李彤彤，曹妍妍，呂歡歡，黃曉燕，張 曉，徐世林，張會云，張玉萍

(山東科技大學電子通信與物理學院，青島市太赫茲技術重點實驗室，山東青島266590

1 引言

石墨烯(graphene)是由碳原子緊密堆積成的單層二維蜂窩狀物質，是構建其他維度碳質材料的基本結構單元［1］，是目前世界上最薄的材料。由于其優(yōu)異的物理特性、光電特性和磁學特性，石墨烯引起了人們的廣泛關注。石墨烯的室溫量子霍爾效應［2］、鐵磁性［3］和零載流子濃度極限下的最小量子電導率等特性，使其可應用于各種領域，成為科學領域的一個研究熱點［4－5］。

目前對石墨烯帶的研究已有很多報道［6－9］。周期排列的石墨烯帶(石墨烯光柵)是一種特殊的光柵。當太赫茲波入射時，會與石墨烯光柵的表面等離激元極化波產生共振作用，因而出現(xiàn)透射增強現(xiàn)象。通過調節(jié)石墨烯光柵各項參數(shù)，可應用于各種領域，如可調諧太赫茲濾波器和等離子體波導等。采用多種方法對石墨烯光柵的透射增強現(xiàn)象進行研究，其中，傅里葉模方法簡單高效，成為最常用的一種方法。若不能選擇恰當?shù)母道锶~分解，TM偏振波入射時收斂性較差，為此，Amin Khavasi提出了一種近似邊界條件［10］，使收斂速度得到了較大提高。目前對石墨烯帶的研究主要集中于表面等離子體的激發(fā)和傳輸特性，對石墨烯光柵的透射特性的研究較少。

基于以上研究背景，本文建立了石墨烯光柵模型，基于快速收斂傅里葉模方法對石墨烯光柵的太赫茲透射特性進行了理論研究，討論了費米能級、光柵周期、光柵占空比和弛豫時間對透射率的影響，為石墨烯光柵的研究提供了有力指導。

2 模型及理論基礎

如圖1(a)所示為石墨烯光柵結構整體視圖，圖1(b)所示為石墨烯光柵結構的橫截面圖，灰色長條為石墨烯帶，其寬度為W，排列周期為L，在y方向無限延伸，占空比為W/L。石墨烯光柵上下兩種介質的介電常數(shù)分別為ε1=3ε0和ε2=4ε0。入射角為θ的TM偏振的平面波(磁場沿y軸正方向)射向石墨烯光柵。

圖1 石墨烯光柵結構模型示意圖Fig.1 Schematics of the graphene gratings

石墨烯的表面電導率可表示為［11］:

其中，e是電子電荷量;EF是費米能級;是約化普朗克常量;ω是頻率;τ是弛豫時間;H是赫維賽德函數(shù)［12］，有如下定義:

在石墨烯光柵中，將磁場瑞利展開為如下形式:

由石墨烯帶分布的區(qū)域分界處的邊界條件可得:

圖2 求解近似邊界條件所需的長方形閉合回路，高為h，長為lFig.2 Rectangular closed loop of length l and height h used for solving the approximate boundary condition

在z=0處，將石墨烯電導率的表達式作傅里葉展開，得到:

如圖2所示為一個閉合回路結構，長度為l，高為h。由安培環(huán)路定理可得到:

經(jīng)計算可得到:

其中，［［σ］］代表托普利茲矩陣;第(n，m)個元素為 σn－m。

將式(4)和式(8)聯(lián)立，用 S矩陣形式［13］表示為:

其中，ηj為對角矩陣，其對角元素為kjzn/ωεj。

由式(9)可以得出透射系數(shù)a2，進而可以求出透射率［10］為:

3 結果分析和討論

圖3所示為正入射條件下，費米能級取不同值時透射率與入射光頻率的關系曲線。從圖中可以看出，當費米能級取一固定值時，透射率隨入射光頻率的增加先減小后增大。當費米能級取不同值時，在入射光頻率較高的條件下，透射率隨費米能級的增大而減小;在入射光頻率較低的條件下，透射率隨費米能級的增大而增大。透射率最小值隨費米能級的增大向高頻移動，且數(shù)值逐漸減小。此圖表明，在高頻附近區(qū)域，適當減小費米能級有助于提高石墨烯光柵透射率;在低頻附近區(qū)域，則適當增大費米能級有助于提高其透射率。

圖4所示為正入射條件下，光柵周期取不同值時透射率與入射光頻率的關系曲線。從圖中可以看出，當入射光頻率較高時，透射率隨光柵周期的增大而增大;當入射光頻率較低時，透射率隨光柵周期的增大而減小。透射率最小值隨光柵周期的增加向低頻移動。此圖表明，在高頻附近區(qū)域，適當增大光柵周期有助于提高石墨烯光柵透射率;在低頻附近區(qū)域，則適當減小費米能級有助于提高其透射率。

圖3 正入射的條件下，費米能級取不同值時，透射率與頻率的關系曲線Fig.3 Transmission versus frequency at four different Fermi levels for normal incidence

圖4 正入射的條件下，光柵周期取不同值時，透射率與頻率的關系曲線Fig.4 Transmission versus frequency at four different periods of grating for normal incidence

圖5所示為正入射條件下，光柵占空比取不同值時透射率與入射光頻率的關系曲線。從圖中可以看出，當光柵占空比取一固定數(shù)值時，透射率隨入射光頻率的增加先減小后增大。當光柵占空比取不同值時，透射率隨光柵占空比的增大而減小;透射率最小值隨光柵占空比的增大向低頻移動，且數(shù)值逐漸減小。此圖表明，適當減小光柵占空比有助于提高石墨烯光柵透射率。

圖6所示為正入射條件下，弛豫時間取不同值時透射率與入射光頻率的關系曲線。從圖中可以看出，當弛豫時間取一固定值時，透射率隨入射光頻率的增加先減小后增大。當弛豫時間取不同值時，在入射光頻率為3.79 THz的條件下透射率取得最小值，且透射率最小值隨弛豫時間的減小而增大。

圖5 正入射的條件下，光柵占空比取不同值時，透射率與頻率的關系曲線Fig.5 Transmission versus frequency at four different duty cycles of grating for normal incidence

圖6 正入射的條件下，弛豫時間取不同值時，透射率與頻率的關系曲線Fig.6 Transmission versus frequency at four different relaxation times for normal incidence

通過以上結果分析，可以得出:在正入射條件下，石墨烯費米能級為0.8 eV、光柵周期為6 μm、占空比為0.4、弛豫時間為1 ps時，透射率在1 THz處達到最佳。

圖7所示為入射光頻率為2 THz的條件下，費米能級取不同值時透射率與入射角的關系曲線。從圖中可以看出，當費米能級取一固定值時，透射率隨入射角的增大先增加后減小;當費米能級取不同值時，透射率隨費米能級的增大而增大。當入射角約為60°時，透射率取得最大值，且透射率峰值隨費米能級的增加而增大。此圖表明，適當增大費米能級有助于提高石墨烯光柵的透射率。

圖7 入射光頻率為2THz的條件下，費米能級取不同值時，透射率與入射角的關系曲線Fig.7 Transmission versus incident angle at four different Fermi levels when incident frequency is fixed to 2 THz

圖8所示為入射光頻率為2 THz的條件下，光柵周期取不同值時透射率與入射角的關系曲線。從圖中可以看出，當光柵周期取一固定值時，透射率隨入射角的增大先增加后減小;當光柵周期取不同值時，透射率隨光柵周期的增大而減小;透射率峰值隨光柵周期的增加而減小。此圖表明，適當減小光柵周期有助于提高石墨烯光柵的透射率。

圖8 入射光頻率為2 THz的條件下，光柵周期取不同值時，透射率與入射角的關系曲線Fig.8 Transmission versus incident angle at four different periods of grating when incident frequency is fixed to 2 THz

圖9所示為入射光頻率為2 THz的條件下，光柵占空比取不同值時透射率與入射角的關系曲線。從圖中可以看出，當光柵占空比取一固定值時，透射率隨入射角的增大先增加后減小;當光柵占空比取不同值時，透射率隨著光柵占空比的增大而減小;透射率峰值隨光柵占空比的增大而減小。此圖表明，適當減小光柵占空比有助于提高石墨烯光柵的透射率。

圖9 入射光頻率為2 THz的條件下，光柵占空比取不同值時，透射率與入射角的關系曲線Fig.9 Transmission versus incident angle at four different duty cycles of grating when incident frequency is fixed to 2 THz

圖10所示為入射光頻率為2 THz的條件下，弛豫時間取不同值時透射率與入射角的關系曲線。從圖中可以看出，當弛豫時間取一固定值時，透射率隨入射角的增大先增加后減小;當弛豫時間取不同值時，透射率隨弛豫時間的增大而增大;透射率峰值隨弛豫時間的增大而增大。此圖表明，適當增大弛豫時間有助于提高石墨烯光柵的透射率。

通過以上結果分析，可以得出:在入射光頻率為2 THz條件下，石墨烯費米能級為0.8 eV、光柵周期為6 μm、占空比為0.4、弛豫時間為 1 ps時，透射率在入射角約為60°處達到最佳。

為了更好地研究石墨烯光柵透射率與入射角和頻率的關系，做出弛豫時間為0.25 ps，占空比為0.5，周期為8 μm，費米能級為0.6 eV 時，透射率隨入射角和頻率變化的三維關系圖，如圖11所示。從圖中可以看出，當入射光頻率不變時，透射率隨入射角的增大先增加后減小，并在入射角約為60°附近取得峰值;當入射角不變時，透射率隨頻率的增大先減小后增加，并在入射光頻率約為3.79 THz處取得最小值。

圖11 透射率、入射角和波長的三維關系圖Fig.11 Transmission spectra versus frequency and incident angle

4 結論

本文建立了石墨烯光柵模型，基于快速收斂傅里葉模方法對石墨烯光柵的太赫茲透射特性進行了理論研究，討論了不同費米能級、光柵周期、光柵占空比和弛豫時間對透射率的影響。研究結果表明，在正入射條件下，透射率隨頻率的增大先減小后增加，且費米能級、占空比和弛豫時間越高，透射率最小值越小。在入射光頻率為2 THz的條件下，透射率隨入射角的增大先增加后減小，隨費米能級、弛豫時間的增大而增加，隨光柵周期、光柵占空比的增大而減小，且透射率在入射角約為60°時取得最大值。通過以上研究，可以根據(jù)實際應用調節(jié)石墨烯光柵參數(shù)，從而達到最佳透射效果，為石墨烯濾波器等器件的制作提供理論指導。

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