戴耀東

(海門市證大中學(xué)，江蘇 海門 226100)

1 原題再現(xiàn)

牛頓設(shè)想,把物體從高山上水平拋出,速度一次比一次大,落地點就一次比一次遠,如果速度足夠大,物體就不再落回地面,它將繞地球運動,成為人造地球衛(wèi)星．

同樣是受地球引力,隨著拋出速度增大,物體會從做平拋運動逐漸變?yōu)樽鰣A周運動,請分析原因．

參考答案:物體初速度較小時,運動范圍很小,引力可以看作恒力——重力,做平拋運動;隨著物體初速度增大,運動范圍變大,引力不能再看作恒力;當(dāng)物體初速度達到第一宇宙速度時,做圓周運動而成為地球衛(wèi)星．

2 答案分析與思考

參考答案充分考慮學(xué)生的認知水平,根據(jù)速度不同導(dǎo)致的運動范圍變化,從而考慮力方向是否能看成恒力．此模型來源于人教版必修2第44頁,卻巧妙考察學(xué)生平拋運動和圓周運動的條件,從一般到特殊的物理思維,還有巧取近似的物理方法,是一道很好的高考題．

圖1

這里存在一個值得思考的問題,這個平拋運動是怎么因為速度變大,就逐漸過渡到圓周運動的呢?拋物線能因為速度增大變成圓嗎?筆者嘗試利用大學(xué)的分析力學(xué)和解微分方程的知識回答這個問題．

3 解決問題

3.1 建立模型

如圖1,以地球球心為極點,Ox軸為極軸建立極坐標(biāo)系,θ為極角(逆時針方向為正)．

在極坐標(biāo)系中，er為單位位矢,eθ為單位角矢，

由于引力F始終沿-er方向,所以

2vrω+rβ=0.

根據(jù)牛頓第二定律可得

又根據(jù)開普勒第二定律可知

r0v0=r(rω),

于是

(1)

3.2 求解微分方程

此微分方程的求解主要用到換元技巧,具體如下.

代入(1)式可知

(2)

兩邊積分,并代入初始條件(r=r0時v=v0),可得

即

(3)

又因為

以上兩式先后代入(3)式可得

(4)

即

即物體在一般情況下的軌跡方程為

(5)

3.3 結(jié)果分析

(1) 若v0較小,e→-1.

物體的軌跡方程為r=r0,這恰好是圓的極坐標(biāo)方程．

物體的軌跡方程橢圓的極坐標(biāo)方程．

物體的軌跡方程雙曲線的極坐標(biāo)方程,即若物體初速度超過第二宇宙速度,物體將沿著雙曲線遠離地球．

4 總結(jié)

本文對2019年高考北京卷第21(5)題作了定量分析，便于更好理解本題的本質(zhì).