陳忠東

[摘 ? ? ? ? ? 要] ?結合高職數(shù)學的教學實際，對兩個重要極限的教學方法進行了分析、探討，總結出適應高職學生數(shù)學基礎的教學方法。對有效地化解教學難點，提高高職數(shù)學教學效果有一定的探索意義。

[關 ? ?鍵 ? 詞] ?高職數(shù)學;重要極限;教法

[中圖分類號] ?G712 ? ? ? ? ? ? ?[文獻標志碼] ?A ? ? ? ? ? ?[文章編號] ?2096-0603（2019）17-0196-02

高職學生數(shù)學基礎較為薄弱，由于數(shù)學知識間緊密的聯(lián)系性，致使他們在學習新知識時不能完全領悟、理解，雖然付出努力卻收獲甚微。如何克服困難，充分利用各種有利條件調(diào)動學生學習數(shù)學的積極性，保證大多數(shù)學生能夠?qū)W好數(shù)學，值得高職的數(shù)學教師研究并且要探索出一種可行的教法。

給學生上課講兩個重要極限時，經(jīng)常會遇到學生有以下困惑：在學習第一個重要極限時，有的學生將■■=1與■■=0混淆。在學習第二個重要極限■1+■x=e時，有的學生容易與■1+■x=1混淆。做相關題目時也不能區(qū)分正確兩個重要極限，也就是抓不住問題的實質(zhì)。學生產(chǎn)生上述困惑的主要原因是概念不清、基礎不扎實以及缺乏自信。從教學方面來看，主要是沒有采用適應高職學生數(shù)學基礎的教學方法，沒能重點講清兩個重要極限的結構特征。

高職數(shù)學中很多典型知識的應用是有規(guī)律可循的，恰當?shù)乜偨Y與應用這些規(guī)律，可以使學生在解決有關問題時方向明確，事半功倍。因此，筆者在高職兩個重要極限教學實踐中，采用找規(guī)律，抓方法，勤總結，將兩個重要極限的知識要點歸納起來，先給出一般表現(xiàn)形式，再給出其特點，最后通過實例學習來鞏固強化，化解教學難點，達到加深學生理解、舉一反三的效果，收到了較好的教學效果。

下面結合例題加以說明。

一、第一個重要極限

1.表現(xiàn)形式（1）■■=1 ? ? ? ?（2）■■=1

2.第一個重要極限的兩個特征

（1）角度一定趨于零;

（2）分子是角度的正弦函數(shù)，分母一定是這個角度本身。

第一個重要極限應用于求含三角函數(shù)的■型未定式極限，所求極限同時滿足兩個特征時，極限值就等于1。若僅不具備第二個特征，則湊不含sin號的那一邊，使之滿足第一個重要極限的形式。

3.實例

如果所求極限不具備第一個特征，則一定不能用第一個重要極限。

例1 求下列函數(shù)極限

（1）■■ ? ? ? ? （2）■■

解 （1）雖然函數(shù)也是■的形式，但當x→■時，該極限不滿足■型，所以它不屬于第一個重要極限。直接用代入法即可解得■■=■=■=■

（2）■■

由于x→∞時，該極限不滿足■型，所以它不屬于第一個重要極限。利用無窮小量的性質(zhì)：“無窮小量與有界變量的乘積仍為無窮小量”。

■■=0，且sinx≤1，■■=■■sinx=0.

若僅不具備第二個特征，則湊不含sin號的那一邊，使之滿足第一個重要極限的形式，進而應用第一個重要極限求解。

例2 求■■

解 ■■（■型）=5■■= 5.

小結：■■=k

例3 求■■

解 ■■（■型）=■■=■■■=■.

小結：■■=■

例4 求■■

解 ■■=■■=■■■■=1.

例5 求■■.

解 ■■=■■·■=1×1=1

上面的解法是錯誤的。

因為x→π時不滿足第一個重要極限的兩個特征，不能使用■■=1及■■=1。

正確的解法為：■■=■■=■■=-■■=-■=-1.

4.學生做練習，鞏固所學

（1）■■=7 ? （2）■■=■

二、第二個重要極限

1.表現(xiàn)形式

（1）■1+■x=e （2）■1+■Φ（x）=e

2.第二個重要極限的兩個特征

（1）底一定是數(shù)1加上無窮小量;

（2）指數(shù)一定是底中無窮小量的倒數(shù)。

第二個重要極限應用于求1∞型未定式，所求極限同時滿足兩個特征時，極限值就等于e.所求極限若具有第一個特征而不具備第二個特征，則可以通過冪的運算法則等代數(shù)恒等變形，使之滿足第二個特征，進而應用第二個重要極限求解。

3.實例

例6求■1+■x+4

解 ■1+■x+4（1∞型）

=■1+■x■1+■4=e×1=e.

小結：■1+■x+k=e.

例7 求■1+■4x

解 ■1+■4x（1∞型）

=■1+■■■=■1+■■■=e4■.

小結：■1+■kx=ek■.

例8 求■1-■x

解 ■1-■x=■1+■■■=e-3.

小結：■1+■x=ek■.

例9 求■1+■3x+5

解 ■1+■3x+5=■1+■3x■1+■■=■1+■■1+■■

=■1+■■■1+■■=e6

小結：■1+■bx+c=eab.

例10 ?求■■■

解 ?■■■=■■■=■■=■=e.

4.學生做練習，鞏固所學

（1）■1+■■=e.（2）■1+■■=e3.

（3）■1-■■=e-1.（4）■1+■■=e■3×4=e12.

學生直接應用兩個重要極限求其他極限比較困難，但可以將它們分別推廣為一般公式，通過一般公式學生可以清楚地了解兩類極限中函數(shù)的結構特征、應具備的條件，教師再向?qū)W生介紹兩個公式在使用時對所給函數(shù)進行恒等變形的關鍵點，讓學生在理解的基礎上直接套用公式解題，再配以例題講解以及一定量的反復鞏固練習，突破了難點就可以使學生得心應手地進行有關的極限計算。

總之，在兩個重要極限的教學設計中，要充分了解學生的基礎和知識面，如三角函數(shù)的有關公式，冪的有關運算法則學生大都遺忘了，在教學時要注意多花點時間給學生復習，往往學生的難點不都出現(xiàn)在本節(jié)所要理解的內(nèi)容上。

在實際教學中，應教會學生吃透教材，并且結合實際進行通俗化、公式化及口訣化教學，盡量使用短小精悍的語言，讓學生盡快掌握并能熟練應用。要讓學生做學習的主人，變“要我學”為“我要學”。只有這樣，才能提高學生學習數(shù)學、應用數(shù)學的能力，取得良好的教學效果。

參考文獻：

[1]趙樹嫄.經(jīng)濟應用數(shù)學基礎（一）微積分[M].3版.北京：中國人民大學出版社，2007.

[2]賈敬堂，徐愛華，張彩紅.高職數(shù)學兩個重要極限教法探究[J].邯鄲職業(yè)技術學院學報，2013（26）：1.

編輯 馬燕萍