郭翊航 趙麗明

(首都師范大學(xué)物理系，北京 100048)

0 引 言

光子晶體(又稱光子禁帶材料)是一種人工材料，由不同介電常數(shù)的介質(zhì)周期排列而成的一種光學(xué)結(jié)構(gòu)[1]．類比于半導(dǎo)體晶體對(duì)電子輸運(yùn)行為的影響，光子晶體具有光子的帶結(jié)構(gòu)，原則上可以通過設(shè)計(jì)和制造光子晶體及其器件達(dá)到控制光子運(yùn)動(dòng)的目的[2-3]．光子晶體的出現(xiàn)，使操縱和控制光子的夢(mèng)想成為可能．

按照空間維數(shù)的劃分，光子晶體可以分為一維光子晶體、二維光子晶體和三維光子晶體，其中一維光子晶體的色散關(guān)系可以得出確切的解析解，并且其結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)單，易于實(shí)現(xiàn)[4]．在光子晶體的能帶圖中，如果兩條能帶交于一點(diǎn)，在該點(diǎn)附近，其色散關(guān)系呈線性關(guān)系時(shí)，該交點(diǎn)就稱為光子晶體的狄拉克點(diǎn)．狄拉克點(diǎn)的形成主要是由結(jié)構(gòu)的對(duì)稱性產(chǎn)生的，在電子晶體比如石墨烯的高對(duì)稱點(diǎn)處就會(huì)由于結(jié)構(gòu)存在必然簡(jiǎn)并狄拉克點(diǎn)，或者是由于能帶特性存在偶然簡(jiǎn)并狄拉克點(diǎn)．而電子狄拉克點(diǎn)所表現(xiàn)出的許多有趣的性質(zhì)，比如贗散射、拓?fù)鋫鬏?、界面態(tài)、震顫等現(xiàn)象在光子晶體中也被廣泛地研究[5-11]．和電子晶體狄拉克點(diǎn)不同的是，光子晶體的狄拉克點(diǎn)現(xiàn)象更易觀察，因?yàn)楣庾硬粫?huì)和介質(zhì)本身產(chǎn)生相互作用，還可以通過超材料技術(shù)對(duì)光子晶體做更細(xì)致地修改，比如折射率調(diào)節(jié)、形狀調(diào)節(jié)、角度調(diào)節(jié)、缺陷制造等[12-15]．這些都可以增進(jìn)對(duì)于光子晶體狄拉克點(diǎn)的控制．

通過狄拉克點(diǎn)很容易找到界面態(tài)．具體方法為：分別從不同方向調(diào)節(jié)體系的參數(shù)，改變結(jié)構(gòu)的介電常數(shù)和尺寸，可形成2個(gè)不同的光子晶體．這2個(gè)光子晶體在狄拉克點(diǎn)附近具有共同的帶隙，但具有不同的拓?fù)湎辔?，?dāng)將這2個(gè)光子晶體拼接在一起時(shí)，會(huì)出現(xiàn)界面態(tài)，該方法被稱為狄拉克點(diǎn)方法[16]．研究發(fā)現(xiàn)：界面模的能級(jí)滿足簡(jiǎn)單的正弦函數(shù)關(guān)系[4]．然而一些問題還未澄清：利用狄拉克點(diǎn)方法，在什么樣的范圍內(nèi)界面模一定存在；是否有最佳的界面模匹配條件能夠使得界面模的折射率達(dá)到完全透射等．本文主要通過對(duì)一維光子晶體異質(zhì)結(jié)折射率的調(diào)制，得到存在界面模的極限參數(shù)，并且得到界面模峰值的最佳匹配條件．這一發(fā)現(xiàn)將對(duì)實(shí)際應(yīng)用有潛在的指導(dǎo)意義．

1 數(shù)值模擬與討論

假定體系由一維多層介質(zhì)組成，介質(zhì)的總層數(shù)為N．對(duì)于第L層，電場(chǎng)滿足如下形式：

(1)

(2)

可以得到：

(3)

其中：

(4)

(5)

由于BN=0，因此

(6)

相應(yīng)的透射率為：

(7)

反射率為：

(8)

通過公式(5)、(7)和(8)可以計(jì)算出在一維介質(zhì)層體系中電磁波的電場(chǎng)和磁場(chǎng)以及透過率，反射率等物理量．

假定一維光子晶體是由2種不同的材料(AB)組成，其中介質(zhì)A的折射率和厚度分別用na，da，介質(zhì)B的折射率和厚度分別為nb，db．光子晶體的層數(shù)為m(本實(shí)驗(yàn)中m=8)．對(duì)于完美的光子晶體，其色散關(guān)系滿足如下關(guān)系:

(9)

其中q為布洛赫波矢，Λ為晶格常數(shù)，這里假定晶格常數(shù)為 1．根據(jù)文獻(xiàn)[6]，當(dāng)歸一化頻率滿足如下關(guān)系：sinkada=0，sinkbdb=0，sin(kada+kbdb)=0，該頻率為狄拉克點(diǎn)．本文選擇文獻(xiàn)[5]的參數(shù)(na=2,nb=1，da=0.4，db=1-da=0.6)．圖1給出了該結(jié)構(gòu)下的色散關(guān)系，可以發(fā)現(xiàn)在ω=2.5處出現(xiàn)狄拉克點(diǎn)．對(duì)于該結(jié)構(gòu)，周期單元的光程為L(zhǎng)=nada+nbdb，定義光程常數(shù)L0，使得L0=L．本文以下提到的光程常數(shù)均指L0．

圖1 一維光子晶體(AB)m在狄拉克點(diǎn)處的能帶關(guān)系

現(xiàn)在可以分別沿不同方向調(diào)節(jié)體系的參數(shù)，可形成2個(gè)不同的光子晶體(AB)m和(CD)m，并且要求這2個(gè)光子晶體的周期單元光程均等于L0．PC1使用如下參數(shù)，da=0.42,db=0.58．εa=3.8，εb=1.PC2的參數(shù)則為dc=0.38,dd=0.62．εc=4.2，εd=1．圖2分別給出了PC1和PC2的色散關(guān)系，結(jié)果表明當(dāng)這2個(gè)光子晶體的周期單元光程相等時(shí)，發(fā)現(xiàn)狄拉克點(diǎn)張開，且在狄拉克點(diǎn)附近具有共同的帶隙，但具有不同的拓?fù)湎辔唬绻麑⑦@2個(gè)光子晶體拼接在一起時(shí)，只要帶隙中存在某一個(gè)頻率能夠與結(jié)構(gòu)發(fā)生共振，則會(huì)產(chǎn)生界面模．界面模的消失主要由2種原因：(1)界面模的歸一化頻率超出了帶隙范圍；(2)光子晶體參數(shù)的改變使得拓?fù)湎辔话l(fā)生了反轉(zhuǎn)．

下面將這2個(gè)不同的光子晶體拼成異質(zhì)結(jié)結(jié)構(gòu)：(AB)m(CD)m，如圖3所示．圖4給出了(AB)m(CD)m的透過率曲線，可以發(fā)現(xiàn)在歸一化頻率ω=2.45處出現(xiàn)界面態(tài)，其透過率為0.8．現(xiàn)在想了解的問題是：(1)結(jié)構(gòu)參數(shù)變化到何種程度，界面態(tài)消失？(2)是否所有界面模都有高的透過率，若不是，是否存在最優(yōu)的界面模匹配條件？

圖3 一維光子晶體異質(zhì)結(jié)(AB)m(CD)m的結(jié)構(gòu)示意圖

圖4 (AB)m(CD)m透射率隨頻率的變化關(guān)系

圖5給出了不同δa下透過率隨頻率的變化關(guān)系．可以發(fā)現(xiàn)，峰值對(duì)應(yīng)的頻率為相應(yīng)的界面模頻率．當(dāng)δa較小時(shí)，界面模的透過率很高，隨著δa增大，界面模的透過率顯著降低，而δa為14%時(shí)，界面模的透射完全消失．本文計(jì)算了其他偏移率的透過率曲線，發(fā)現(xiàn)δa在小于14%的范圍內(nèi)均可以發(fā)現(xiàn)界面模，而超過14%界面模消失．因此在狄拉克點(diǎn)附近存在界面態(tài)有一定的范圍限制．

下面討論δa≠-δc的情況．假定PC1的結(jié)構(gòu)固定，其參數(shù)為na=1.85,da=0.470 6，通過改變PC2的折射率nc，根據(jù)公式(2)得到相應(yīng)的dc，因此僅通過改變nc，PC2的結(jié)構(gòu)就可以固定．圖6描述了界面模的透過率隨nc的變化，發(fā)現(xiàn)當(dāng)nc=2.17時(shí)界面模的透過率為1，偏離2.17時(shí)界面模的透過率減?。@說(shuō)明na=1.85時(shí)，其最佳匹配結(jié)構(gòu)相應(yīng)于nc=2.17.圖7給出了不同的na下界面模透過率隨nc的變化曲線．發(fā)現(xiàn)他們曲線形狀基本類似．不同的PC1都有相應(yīng)最佳匹配的PC2．

圖5 界面模透射率隨歸一化頻率變化圖像

固定PC1參數(shù)nada，nbdb，隨著PC2折射率的改變，整體異質(zhì)結(jié)構(gòu)的界面模透射率和界面模位置都有不斷的變化．可以基本掌握每一組PC1的偏移率參數(shù)所對(duì)應(yīng)的完全透射的界面模位置，總結(jié)為表1．

表1 透射率最佳時(shí)的一維光子晶體異質(zhì)結(jié)構(gòu)參數(shù)

圖6 不同的異質(zhì)結(jié)構(gòu)下，界面模的透射率隨PC2折射率nc的變化曲線

表1給出了PC1所對(duì)應(yīng)的最佳匹配的PC2，特別強(qiáng)調(diào)的是PC1的結(jié)構(gòu)僅由na決定，PC2的折射率僅由nc決定．還可以給出很多這樣的匹配的光子晶體異質(zhì)結(jié)結(jié)構(gòu)，使得界面模的透過率為1．

2 總 結(jié)

本文采用狄拉克點(diǎn)方法研究光子晶體異質(zhì)結(jié)的界面態(tài)．通過調(diào)節(jié)體系的參數(shù)，研究了偏移率對(duì)光子晶體異質(zhì)結(jié)構(gòu)界面態(tài)的透過率影響，并且進(jìn)一步探討了存在界面態(tài)的極限條件．研究了存在界面態(tài)的范圍內(nèi)滿足對(duì)稱條件下的異質(zhì)結(jié)界面態(tài)的透射率隨光子晶體折射率的變化關(guān)系，發(fā)現(xiàn)每一個(gè)PC1都有最佳的PC2與之匹配，使得界面模透過率為1．

圖7 PC1介質(zhì)折射率參數(shù)na取不同值時(shí)透射率隨PC2折射率nc的變化曲線