安徽省合肥市第一中學(xué) (230601) 谷留明

向量兼具代數(shù)與幾何的特征,是聯(lián)系起代數(shù)與幾何重要橋梁．關(guān)于向量的線性表示與三角形面積的比值的問(wèn)題,經(jīng)常在段考、高考、自主招生考試、競(jìng)賽等考試中出現(xiàn),且往往是選擇題、填空題中的較難題,學(xué)生的解答情況一般不是很好.其主要特征是：已知三角形內(nèi)任意一點(diǎn),給出相關(guān)向量的線性表達(dá)式,然后求相關(guān)三角形面積比,或者反過(guò)來(lái)設(shè)問(wèn)．下面通過(guò)前兩道引例的求解和思考,總結(jié)出一個(gè)定理并證明,然后此定理解決引例3和4,最后對(duì)此定理進(jìn)一步推廣.

從以上兩個(gè)引例的分析過(guò)程和結(jié)果,發(fā)現(xiàn)相關(guān)面積之比與相應(yīng)向量的系數(shù)有巧妙的規(guī)律.由此經(jīng)過(guò)歸納,猜想可以證明以下定理.

用分析引例1和2中的方法均可以證明上述猜想是正確的,這里不再贅述.

這是一個(gè)非常巧妙的結(jié)論,因?yàn)槠鋵?duì)應(yīng)的圖形與奔馳轎車logo非常相似,可形象地稱之為“奔馳定理”.

用定理1,引例1和2直接得解.用這兩個(gè)定理,可得到引例3和4的巧妙解答.

1-λ-μ和λ趨近于0,從而μ趨近于1,λ+2μ趨近于2.綜上所述,λ+2μ∈(0,2).

定理中點(diǎn)O在三角形邊上或外部,會(huì)怎樣呢？

推廣1 設(shè)O是△ABC所在平面內(nèi)一點(diǎn),且有

用分析引例1和2中的方法仍可以證明上述推廣結(jié)論.

注1：點(diǎn)O在△ABC的邊所在直線上(不含頂點(diǎn))時(shí),x，y，z中有且僅有一個(gè)為0.比如點(diǎn)O在直線AB上(不含頂點(diǎn))時(shí),必有z=0,xy≠0.此時(shí),SA∶SB=|x|∶|y|,SC=0.

注2：點(diǎn)O在△ABC的頂點(diǎn)時(shí),x，y，z中有兩個(gè)為0.比如點(diǎn)O在頂點(diǎn)A時(shí),必有y=z=0,x≠0.此時(shí),SB=SC=0,SA=S.

以上定理和推論是二維平面中的結(jié)論.在一維直線和三維空間中又會(huì)有何類似的結(jié)論呢？

這個(gè)結(jié)論顯而易證,且與定比分點(diǎn)公式緊密相關(guān).