張婭 許朋

摘要：文章針對(duì)Wiener過程和Poisson過程同時(shí)驅(qū)動(dòng)的隨機(jī)系統(tǒng)，研究了保成本控制問題，利用Lyapunov穩(wěn)定性理論和隨機(jī)分析理論，給出了保成本控制器的設(shè)計(jì)方法。最后用仿真說明了該方法的有效性。

關(guān)鍵詞：隨機(jī)系統(tǒng);Poisson過程;控制

一、緒論

保成本控制是魯棒控制研究的重要方法之一，經(jīng)過幾十年發(fā)展，保成本控制取得了大量的成果。對(duì)于隨機(jī)系統(tǒng)，其保成本控制問題也吸引了研究人員的關(guān)注。如對(duì)不確定隨機(jī)非線性系統(tǒng)，設(shè)計(jì)了輸出反饋保成本控制器。

但是，在上述隨機(jī)系統(tǒng)的保成本控制研究中，系統(tǒng)均是采用Wiener過程來對(duì)隨機(jī)現(xiàn)象進(jìn)行建模的。但由于隨機(jī)干擾的復(fù)雜性，系統(tǒng)在實(shí)際運(yùn)行中會(huì)受到連續(xù)型和跳躍型隨機(jī)干擾的同時(shí)影響，此時(shí)應(yīng)建立Wiener過程和Poisson過程共同驅(qū)動(dòng)的隨機(jī)系統(tǒng)。目前，Wiener過程和Poisson過程共同驅(qū)動(dòng)的隨機(jī)控制系統(tǒng)的研究已經(jīng)有了初步的進(jìn)展。但對(duì)于該系統(tǒng)的保成本控制問題，目前尚未檢索到相關(guān)文獻(xiàn)。因此，本文針對(duì)Wiener過程和Poisson過程共同驅(qū)動(dòng)的隨機(jī)系統(tǒng)的保成本控制問題，利用Lyapunov穩(wěn)定性理論和隨機(jī)分析理論，設(shè)計(jì)了保成本控制器。最后用仿真說明了該方法的有效性。

二、系統(tǒng)模型

Wiener和Poisson過程共同驅(qū)動(dòng)的隨機(jī)系統(tǒng)模型為

dx（t）=[A（t）x（t）+B（t）u（t）]dt+Cx（t）dW（t）+Dx（t-）dN（t）（1）

x（0）=ξ，（2）

這里x（t）∈Rn為狀態(tài)，u（t）∈Rm為控制輸入。W（t）是Wiener過程，N（t）是強(qiáng)度為λ>0的Poisson過程，兩個(gè)隨機(jī)過程是相互獨(dú)立的。x（0）為初始條件，且

A（t）=A+ΔA（t），B（t）=B+ΔB（t），

這里A∈Rn×n，Bn×n是已知矩陣。ΔA（t），ΔB（t）為系統(tǒng)的不確定性，滿足

[ΔA（t）? ΔB（t）]=MF（t）[N1? N2] （3）

其中，M，N1，N2為已知矩陣;F（·）：R→Rk×l表示未知時(shí)變矩陣函數(shù)，滿足

F（t）TF（t）≤I，？坌t（4）

對(duì)系統(tǒng)（1）-（2），將設(shè)計(jì)如下的狀態(tài)反饋控制器

u（t）=Kx（t）（5）

其中，K是待定增益矩陣。將控制器（5）代入至系統(tǒng)（1）-（2），得閉環(huán)系統(tǒng)（∑C）為

dx（t）=Ak（t）+Cx（t）dW（t）+Dx（t-）dN（t）（6）

x（0）=ξ，（7）

其中，Ak（t）=A（t）+B（t）K。對(duì)系統(tǒng)（∑C），考慮成本函數(shù)

其中R1，R2是給定的正定矩陣。

本文要解決保成本控制問題是對(duì)系統(tǒng)（1）-（2），設(shè)計(jì)控制器（5）使相應(yīng)閉環(huán)系統(tǒng)（∑C）是魯棒均方隨機(jī)漸近穩(wěn)定，且對(duì)于所有的不確定性，性能函數(shù)（8）有一個(gè)上界。

三、保成本控制器的設(shè)計(jì)方法

定理1 對(duì)隨機(jī)系統(tǒng)（1）-（2）和成本函數(shù)（8）。保成本控制問題是可解的充分條件是如果存在矩陣X>0，Y和標(biāo)量ε1使得如下LMI成立

其中

Ω11=AX+XAT+BY+YTBT-λX+ε1MMT，

此時(shí)保成本控制器為u（t）=Kx（t），K=YX-1，（10）

且成本函數(shù)滿足J≤E（x（0）TX-1x（0）），（11）

證明：首先證明閉環(huán)系統(tǒng)（∑C）是魯棒均方隨機(jī)漸近穩(wěn)定性的。對(duì)系統(tǒng)（∑C），選擇李雅普諾夫函數(shù)

V（t，x（t））=x（t）TPx（t），（12）

其中，P=X-1。則由Ito^公式可知對(duì)任意的T>0，

對(duì)（13）兩邊取期望有

這里

DV（t，x（t））=x（t）TΘ（t）x（t）（15）

其中，Θ（t）=PAk（t）+Ak（t）TP+x（t）TCTPCx（t）+λ（I+D）TP（I+D）-λP。

根據(jù)（9），易知矩陣Ξdiag（P，P，P，I，I，I）是非奇異的。故

ΞTΩΞ<0（16）

然后利用Schur補(bǔ)公式，即得

另一方面，令利用（3），（4），有

綜合（17）和（18），有

Θ（t）+R1+KTR2K<0，（19）

其中，Θ（t）=PAk（t）+Ak（t）T+λ（I+D）TP（I+D）-λP+CTPC.

從（19）知，可以找到一個(gè)常數(shù)c>0使得

Θ（t）<-cI.（20）

則從（15）和（20），有

DV（t，x（t））≤-cx（t）Tx（t）（21）

此時(shí)可知閉環(huán)系統(tǒng)是魯棒均方隨機(jī)漸近穩(wěn)定的。

接下來，本文將表明使用控制器（10），成本函數(shù)滿足（11）。為此，將考慮（12）中的李雅普諾夫函數(shù)。（19）表明

R1+KTR2K<-Θ（t），（22）

則

x（t）T（R1+KTR2K）x（t）≤-x（t）TΘ（t）x（t）=-DV（t，x（t）），（23）

對(duì)（23） 兩邊同時(shí)從0到T>0積分，然后取數(shù)學(xué)期望，有

因此，（11）中的上界被滿足。

四、數(shù)值仿真

考慮線性隨機(jī)系統(tǒng)（1）-（2）具有如下參數(shù)

A=2 00 2，B=1 ? 0.10.2 -1，C=0.3 00 0.3，D=0.2 00.1 0.2，M=0.1 0.20.5 0.2，N1=0.3 00 0.2，N2=0.2 00 0.24，λ=2，F(xiàn)（t）=sint，ξ=0.40.6

R1=1 00 1，R2=2 00 2

此時(shí)，開環(huán)系統(tǒng)的狀態(tài)曲線如圖1所示，圖1說明該開環(huán)系統(tǒng)是不穩(wěn)定的。那么，利用定理1，可求出滿足式（9）的控制器參數(shù)

K=-4.5513 -1.3530-0.3106 6.0696

則相應(yīng)的閉環(huán)系統(tǒng)的狀態(tài)曲線為圖2所示。則從圖2可知，此時(shí)設(shè)計(jì)的狀態(tài)反饋控制器能使相應(yīng)的閉環(huán)系統(tǒng)保持穩(wěn)定和滿足給定的性能。

參考文獻(xiàn)：

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