唐沂國

(平邑第一中學,山東 平邑 273300)

1 引言

2019年6月7日《中國考試》發(fā)布了今年高考數(shù)學試題分析:2019年高考數(shù)學命題以全國教育大會精神為指引認真貫徹“五育并舉”教育方針,突出數(shù)學學科特色,著重考查考生的理性思維能力及綜合運用數(shù)學思維方法分析問題,解決問題的能力……試題突出學科素養(yǎng)導向合理創(chuàng)設情境,體現(xiàn)教育功能．今年高考理科Ⅱ卷第4題結合“嫦娥四號”實現(xiàn)人類歷史首次月球背面軟著陸的技術突破考查近似估算的能力,反映我國航天事業(yè)取得的成就．這道試題發(fā)揮了思想教育功能,體現(xiàn)了對德育的滲透和引導．

《普通高中物理課程標準》要求物理教師的教學“在使學生掌握基礎知識的同時,應關注物理學與數(shù)學之間的聯(lián)系,重視培養(yǎng)學生應用數(shù)學知識處理物理問題的能力,發(fā)揮數(shù)學工具在物理學發(fā)展過程中的作用”．

2019年全國卷Ⅱ理科數(shù)學第4題,恰好詮釋了數(shù)學思想方法與物理學科素養(yǎng)的有機結合．從牛頓的經(jīng)典力學到愛因斯坦的相對論,從麥克斯韋方程組的電與磁到量子力學中的波粒二象性的對立統(tǒng)一,數(shù)學思維方法無時不在幫助陳述和揭示物理的奧秘．近代物理學的美妙之處,就是它能以精確的數(shù)學形式表示出物理規(guī)律,開創(chuàng)了科學實驗同數(shù)學相結合的方法．

2 數(shù)學真題展現(xiàn)

例1.(2019年全國卷Ⅱ理科數(shù)學第4題)2019年1月3日嫦娥四號探測器成功實現(xiàn)人類歷史首次月球背面軟著陸,我國航天事業(yè)取得又一次重大成就．實現(xiàn)月球背面軟著陸需要解決的一個關鍵技術問題是地面與探測器的通訊聯(lián)系．為解決這個問題,發(fā)射了嫦娥四號中繼星“鵲橋”．鵲橋沿著繞地月拉格朗日L2點的軌跡運行．L2點是平衡點,位于地月連線的延長線上．設地球質量為M1,月球質量為M2,地月距離為R,L2點到月球的距離為r,根據(jù)牛頓運動定律和萬有引力定律,r滿足方程:

原式可化為

答案:選項(D)正確．

3 拉格朗日點

(1) 拉格朗日點指受兩大物體引力作用下,能使小物體穩(wěn)定的點．一個小物體在兩個大物體的引力作用下在空間中的一點,在該點處,小物體相對于兩大物體基本保持靜止．該說法由法國數(shù)學家拉格朗日于1772年發(fā)表的論文“三體問題”中,為了求得三體問題的通解,他用了一個非常特殊的例子作為問題的結果,即如果某一時刻,3個運動物體恰恰處于等邊三角形的3個頂點,那么給定初速度,它們將始終保持等邊三角形隊形運動,并且通過幾何圖形給出了拉格朗日點的位置．

如圖1所示，在每個由兩大天體構成的系統(tǒng)中,按推論有5個拉格朗日點,但只有兩個是穩(wěn)定的,即小物體在該點處即使受外界引力的攝擾,仍然有保持在原來位置處的傾向,每個穩(wěn)定點同兩大物體所在的點構成一個等邊三角．

圖1

拉格朗日點的首次證明是在1906年,當時天文學家發(fā)現(xiàn)了第588號小行星和太陽正好等距離,并且同木星幾乎在同一軌道上超前60°運動,它們一起構成了運動著的等邊三角形．不久后(同一年)發(fā)現(xiàn)的第617號小行星也在木星軌道上落后60°左右,構成第2個拉格朗日正三角形,隨著人們對太陽系的了解,以及后來人造衛(wèi)星等航天器的發(fā)射,人們發(fā)現(xiàn)了越來越多的拉格朗日點現(xiàn)象．

20世紀80年代,天文學家發(fā)現(xiàn)土星和它的大衛(wèi)星構成的運動系統(tǒng)中也有類似的正三角形．人們進一步發(fā)現(xiàn),在自然界各種運動系統(tǒng)中,都有拉格朗日(拉格朗治)點．這是因為三角形是最穩(wěn)定的結構,而等邊三角形是三角形結構中最穩(wěn)定的,所以往往是處于拉格朗日點上的物體最穩(wěn)定,而不處于拉格朗日點上的物體都是不穩(wěn)定的．下面用示意圖來介紹一下這種奇異點,其在天體運動系統(tǒng)中有5個,用字母L表示．L1、L2和L3在兩個天體的聯(lián)線上,為不穩(wěn)定點．如一個物體在這些點上稍微挪動一下,就會離去,不再復位．L4、L5是穩(wěn)定點．一個物體在此點上稍有移動,不會脫離,而是繞這個點作往返擺動,因此又稱作拉格朗日平動點．

拉格朗日點在現(xiàn)代宇航領域的應用也很廣泛,比如發(fā)射太陽同步衛(wèi)星或地球同步衛(wèi)星的話,那么日地拉格朗日點和地月拉格朗日點就是最理想的位置．

(2) 理性在太空閃光——L2點的應用.

在兩個大天體的連線上,且在較小的天體一側．例如:相似的影響發(fā)生在地球的另一側．一個物體距太陽的距離越遠,它的軌道周期通常就越長．地球引力對其的拉力減小了物體的軌道周期．在L2點,軌道周期變得與地球的相等．

L2通常用于放置空間天文臺．因為L2的物體可以保持背向太陽和地球的方位,易于保護和校準．威爾金森微波各向異性探測器已經(jīng)圍繞日—地系統(tǒng)的L2點運行．詹姆斯-韋伯太空望遠鏡將要被放置在日——地系統(tǒng)的L2點上．

嫦娥二號衛(wèi)星于2011年6月9日16時50分05秒在探月任務結束后飛離月球軌道,飛向第2拉格朗日點繼續(xù)進行探測,飛行距離1.5×106km．北京時間8月25日23時27分,經(jīng)過77天的飛行,“嫦娥二號”在世界上首次實現(xiàn)從月球軌道出發(fā),受控準確進入距離地球約1.5×106km遠的、太陽與地球引力平衡點——拉格朗日L2點的環(huán)繞軌道．

如圖2所示，嫦娥4號的月球車將著陸于月球背面，但地球上的基站卻無法直接“看到”月球背面！

圖2

(3) 有趣的用途.

法國空間研究中心的天文學家提出一個新設想,使得拉格朗日點將來可能獲得新的用途:用作攔截危險小行星的布防點．法國

科學家提出,捕獲一些中等體積的“天體”,把它們“部署”到“太陽——地球”體系的5個拉格朗日點中的一個．發(fā)現(xiàn)對地球有危險的小行星以后,人們可以調用這些“天體”去攔截危險小行星．

美妙的理論、美麗的圖像、美好的應用,拉格朗日帶給我們的興趣是全方位的:理趣、情趣、志趣．這是我們對科學的全面的美感．

4 物理競賽題

例2.(第32屆全國中學生物理競賽預賽第8題)2011年8月中國發(fā)射的宇宙飛船“嫦娥二號”在完成探月任務后,首次從繞月軌道飛向日地延長線上的拉格朗日點,在該點,“嫦娥二號”和地球一起繞太陽做圓周運動,已知太陽和地球的質量分別為MS和ME,日地距離為R．該拉格朗日點離地球的距離x滿足的方程為________________,由此解得x≈________________________．[已知當λ?1時,(1+λ)n≈(1+nλ)]

解析:根據(jù)牛頓第二定律和萬有引力定律,有

聯(lián)立以上兩式,解得

即

整理得

解得