安徽省樅陽(yáng)縣會(huì)宮中學(xué) (246740) 方明生

近幾年的全國(guó)卷，導(dǎo)數(shù)均以壓軸題的身份出現(xiàn)，難度教大，學(xué)生的得分普遍較低，讓不少學(xué)生望而生畏．不管是求極值、最值、不等式證明還是函數(shù)零點(diǎn)的個(gè)數(shù)問(wèn)題，最終都會(huì)涉及到含參函數(shù)的單調(diào)性，而正是這個(gè)參數(shù)“嚇退”了我們的學(xué)生．追起根源，我們會(huì)發(fā)現(xiàn)含參函數(shù)的單調(diào)性問(wèn)題的本質(zhì)其實(shí)就是解含參的一元一次不等式、一元二次型不等式．而含參不等式的解法亦是高中不等式題型的難點(diǎn)，大部分學(xué)生根本把握不好分類(lèi)討論的標(biāo)準(zhǔn)，容易出現(xiàn)重復(fù)或者遺漏．通過(guò)筆者多年的教學(xué)，對(duì)此類(lèi)題型形成了一點(diǎn)自己的見(jiàn)解，今天寫(xiě)出來(lái)供大家參考，不當(dāng)之處請(qǐng)方家指正．

一、一元一次不等式型

例1 設(shè)函數(shù)f(x)=xekx，求f(x)的單調(diào)區(qū)間．

解:由題意可得f′(x)=ekx+kxekx=ekx(1+kx)，易知ekx>0恒成立．

評(píng)注:原題求導(dǎo)后轉(zhuǎn)化為求解不等式g(x)>0和g(x)<0，因?yàn)樵诮獠坏仁竭^(guò)程中要將參數(shù)k除到右邊，根據(jù)不等式的性質(zhì)，此時(shí)就需要對(duì)k的正負(fù)進(jìn)行討論．故一元一次不等式討論的標(biāo)準(zhǔn)是：(1)對(duì)一次項(xiàng)前的系數(shù)分正、負(fù)和零進(jìn)行分類(lèi)討論；(2)在系數(shù)為正(或負(fù))的情況下判斷根是否在定義域內(nèi)，從而進(jìn)一步展開(kāi)討論．

二、一元二次不等式型

(1)當(dāng)m=0時(shí)，f′(x)=-2x<0恒成立，所以f(x)在(0，+∞)上單調(diào)遞減．

(2)當(dāng)m>0時(shí)，函數(shù)g(x)開(kāi)口朝上，Δ=4-4m2(對(duì)判別式正負(fù)進(jìn)行討論)．

(ⅰ)當(dāng)Δ≤0時(shí)，即m≥1，此時(shí)f′(x)≥0恒成立，故函數(shù)f(x)在(0，+∞)單調(diào)遞增．

(3)當(dāng)m<0時(shí)，(此步易判斷f′(x)<0恒成立，考慮有部分學(xué)生做題時(shí)不善于去發(fā)現(xiàn)規(guī)律，故而筆者依舊按照對(duì)應(yīng)的解題步驟去完成)函數(shù)g(x)開(kāi)口朝下，Δ=4-4m2.

(ⅰ)當(dāng)Δ≤0時(shí)，即m≤-1，此時(shí)f′(x)≤0恒成立，故函數(shù)f(x)在(0，+∞)單調(diào)遞減．

評(píng)注:本題求導(dǎo)后進(jìn)行通分，分母恒為正，故而不需要考慮分母的正負(fù).解一元二次不等式關(guān)鍵在于二項(xiàng)式系數(shù)的正負(fù)討論(學(xué)生容易忽略為零的情況)、根的存在以及根的大小.例2的討論標(biāo)準(zhǔn)是對(duì)系數(shù)的正負(fù)以及判別式進(jìn)行的討論.

令g(x)=-ax2+x+a-1.

(1)當(dāng)a=0時(shí)，g(x)=x-1(一次函數(shù)).令g(x)>0得到x>1；令g(x)<0，得0

(2)當(dāng)a>0時(shí)，二次函數(shù)g(x)=-ax2+x+a-1的開(kāi)口朝下，Δ=1+4a(a-1)=(2a-1)2≥0，所以g(x)=-(x-1)[ax+(a-1)](對(duì)判別式正負(fù)展開(kāi)討論)

評(píng)注:本題討論較為繁瑣，與例2的不同地方在于本題的分子可以直接因式分解，也是高考?？碱}型，對(duì)于能夠因式分解的題型，直接進(jìn)入第三步，先判斷根是否在定義域內(nèi)，再對(duì)兩根大小展開(kāi)討論即可，無(wú)需再考慮判別式的正負(fù).如果不按照分類(lèi)討論的標(biāo)準(zhǔn)進(jìn)行極易出現(xiàn)錯(cuò)誤.

三、總結(jié)反思

通過(guò)上面的幾個(gè)典型例題我們發(fā)現(xiàn)，對(duì)于求導(dǎo)后是一元一次不等式型，分類(lèi)討論標(biāo)準(zhǔn)為：第一步若一次項(xiàng)系數(shù)含參，需要對(duì)一次項(xiàng)系數(shù)的正負(fù)展開(kāi)討論；第二步求出對(duì)應(yīng)方程的根后判斷根是否在定義域內(nèi)展開(kāi)討論．

求導(dǎo)后為一元二次不等式型，分類(lèi)討論的標(biāo)準(zhǔn)為：

第一步：看二次項(xiàng)系數(shù)是否含參，若含參，需要對(duì)系數(shù)分大于零、等于零和小于零分別展開(kāi)討論．若二次項(xiàng)系數(shù)為零，按照一元一次不等式題型解決；當(dāng)二次項(xiàng)系數(shù)大于零(或小于零)進(jìn)入第二步；

第二步：求出對(duì)應(yīng)一元二次方程的判別式，分Δ≤0(函數(shù)在定義域上恒增或恒減)和Δ>0展開(kāi)討論．若Δ>0則進(jìn)入第三步；

第三步：當(dāng)Δ>0時(shí)，求出對(duì)應(yīng)方程的兩個(gè)不等實(shí)根.

①判斷兩個(gè)實(shí)根是否在定義域內(nèi)，如果不能直接判斷，需要展開(kāi)討論．其中兩個(gè)實(shí)根都不在定義域內(nèi)或者只有一個(gè)實(shí)根在定義域內(nèi)可直接解二次不等式(或借助二次函數(shù)圖像)．若兩個(gè)實(shí)根都在定義域內(nèi)，則需要進(jìn)入下一步．

②判斷兩根大小關(guān)系，若無(wú)法確定大小，則需要對(duì)兩根的大小展開(kāi)討論．

最后，提供幾道試題供參考：

1.(2019年長(zhǎng)沙市第五次調(diào)研文科第21題節(jié)選)已知函數(shù)f(x)=lnx+ax2，其中a∈R，討論函數(shù)f(x)的單調(diào)性．

3.(2017年天津文科數(shù)學(xué)第21題節(jié)選)已知函數(shù)f(x)=x3-6x2-3a(a-4)x+b，其中a,b∈R，|a|<1，討論函數(shù)f(x)的單調(diào)性．

4.(2016年四川高考文科數(shù)學(xué)第21題節(jié)選)設(shè)函數(shù)f(x)=ax2-a-lnx，其中a∈R，討論函數(shù)f(x)的單調(diào)性．