浙江省寧波市第四中學(xué) (315016) 蔣亞軍

隨著浙江省新課程改革的推進(jìn)，從原來的文理分科到現(xiàn)在的7選3選課走班，隨之而來的每年學(xué)(選)考對(duì)數(shù)學(xué)高考復(fù)習(xí)的連貫性產(chǎn)生了不小的沖擊，使得數(shù)學(xué)知識(shí)的微專題教學(xué)備受關(guān)注，微專題以切口小、內(nèi)容精為兩大優(yōu)勢(shì)，能夠達(dá)到針對(duì)不同層次學(xué)生的精準(zhǔn)教學(xué).為此，浙江省寧波市的教研室開展了微專題教學(xué)設(shè)計(jì)比賽，筆者作為參賽選手，現(xiàn)將微專題教學(xué)設(shè)計(jì)整理成文，請(qǐng)同行批評(píng)指正！

1.內(nèi)容分析

復(fù)合函數(shù)的零點(diǎn)問題是高中數(shù)學(xué)教學(xué)的一個(gè)難點(diǎn)，也是高考、模擬考的一個(gè)熱點(diǎn),通常以選擇題和填空題的形式出現(xiàn)，不僅涉及到函數(shù)的各種性質(zhì),還蘊(yùn)含著豐富的數(shù)學(xué)思想與方法，如函數(shù)與方程、數(shù)形結(jié)合、分類討論及轉(zhuǎn)化與化歸思想,同時(shí)還具有“內(nèi)”“外”兩層函數(shù)的特殊性,從而增添了解題所需的思維難度.如：

高考試題(2014年浙江省高考理科第14題)

學(xué)考試題(2011年11月學(xué)考第18題)

已知函數(shù)f(x)=x2+ax+b(a,b∈R)，記集合A={x∈R|f(x)≤0},B={x∈R|f(f(x)+1)≤0}，若A=B≠?，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是( ).

A.[-4,4]B.[-2,2]C.[-2,0]D.[0,4]

對(duì)于這類問題,學(xué)生普遍感覺難以把握,本設(shè)計(jì)試圖從復(fù)合函數(shù)的典型題例著手,歸納出一種通性通法——利用數(shù)形結(jié)合的方法來解決復(fù)合函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)問題.

就上述兩個(gè)問題而言，學(xué)生已掌握函數(shù)與方程的關(guān)系、函數(shù)的零點(diǎn)、復(fù)合函數(shù)及分段函數(shù)等知識(shí)，能利用圖形解決一些簡(jiǎn)單的零點(diǎn)問題；并對(duì)函數(shù)與方程思想、分類討論、數(shù)形結(jié)合及轉(zhuǎn)化化歸等重要的數(shù)學(xué)思想的運(yùn)用已有了初步體驗(yàn)，但學(xué)生對(duì)復(fù)合函數(shù)理解不夠深入，特別是帶參數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)問題缺乏一定的研究方法和信心.

2.教學(xué)策略及目標(biāo)

本節(jié)課的學(xué)習(xí)是溫故知新，先從學(xué)生熟悉的復(fù)合函數(shù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)出發(fā)，從代數(shù)的分類討論思想和幾何的數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想加以解決，再提出建立一個(gè)“組合坐標(biāo)系”的思想，優(yōu)化學(xué)生處理復(fù)合函數(shù)零點(diǎn)問題的方法，最后通過含參復(fù)合函數(shù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)問題，使學(xué)生感受到建“組合坐標(biāo)系”帶來的優(yōu)勢(shì).由于本節(jié)課始終貫穿數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想，因此利用幾何畫板的動(dòng)態(tài)演示，讓學(xué)生更加直觀的感受，并希望達(dá)到如下的目標(biāo)：

(1)能利用分類討論和數(shù)形結(jié)合的思想解決復(fù)合函數(shù)零點(diǎn)的問題；

(2)理解和掌握一種“組合坐標(biāo)系”的建系方法，并能利用這一方法解決復(fù)合函數(shù)零點(diǎn)的問題，以及含參復(fù)合函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)討論問題；

(3)體驗(yàn)函數(shù)與方程、數(shù)形結(jié)合、分類討論及轉(zhuǎn)化與化歸等重要的數(shù)學(xué)思想，培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)抽象、直觀想象、邏輯推理、數(shù)學(xué)運(yùn)算等數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).

3.教學(xué)過程

3.1 判斷復(fù)合函數(shù)零點(diǎn)的個(gè)數(shù)

解法優(yōu)化：對(duì)于復(fù)合函數(shù)y=g(f(x))，設(shè)t=f(x)，則y=g(t)，先建立橫軸x正方向向右、縱軸t正方向向上的坐標(biāo)系xot，作函數(shù)t=f(x)的圖像.然后在該坐標(biāo)系左邊建立t軸正方向向上、y軸正方向向左坐標(biāo)系toy，并使y軸和x軸在同一條直線上，兩個(gè)t軸單位一致.用這種方法建立的坐標(biāo)系稱為“組合坐標(biāo)系”，利用“組合坐標(biāo)系”解決這類問題，比通常建兩個(gè)橫軸正方向都向右，縱軸正方向都向上的坐標(biāo)系，更容易理解掌握.

圖2

設(shè)計(jì)意圖:考慮到y(tǒng)=f(x)為分段函數(shù)，故可利用分類討論的方法得到y(tǒng)=f(f(x))+1的表達(dá)式，結(jié)合函數(shù)與方程的關(guān)系，求得對(duì)應(yīng)的零點(diǎn)，從而得到解法一.解法二則是通過換元和數(shù)形結(jié)合的思想，將函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)問題轉(zhuǎn)化為兩個(gè)函數(shù)圖像的交點(diǎn)個(gè)數(shù)問題，讓學(xué)生直觀感受.解法三是解法二的優(yōu)化，將兩個(gè)坐標(biāo)系中的圖形直接畫在一個(gè)“組合坐標(biāo)系”中，再將交點(diǎn)做x軸的平行線，看其與右邊圖形象的交點(diǎn)，這些交點(diǎn)的個(gè)數(shù)就是該復(fù)合函數(shù)零點(diǎn)的個(gè)數(shù).

3.2 討論含參復(fù)合函數(shù)零點(diǎn)的個(gè)數(shù)

例2 (2006年湖北高考題)關(guān)于x的方程(x2-1)2-|x2-1|+k=0，給出下列四個(gè)命題：

(1)存在實(shí)數(shù)k，使得方程恰好有2個(gè)不同的實(shí)根；

(2)存在實(shí)數(shù)k，使得方程恰好有4個(gè)不同的實(shí)根；

(3)存在實(shí)數(shù)k，使得方程恰好有5個(gè)不同的實(shí)根；

(4)存在實(shí)數(shù)k，使得方程恰好有8個(gè)不同的實(shí)根；

求其中假命題的個(gè)數(shù).

圖3

3.3 與導(dǎo)數(shù)結(jié)合判斷函數(shù)零點(diǎn)的個(gè)數(shù)

例3 (2013年安徽高考題)若函數(shù)f(x)=x3+ax2+bx+c有極值點(diǎn)x1,x2，且f(x1)=x1，求關(guān)于x的方程3(f(x))2+2af(x)+b=0不同實(shí)數(shù)根的個(gè)數(shù).

解：令t=f(x)=x3+ax2+bx+c，則原方程轉(zhuǎn)化為3t2+2at+b=0，構(gòu)造函數(shù)y=3t2+2at+b=f′(t)，作出圖像(圖4).因x1,x2是函數(shù)f(x)的極值點(diǎn)，且f(x1)=x1，當(dāng)x1是函數(shù)f(x)的極大值時(shí)，過函數(shù)y=3t2+2at+b與橫軸t的垂線與t=f(x)的圖像共有3個(gè)交點(diǎn)，即方程有3個(gè)實(shí)數(shù)根；同理當(dāng)x1是函數(shù)f(x)的極小值時(shí)，此時(shí)x1<0方程同樣有3個(gè)實(shí)數(shù)根.綜上所述，方程不同的實(shí)數(shù)根有3個(gè).

圖4

3.4 反饋練習(xí)

1.(2016湖南衡陽一模)函數(shù)f(x)的定義域?yàn)閇-1,1]圖像如圖5所示，函數(shù)g(x)的定義域?yàn)?/p>

[-2,2]，圖像如圖5所示，方程f(g(x))=0有m個(gè)實(shí)數(shù)根，方程g(f(x))=0有n個(gè)實(shí)數(shù)根，則m+n=( ).

A.14B.12C.10D.8

圖5

3.(2017沈陽一模，2018鎮(zhèn)海中學(xué)?？?，2018廣東珠海六校聯(lián)考題)已知函數(shù)f(x)=

A.4B.5C.6D.7

4.(2018年金華十校聯(lián)考題)已知函數(shù)f(x)=2|x-2|+1，對(duì)任意實(shí)數(shù)a,b,c關(guān)于方程a[f(x)]2+bf(x)+c=0的解集不可能是( ).

A.{1,3}B.{1,2,3}

C.{0,2,4}D{1,2,3,4}

5.已知函數(shù)f(x)=|x2-4x+3|，若方程[f(x)]2+bf(x)+c=0恰好有七個(gè)不相同的實(shí)數(shù)根，則實(shí)數(shù)b的取值范圍是( ).

A.(-2,0)B.(-2,-1)

C.(0,1)D.(0,2)

A.(2,8]B.(2,9]C.(8,9]D.(8,9)

A.當(dāng)k>0時(shí)，有4個(gè)零點(diǎn)；當(dāng)k<0時(shí)，有1個(gè)零點(diǎn);

B.無論k為何值，均有2個(gè)零點(diǎn);

C.當(dāng)k>0時(shí)，有3個(gè)零點(diǎn)；當(dāng)k<0時(shí)，有2個(gè)零點(diǎn);

D.無論k為何值，均有4個(gè)零點(diǎn).

設(shè)計(jì)意圖:反饋練習(xí)中設(shè)計(jì)了三類常見考點(diǎn)，如不含參的零點(diǎn)個(gè)數(shù)問題有1、2、3；含參二次函數(shù)復(fù)合型零點(diǎn)個(gè)數(shù)問題有4、5；已知零點(diǎn)個(gè)數(shù)討論參數(shù)范圍問題有6、7、8.

4.教學(xué)反思

上述問題的解答，告知我們，求函數(shù)零點(diǎn)的值，判斷函數(shù)零點(diǎn)的范圍或零點(diǎn)的個(gè)數(shù)以及已知函數(shù)零點(diǎn)求參數(shù)范圍等問題，都可利用方程來求解，但當(dāng)方程不易甚至不可能解出時(shí)，往往通過對(duì)圖形的分析構(gòu)造兩個(gè)函數(shù)，再利用數(shù)形結(jié)合的方法進(jìn)行求解.在這里也要提醒同學(xué)們，不能單純依靠圖形得到答案，由于作圖的局限性，答案出錯(cuò)且難以發(fā)現(xiàn)，如y=x2與y=2x的交點(diǎn)個(gè)數(shù)是2個(gè)還是3個(gè)問題(正確的是3個(gè))，再如2014年高考數(shù)學(xué)天津卷理科第14題：

已知函數(shù)f(x)=|x2+3x|,x∈R，若方程f(x)-a|x-1|=0恰有4個(gè)互異的實(shí)數(shù)根，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為.(答案：09).所以，在解這類問題時(shí)，一要做到作圖相對(duì)要準(zhǔn)確；二要做到解方程或不等式的等價(jià)性，以及數(shù)形相結(jié)合的方法來處理這類問題.