邱會明

(南京市金陵中學(xué),江蘇南京 210005)

1 一道幾何光學(xué)競賽題及原解答

原題.兩塊平面鏡寬度均為 L=5 cm,相交成角α=12°,如圖 1 所示,構(gòu)成 光通道.兩鏡的右端相距為 d=2 cm,左端靠在光接收器的圓柱形的感光面上.試問入射光線與光通道的軸成的最大角度 φmax為多少才能射到光接收器上?[1]

圖1

原參考解答:不經(jīng)反射,入射光能射到感光面上,入射光與軸所成最大角 φ1如圖2所示;經(jīng)一次反射而能入射在感光面上,入射光與軸所成最大角φ2如圖3所示,由平面鏡反射的對稱性,入射光延長能交在2α所對圓面上,同理可推出,以最大角度 φmax入射的光線延長后應(yīng)恰與接收器表面相切,如圖4所示,θ為入射光線與平面鏡所成的夾角,φmax=其中≈0.5,θ≈30°,則φmax=30°+6°=36°.

圖2

圖3

圖4

2 對題解結(jié)果的重新計(jì)算及作圖分析

2.1 對結(jié)果的重新計(jì)算

筆者通過計(jì)算發(fā)現(xiàn),在取一位有效數(shù)字的精度范圍內(nèi),θ的取值應(yīng)為 28.5°,28.5°能約等于 30°嗎?

2.2 用幾何畫板作圖分析

圖5

由此可見,在作圖誤差允許的范圍內(nèi),θ應(yīng)該取28.5°來計(jì)算,φmax應(yīng)為 34.5°.

圖6

3 對原解答的重新審視

3.1 一個(gè)有趣的結(jié)論及推廣

我們把經(jīng)過平面鏡多次反射的光線都延長就可以發(fā)現(xiàn)一個(gè)有趣的結(jié)論:只要開始的入射光線與感光圓面是相切的,那么經(jīng)過平面鏡多次反射的光線的延長線都會與感光圓面相切.這是為什么呢?其實(shí)這是與圓的對稱性有關(guān).如圖6所示,第1次反射過程中,入射光線與反射光線關(guān)于OB對稱,因此反射光線的延長線與圓也是相切的;第2次反射過程中,反射光線的延長線與入射光線關(guān)于 OA對稱并與圓相切;依次可以推出,以后的多次反射過程中,入射光線、反射光線的延長線分別關(guān)于OA、OB對稱且始終與圓相切,最后的反射光線與感光圓面相切.

同理可以得出如下的結(jié)論:只要開始入射光線與圓是相交的,那么經(jīng)過平面鏡多次反射的光線的延長線都會與感光圓面相交.

3.2 對原解答的重新審視

圖4中開始的入射光線的延長線與感光圓面是相切的,依據(jù)前面的結(jié)論可以得到,光經(jīng)過平面鏡的多次反射,最終的反射光線與感光圓面相切.圖2、3中,雖然開始的入射光與軸所成的角最大,但其入射光線與圓是相交的,依據(jù)前面推廣結(jié)論可以得到,最后的反射光線與感光圓面相交.由此可見,原解答中把小數(shù)約去后變成一個(gè)整數(shù)竟為我們發(fā)現(xiàn)問題提供了一個(gè)突破口,其邏輯推理是完全錯(cuò)誤的.從上面的分析可以看出,只有在理解上述結(jié)論之后,才能得出φmax等于34.5°的正確結(jié)論.

1 沈晨.更高更妙的物理.杭州:浙江大學(xué)出版社,2006.