唐沂國(guó)

(平邑第一中學(xué),山東 平邑 273300)

1 引言

2019年6月7日《中國(guó)考試》發(fā)布了今年高考數(shù)學(xué)試題分析:2019年高考數(shù)學(xué)命題以全國(guó)教育大會(huì)精神為指引認(rèn)真貫徹“五育并舉”教育方針,突出數(shù)學(xué)學(xué)科特色,著重考查考生的理性思維能力及綜合運(yùn)用數(shù)學(xué)思維方法分析問(wèn)題,解決問(wèn)題的能力……試題突出學(xué)科素養(yǎng)導(dǎo)向合理創(chuàng)設(shè)情境,體現(xiàn)教育功能．今年高考理科Ⅱ卷第4題結(jié)合“嫦娥四號(hào)”實(shí)現(xiàn)人類歷史首次月球背面軟著陸的技術(shù)突破考查近似估算的能力,反映我國(guó)航天事業(yè)取得的成就．這道試題發(fā)揮了思想教育功能,體現(xiàn)了對(duì)德育的滲透和引導(dǎo)．

《普通高中物理課程標(biāo)準(zhǔn)》要求物理教師的教學(xué)“在使學(xué)生掌握基礎(chǔ)知識(shí)的同時(shí),應(yīng)關(guān)注物理學(xué)與數(shù)學(xué)之間的聯(lián)系,重視培養(yǎng)學(xué)生應(yīng)用數(shù)學(xué)知識(shí)處理物理問(wèn)題的能力,發(fā)揮數(shù)學(xué)工具在物理學(xué)發(fā)展過(guò)程中的作用”．

2019年全國(guó)卷Ⅱ理科數(shù)學(xué)第4題,恰好詮釋了數(shù)學(xué)思想方法與物理學(xué)科素養(yǎng)的有機(jī)結(jié)合．從牛頓的經(jīng)典力學(xué)到愛因斯坦的相對(duì)論,從麥克斯韋方程組的電與磁到量子力學(xué)中的波粒二象性的對(duì)立統(tǒng)一,數(shù)學(xué)思維方法無(wú)時(shí)不在幫助陳述和揭示物理的奧秘．近代物理學(xué)的美妙之處,就是它能以精確的數(shù)學(xué)形式表示出物理規(guī)律,開創(chuàng)了科學(xué)實(shí)驗(yàn)同數(shù)學(xué)相結(jié)合的方法．

2 數(shù)學(xué)真題展現(xiàn)

例1.(2019年全國(guó)卷Ⅱ理科數(shù)學(xué)第4題)2019年1月3日嫦娥四號(hào)探測(cè)器成功實(shí)現(xiàn)人類歷史首次月球背面軟著陸,我國(guó)航天事業(yè)取得又一次重大成就．實(shí)現(xiàn)月球背面軟著陸需要解決的一個(gè)關(guān)鍵技術(shù)問(wèn)題是地面與探測(cè)器的通訊聯(lián)系．為解決這個(gè)問(wèn)題,發(fā)射了嫦娥四號(hào)中繼星“鵲橋”．鵲橋沿著繞地月拉格朗日L2點(diǎn)的軌跡運(yùn)行．L2點(diǎn)是平衡點(diǎn),位于地月連線的延長(zhǎng)線上．設(shè)地球質(zhì)量為M1,月球質(zhì)量為M2,地月距離為R,L2點(diǎn)到月球的距離為r,根據(jù)牛頓運(yùn)動(dòng)定律和萬(wàn)有引力定律,r滿足方程:

原式可化為

答案:選項(xiàng)(D)正確．

3 拉格朗日點(diǎn)

(1) 拉格朗日點(diǎn)指受兩大物體引力作用下,能使小物體穩(wěn)定的點(diǎn)．一個(gè)小物體在兩個(gè)大物體的引力作用下在空間中的一點(diǎn),在該點(diǎn)處,小物體相對(duì)于兩大物體基本保持靜止．該說(shuō)法由法國(guó)數(shù)學(xué)家拉格朗日于1772年發(fā)表的論文“三體問(wèn)題”中,為了求得三體問(wèn)題的通解,他用了一個(gè)非常特殊的例子作為問(wèn)題的結(jié)果,即如果某一時(shí)刻,3個(gè)運(yùn)動(dòng)物體恰恰處于等邊三角形的3個(gè)頂點(diǎn),那么給定初速度,它們將始終保持等邊三角形隊(duì)形運(yùn)動(dòng),并且通過(guò)幾何圖形給出了拉格朗日點(diǎn)的位置．

如圖1所示，在每個(gè)由兩大天體構(gòu)成的系統(tǒng)中,按推論有5個(gè)拉格朗日點(diǎn),但只有兩個(gè)是穩(wěn)定的,即小物體在該點(diǎn)處即使受外界引力的攝擾,仍然有保持在原來(lái)位置處的傾向,每個(gè)穩(wěn)定點(diǎn)同兩大物體所在的點(diǎn)構(gòu)成一個(gè)等邊三角．

圖1

拉格朗日點(diǎn)的首次證明是在1906年,當(dāng)時(shí)天文學(xué)家發(fā)現(xiàn)了第588號(hào)小行星和太陽(yáng)正好等距離,并且同木星幾乎在同一軌道上超前60°運(yùn)動(dòng),它們一起構(gòu)成了運(yùn)動(dòng)著的等邊三角形．不久后(同一年)發(fā)現(xiàn)的第617號(hào)小行星也在木星軌道上落后60°左右,構(gòu)成第2個(gè)拉格朗日正三角形,隨著人們對(duì)太陽(yáng)系的了解,以及后來(lái)人造衛(wèi)星等航天器的發(fā)射,人們發(fā)現(xiàn)了越來(lái)越多的拉格朗日點(diǎn)現(xiàn)象．

20世紀(jì)80年代,天文學(xué)家發(fā)現(xiàn)土星和它的大衛(wèi)星構(gòu)成的運(yùn)動(dòng)系統(tǒng)中也有類似的正三角形．人們進(jìn)一步發(fā)現(xiàn),在自然界各種運(yùn)動(dòng)系統(tǒng)中,都有拉格朗日(拉格朗治)點(diǎn)．這是因?yàn)槿切问亲罘€(wěn)定的結(jié)構(gòu),而等邊三角形是三角形結(jié)構(gòu)中最穩(wěn)定的,所以往往是處于拉格朗日點(diǎn)上的物體最穩(wěn)定,而不處于拉格朗日點(diǎn)上的物體都是不穩(wěn)定的．下面用示意圖來(lái)介紹一下這種奇異點(diǎn),其在天體運(yùn)動(dòng)系統(tǒng)中有5個(gè),用字母L表示．L1、L2和L3在兩個(gè)天體的聯(lián)線上,為不穩(wěn)定點(diǎn)．如一個(gè)物體在這些點(diǎn)上稍微挪動(dòng)一下,就會(huì)離去,不再?gòu)?fù)位．L4、L5是穩(wěn)定點(diǎn)．一個(gè)物體在此點(diǎn)上稍有移動(dòng),不會(huì)脫離,而是繞這個(gè)點(diǎn)作往返擺動(dòng),因此又稱作拉格朗日平動(dòng)點(diǎn)．

拉格朗日點(diǎn)在現(xiàn)代宇航領(lǐng)域的應(yīng)用也很廣泛,比如發(fā)射太陽(yáng)同步衛(wèi)星或地球同步衛(wèi)星的話,那么日地拉格朗日點(diǎn)和地月拉格朗日點(diǎn)就是最理想的位置．

(2) 理性在太空閃光——L2點(diǎn)的應(yīng)用.

在兩個(gè)大天體的連線上,且在較小的天體一側(cè)．例如:相似的影響發(fā)生在地球的另一側(cè)．一個(gè)物體距太陽(yáng)的距離越遠(yuǎn),它的軌道周期通常就越長(zhǎng)．地球引力對(duì)其的拉力減小了物體的軌道周期．在L2點(diǎn),軌道周期變得與地球的相等．

L2通常用于放置空間天文臺(tái)．因?yàn)長(zhǎng)2的物體可以保持背向太陽(yáng)和地球的方位,易于保護(hù)和校準(zhǔn)．威爾金森微波各向異性探測(cè)器已經(jīng)圍繞日—地系統(tǒng)的L2點(diǎn)運(yùn)行．詹姆斯-韋伯太空望遠(yuǎn)鏡將要被放置在日——地系統(tǒng)的L2點(diǎn)上．

嫦娥二號(hào)衛(wèi)星于2011年6月9日16時(shí)50分05秒在探月任務(wù)結(jié)束后飛離月球軌道,飛向第2拉格朗日點(diǎn)繼續(xù)進(jìn)行探測(cè),飛行距離1.5×106km．北京時(shí)間8月25日23時(shí)27分,經(jīng)過(guò)77天的飛行,“嫦娥二號(hào)”在世界上首次實(shí)現(xiàn)從月球軌道出發(fā),受控準(zhǔn)確進(jìn)入距離地球約1.5×106km遠(yuǎn)的、太陽(yáng)與地球引力平衡點(diǎn)——拉格朗日L2點(diǎn)的環(huán)繞軌道．

如圖2所示，嫦娥4號(hào)的月球車將著陸于月球背面，但地球上的基站卻無(wú)法直接“看到”月球背面！

圖2

(3) 有趣的用途.

法國(guó)空間研究中心的天文學(xué)家提出一個(gè)新設(shè)想,使得拉格朗日點(diǎn)將來(lái)可能獲得新的用途:用作攔截危險(xiǎn)小行星的布防點(diǎn)．法國(guó)

科學(xué)家提出,捕獲一些中等體積的“天體”,把它們“部署”到“太陽(yáng)——地球”體系的5個(gè)拉格朗日點(diǎn)中的一個(gè)．發(fā)現(xiàn)對(duì)地球有危險(xiǎn)的小行星以后,人們可以調(diào)用這些“天體”去攔截危險(xiǎn)小行星．

美妙的理論、美麗的圖像、美好的應(yīng)用,拉格朗日帶給我們的興趣是全方位的:理趣、情趣、志趣．這是我們對(duì)科學(xué)的全面的美感．

4 物理競(jìng)賽題

例2.(第32屆全國(guó)中學(xué)生物理競(jìng)賽預(yù)賽第8題)2011年8月中國(guó)發(fā)射的宇宙飛船“嫦娥二號(hào)”在完成探月任務(wù)后,首次從繞月軌道飛向日地延長(zhǎng)線上的拉格朗日點(diǎn),在該點(diǎn),“嫦娥二號(hào)”和地球一起繞太陽(yáng)做圓周運(yùn)動(dòng),已知太陽(yáng)和地球的質(zhì)量分別為MS和ME,日地距離為R．該拉格朗日點(diǎn)離地球的距離x滿足的方程為________________,由此解得x≈________________________．[已知當(dāng)λ?1時(shí),(1+λ)n≈(1+nλ)]

解析:根據(jù)牛頓第二定律和萬(wàn)有引力定律,有

聯(lián)立以上兩式,解得

即

整理得

解得