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        放縮法求函數(shù)的零點(diǎn) *

        2019-10-14 02:26:18福建省泉州市第七中學(xué)362000黃永生紀(jì)建靈
        關(guān)鍵詞:零點(diǎn)評析本例

        福建省泉州市第七中學(xué) (362000) 黃永生 紀(jì)建靈 楊 丹

        縱觀2015年至2018年全國Ⅰ卷解答題導(dǎo)數(shù)部分試題,函數(shù)的零點(diǎn)問題一直倍受命題人青睞.為嚴(yán)謹(jǐn)?shù)剡\(yùn)用零點(diǎn)存在性定理,標(biāo)準(zhǔn)答案經(jīng)常會(huì)出現(xiàn)匪夷所思的取點(diǎn).本文嘗試從放縮法的尺度和方法入手,呈現(xiàn)標(biāo)準(zhǔn)答案中未呈現(xiàn)的取點(diǎn)過程,并形成可操作的有效方法,希望對讀者有所幫助.限于篇幅,本文僅關(guān)注試題的取點(diǎn)部分.

        1.放縮法

        要尋找f(x)<0的一個(gè)解,需將f(x)放大到g(x),只要能找到g(x)<0的一個(gè)解即可;同理,要尋找f(x)>0的一個(gè)解,只需將f(x)縮小到g(x),找到g(x)>0的一個(gè)解即可.

        2.放縮原理

        (1)存在x0∈R+,使得當(dāng)x>x0,有l(wèi)nx0);

        (2)存在x0∈R+,使得當(dāng)0-xα(α<0);

        (3)存在x0∈R-,使得當(dāng)x

        注:上式中的α均可根據(jù)需要取值.

        3.放縮法的尺度問題

        例1若函數(shù)f(x)=lnx-x-a有兩個(gè)不同的零點(diǎn),求實(shí)數(shù)a的取值范圍.

        解:依題意,易知f(x)在(0,1)單調(diào)遞增,在(1,+∞)單調(diào)遞減.即fmax(x)=f(1)=-1-a.

        若函數(shù)f(x)有兩個(gè)零點(diǎn),當(dāng)且僅當(dāng)下列三個(gè)條件同時(shí)成立:

        ①f(1)=-1-a>0.②?x1∈(0,1),使得f(x1)<0.③?x2∈(1,+∞),使得f(x2)<0.

        這里僅以條件③為例討論放縮法的尺度問題.

        放縮一:由于x∈(1,+∞)時(shí),根據(jù)放縮原理(1)得lnx<2x.所以f(x)=lnx-x-a<2x-x-a=x-a.令g(x)=x-a<0,得x

        兩種放縮都是將lnx進(jìn)行放大,但是得到的結(jié)論相去甚遠(yuǎn),原因在哪?仔細(xì)分析,當(dāng)x→+∞時(shí),函數(shù)f(x)<0,g(x)>0,h(x)<0.放縮一得到函數(shù)g(x)改變了原有函數(shù)f(x)的變化趨勢!據(jù)此,可以得到以下關(guān)于放縮法尺度問題的一個(gè)結(jié)論:不論是將函數(shù)f(x)放大(縮小),應(yīng)當(dāng)保證放大(縮小)得到的函數(shù)g(x)在自變量x趨向于定義域某端點(diǎn)時(shí),具有與函數(shù)f(x)相同的變化趨勢.所以,在將函數(shù)f(x)放縮之前,應(yīng)當(dāng)運(yùn)用極限,判斷函數(shù)f(x)中各項(xiàng)的正負(fù),并把握好函數(shù)f(x)的整體變化趨勢.同時(shí)也可以明確要取的點(diǎn)的區(qū)間的大致范圍.基于此,例1條件③還可以有其它取點(diǎn)方法,例如:

        4.放縮法的幾種技巧

        (1)利用代數(shù)式的正負(fù)性,舍項(xiàng)放縮

        例2 當(dāng)a>0時(shí),請取一個(gè)數(shù)x∈(0,+∞),使f(x)=ex+x2-ax>0.

        分析:當(dāng)x→+∞,ex>0,x2>0,要將函數(shù)f(x)縮小,可將正數(shù)項(xiàng)舍去.

        解:當(dāng)x→+∞,ex>0,x2>0,所以f(x)=ex+x2-ax>x2-ax,令x2-ax≥0,得x≥a.取x0=a,則f(x0)=f(a)=ea+a2-a2=ea>0.

        評析:本例中ex>0,x2>0,要取一個(gè)數(shù)使f(x)>0,舍去ex,x2中哪一項(xiàng)都可以,只是保留x2得到的不等式更容易解.但是不能將ex,x2同時(shí)舍去,否則得到-ax就是一個(gè)負(fù)數(shù),本質(zhì)上改變了函數(shù)f(x)在x→+∞時(shí)的變化趨勢.

        (2)利用放縮原理,調(diào)整放縮

        例3 已知a<-1,取一個(gè)數(shù)x∈(1,+∞),使得f(x)=alnx+x-a2>0.

        分析:當(dāng)x→+∞,x>0,alnx<0,要將函數(shù)f(x)縮小,不能簡單將alnx舍去.由于x→+∞時(shí),f(x)→+∞,可將alnx縮小.

        評析:本例中為了將參數(shù)a消去,可取x0=ea,但此時(shí)x0=ea?(1,+∞).當(dāng)函數(shù)f(x)均存在正負(fù)項(xiàng)時(shí),應(yīng)當(dāng)在保證函數(shù)f(x)整體變化趨勢不變的前提下,根據(jù)放縮原理進(jìn)行局部的調(diào)整放縮.

        (3)利用局部限制,放縮無窮小量

        5.高考試題應(yīng)用舉例

        例5(2016全國Ⅰ卷理21)函數(shù)f(x)=(x-2)ex+a(x-1)2,試說明已知a>0,fmin(x)=f(1)<0時(shí),f(x)有兩個(gè)零點(diǎn).

        分析:當(dāng)x→-∞,(x-2)ex為反向無窮小量,考慮局部限制放縮;當(dāng)x→+∞時(shí),(x-2)ex>0,

        a(x-1)2>0,考慮舍項(xiàng)放縮.

        解:易知a>0時(shí),f(x)在(-∞,1)單調(diào)遞減,在(1,+∞)單調(diào)遞增.

        令(x-2)ex≥0,解得x≥2.取x0=2,則f(2)=a>0.

        分析:當(dāng)x→+∞時(shí),ae2x>0,(a-2)ex<0,-x<0,考慮根據(jù)放縮原理調(diào)整放縮;當(dāng)x→-∞,(a-2)ex為反向無窮小量,考慮局部限制放縮,ae2x>0,考慮舍項(xiàng)放縮.

        當(dāng)x∈(-∞,0)時(shí),0(a-2)ex-x=(a-2)-x.

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