寧卷理科21題的設(shè)計：

(Ⅰ)討論函數(shù)f(x)的單調(diào)性；

(Ⅱ)證明：若a<5，則對任意x1,x2∈(0,+),x1≠x2，有

函數(shù)的凹凸性也是高考試題命制的常用背景來源.如2004全國卷理科22題：

例4已知函數(shù)f(x)=ln(1+x)-x,g(x)=xlnx，

(Ⅰ)求函數(shù)f(x)的最大值；

3 結(jié)語

按照舒爾曼等人關(guān)于教師知識概念和結(jié)構(gòu)的研究結(jié)果，在教師教學(xué)能力及其發(fā)展中教師的專業(yè)知識是重要組成部分之一，所以，在數(shù)學(xué)專業(yè)師范生的培養(yǎng)與發(fā)展過程中應(yīng)非常重視教師專業(yè)知識的獲得.數(shù)學(xué)分析等課程是數(shù)學(xué)專業(yè)師范生繼續(xù)學(xué)習(xí)其他數(shù)學(xué)專業(yè)課程的重要基礎(chǔ)，所以，從多個角度思考課程教學(xué)，對數(shù)學(xué)專業(yè)教師教育的發(fā)展是重要的，也將是一個長期的過程，并且會隨著時間的推移不斷改變教學(xué)研究的內(nèi)容.