姬玉榮,劉金萌

(1.河南理工大學(xué) 數(shù)學(xué)與信息科學(xué)學(xué)院，河南 焦作 454000；2.河南工業(yè)和信息化職業(yè)學(xué)院 基礎(chǔ)部，河南 焦作 454000)

高等數(shù)學(xué)課程肩負(fù)著培養(yǎng)學(xué)生的計(jì)算能力、邏輯推理能力、分析解決問(wèn)題能力的重任[1].它是理工類、經(jīng)管類等專業(yè)學(xué)生的一門必修課程，是學(xué)習(xí)其他數(shù)學(xué)類課程及專業(yè)課程的重要基礎(chǔ).然而由于這門課程知識(shí)點(diǎn)多、概念抽象、計(jì)算復(fù)雜、證明靈活、應(yīng)用廣泛，里面滲透著大量的數(shù)學(xué)思想[2]，使得高等數(shù)學(xué)課程產(chǎn)生教師難教、學(xué)生難學(xué)的現(xiàn)象.為解決高等數(shù)學(xué)教和學(xué)的難題，在教學(xué)中引入比較教學(xué)法.

所謂比較教學(xué)法，就是借助兩類不同對(duì)象之間的相似性，通過(guò)比較，將一種已經(jīng)熟悉或掌握的特殊對(duì)象的知識(shí)遷移到另一種新的特殊對(duì)象上去的教學(xué)方法.比較教學(xué)法的認(rèn)識(shí)論根源就是思維的相似律，即客觀規(guī)律在主觀認(rèn)識(shí)中的再現(xiàn)，是人類思維的一個(gè)基本規(guī)律，也是數(shù)學(xué)教學(xué)中的一種有效思維方法.事實(shí)上，很多數(shù)學(xué)問(wèn)題都是在觀察、總結(jié)、比較和推測(cè)中找到解決問(wèn)題的方法.因此，引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行比較，對(duì)于激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，培養(yǎng)學(xué)生的學(xué)習(xí)、研究和創(chuàng)新能力，有效提高學(xué)習(xí)效率有重要的作用[3].

高等數(shù)學(xué)中的比較是多方面的，可以把同類事物進(jìn)行比較，揭示事物的普遍性和特殊性；可以把不同類事物進(jìn)行比較，揭示事物之間的聯(lián)系和區(qū)別；可以從事物的動(dòng)態(tài)過(guò)程進(jìn)行比較，揭示事物的發(fā)展規(guī)律.有的放矢地進(jìn)行多方面的比較，有助于人們把相似的事物區(qū)分開來(lái)，把相關(guān)的知識(shí)聯(lián)系起來(lái)，獲取精確、清晰的認(rèn)識(shí).

1 運(yùn)用比較教學(xué)法，讓學(xué)生克服學(xué)習(xí)中的畏難情緒

高等數(shù)學(xué)內(nèi)容多，進(jìn)度快，時(shí)間緊，任務(wù)重，很多同學(xué)有畏難情緒.在具體的學(xué)習(xí)過(guò)程中，只見樹木，不見森林，無(wú)暇顧及知識(shí)體系結(jié)構(gòu)的內(nèi)在聯(lián)系，使教學(xué)效果不理想.

為了解決學(xué)生的畏難情緒，在教學(xué)中引入比較教學(xué)法，引導(dǎo)學(xué)生高屋建瓴地對(duì)整個(gè)知識(shí)體系和內(nèi)在邏輯形成更高層面的認(rèn)識(shí)，幫助學(xué)生深刻理解高等數(shù)學(xué)知識(shí)體系的整體框架和內(nèi)在邏輯.從整體上看，前七章講一元函數(shù)微分學(xué)和積分學(xué)，后五章講多元函數(shù)微分學(xué)和積分學(xué).引導(dǎo)學(xué)生尋找極限、導(dǎo)數(shù)和微分這三個(gè)重要概念在教材中是按照什么樣的順序進(jìn)行講解的.不難發(fā)現(xiàn)，它們都是先通過(guò)實(shí)例引入，說(shuō)明這些概念來(lái)源于現(xiàn)實(shí)生活，有很高的研究?jī)r(jià)值和研究意義，然后，給出精確的定義，由定義得到性質(zhì)，重點(diǎn)在于如何求極限，如何求導(dǎo)數(shù)，如何求積分，最后，告訴大家這些概念在現(xiàn)實(shí)生活中的用處，給出一些用法舉例.通過(guò)對(duì)上面3個(gè)重要概念的對(duì)比，得到高等數(shù)學(xué)教材中知識(shí)編排的框架結(jié)構(gòu).高等數(shù)學(xué)下冊(cè)書中的多元函數(shù)極限、偏導(dǎo)數(shù)、全微分、重積分、曲面積分、曲線積分這些重要的概念都是按照實(shí)例—概念—性質(zhì)—求法—應(yīng)用，這樣的方式展開的.從一元到多元、一維到多維、有限到無(wú)限、離散到連續(xù)的各種對(duì)比[4]，幫助學(xué)生建立了完整的知識(shí)體系框架.

通過(guò)比較歸納，學(xué)生會(huì)發(fā)現(xiàn)高等數(shù)學(xué)的知識(shí)點(diǎn)并非雜亂無(wú)章，而是有章可循.對(duì)高等數(shù)學(xué)整個(gè)知識(shí)體系及其內(nèi)在聯(lián)系有了清晰的認(rèn)識(shí)，對(duì)具體內(nèi)容的學(xué)習(xí)方法有了明確的思路，學(xué)生普遍反映高等數(shù)學(xué)不再難學(xué)了.

2 運(yùn)用比較教學(xué)法，掌握高等數(shù)學(xué)中的重點(diǎn)概念

高等數(shù)學(xué)中概念多且抽象難懂，教學(xué)中要花費(fèi)很多時(shí)間講解概念，但最終效果仍然不理想.經(jīng)過(guò)長(zhǎng)期摸索實(shí)踐，引入比較教學(xué)法，比較概念間的聯(lián)系和區(qū)別，從現(xiàn)象到本質(zhì)、全方位地加深對(duì)概念的理解和認(rèn)識(shí).

2.1 一元函數(shù)極限和二元函數(shù)極限的概念

極限是高等數(shù)學(xué)中最重要的概念，導(dǎo)數(shù)和積分都是極限，因此深刻理解極限概念，對(duì)能否學(xué)好高等數(shù)學(xué)有著至關(guān)重要的作用.在掌握了一元函數(shù)極限的定義后，通過(guò)運(yùn)用比較教學(xué)法，學(xué)習(xí)二元函數(shù)極限，見表1.

表1 一元函數(shù)與二元函數(shù)極限定義的比較

2.2 一元函數(shù)導(dǎo)數(shù)和二元函數(shù)偏導(dǎo)數(shù)的概念

導(dǎo)數(shù)是高等數(shù)學(xué)中的重要概念，是高等數(shù)學(xué)教學(xué)中的重點(diǎn)內(nèi)容.掌握導(dǎo)數(shù)的實(shí)質(zhì)是學(xué)好高等數(shù)學(xué)微分學(xué)的基礎(chǔ).

從表2可知，無(wú)論是一元函數(shù)的導(dǎo)數(shù)還是多元函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)，本質(zhì)上都是一個(gè)極限.但從表達(dá)形式上看，又有不同的地方.二元函數(shù)對(duì)自變量x的偏導(dǎo)數(shù)定義中，分子部分另一個(gè)自變量y沒(méi)有發(fā)生變化.二元函數(shù)對(duì)一個(gè)自變量x求偏導(dǎo)數(shù)時(shí)，相當(dāng)于把另一個(gè)自變量看作常數(shù)，這樣就完全轉(zhuǎn)化成了一元函數(shù)的求導(dǎo)問(wèn)題.一元函數(shù)導(dǎo)數(shù)和多元函數(shù)偏導(dǎo)數(shù)形式上雖然差別很大，經(jīng)過(guò)比較可發(fā)現(xiàn)兩概念間的本質(zhì)聯(lián)系.

高等數(shù)學(xué)中還有許多概念可以進(jìn)行比較，比如數(shù)列極限和函數(shù)極限，一元函數(shù)極值和二元函數(shù)極值，一元函數(shù)微分和二元函數(shù)微分等，通過(guò)比較，尋找異同，抓住概念間最本質(zhì)的聯(lián)系和區(qū)別，從而對(duì)概念有更深刻的認(rèn)識(shí).

表2 一元函數(shù)導(dǎo)數(shù)和二元函數(shù)偏導(dǎo)數(shù)的比較

3 運(yùn)用比較教學(xué)法，突破高等數(shù)學(xué)中的難點(diǎn)

高等數(shù)學(xué)中的積分包括定積分、二重積分、三重積分、兩類曲線積分和兩類曲面積分，積分類型多，表達(dá)形式復(fù)雜，是教學(xué)中的難點(diǎn).它們之間的關(guān)系更是困擾學(xué)生學(xué)習(xí)的絆腳石.運(yùn)用比較教學(xué)法，可有效突破教學(xué)中的難點(diǎn).

3.1 5種積分宏觀比較

高等數(shù)學(xué)中積分概念多，抽象難懂，對(duì)5種積分從引入實(shí)例、積分實(shí)質(zhì)、積分域和計(jì)算4個(gè)方面進(jìn)行比較，見表3.

表3 不同積分的比較

表3中把學(xué)過(guò)的幾種積分放在一起，比較它們的異同.在引入時(shí)所用的實(shí)例各不相同，但是它們的實(shí)質(zhì)都是一個(gè)極限，都是通過(guò)大化小、常代變、取極限這3個(gè)步驟得到的極限.它們的積分域不同，導(dǎo)致它們是不同的積分類型.二重積分、三重積分、曲線積分和曲面積分的計(jì)算都是要化為定積分來(lái)計(jì)算.通過(guò)宏觀比較，對(duì)5種積分有了整體的認(rèn)識(shí).每種積分如何化成定積分，如何確定每個(gè)積分的上下限，這就需要進(jìn)一步做更細(xì)致的微觀比較.

3.2 兩類曲線積分的微觀比較

對(duì)兩類曲線積分進(jìn)行微觀比較，見表4.

表4 兩類曲線積分的比較

表4從定義、聯(lián)系和計(jì)算3個(gè)方面給出了兩類曲線積分之間的關(guān)系.兩類曲線積分之間可以互化，它們都可以轉(zhuǎn)化為定積分來(lái)計(jì)算，但是具體轉(zhuǎn)化的過(guò)程又不完全相同，對(duì)弧長(zhǎng)的曲線積分在轉(zhuǎn)化為定積分時(shí)要進(jìn)行3個(gè)代換，要把x,y,ds都化成關(guān)于參數(shù)的部分，并且化成的定積分中下限一定小于上限.對(duì)坐標(biāo)的曲線積分在化為定積分的過(guò)程中，只需把x,y化成關(guān)于參數(shù)的表達(dá)式，但是有方向，所以定積分的下限不一定小于上限.通過(guò)對(duì)比，對(duì)上述兩類曲線積分有了清晰的認(rèn)識(shí)，既找到了相同的地方，又找到了不同之處.

3.3 兩類曲面積分的微觀比較

以3.2同樣步驟,對(duì)兩類曲面積分進(jìn)行微觀比較，見表5.

表5 兩類曲面積分的對(duì)比

通過(guò)上述的宏觀和微觀比較，對(duì)積分已經(jīng)有了比較清晰的認(rèn)識(shí).

圖1 各種積分之間的關(guān)系

3.4 各種積分關(guān)系的比較

既然都是積分，它們之間一定是有聯(lián)系的.高等數(shù)學(xué)中的三大公式把它們緊密聯(lián)系在一起，通過(guò)圖1給出它們之間的聯(lián)系.

Green公式把曲線積分和二重積分聯(lián)系起來(lái)，Gauss公式把曲面積分和三重積分聯(lián)系起來(lái)，Stokes公式把曲線積分和曲面積分聯(lián)系起來(lái).通過(guò)這三大公式把幾種積分聯(lián)系起來(lái)，從而突破了高等數(shù)學(xué)中最困難的部分.

比較教學(xué)法在高等數(shù)學(xué)中還有很多應(yīng)用，如果深入地挖掘并引導(dǎo)學(xué)生學(xué)會(huì)比較，不僅能提高教學(xué)效率，還能激發(fā)學(xué)生的求知欲，提高學(xué)生的創(chuàng)新能力.