丁少航

(中山市濠頭中學(xué)，廣東 中山 528437)

理想氣體的狀態(tài)方程:一定質(zhì)量的某種理想氣體,從狀態(tài)1變化到狀態(tài)2時(shí),盡管p、V、T都可能改變,但壓強(qiáng)跟體積的乘積與熱力學(xué)溫度的比值保持不變,即

式中c是與p、V、T無關(guān)的常量.

在“氣體類”計(jì)算題中,要想列出理想氣體的狀態(tài)方程,首先確定熱學(xué)研究對(duì)象(一定質(zhì)量的理想氣體),再根據(jù)題目所述的物理過程,對(duì)熱學(xué)研究對(duì)象分析清楚初、末狀態(tài)及狀態(tài)變化過程,最后選擇出最佳的氣體實(shí)驗(yàn)定律列出方程.對(duì)近幾年全國(guó)卷的研究,“氣體類”的高考計(jì)算題中的研究對(duì)象不僅僅有熱學(xué)研究對(duì)象,還會(huì)涉及到力學(xué)研究對(duì)象(如活塞、液柱等),一般有以下幾種模型.

1 平衡類問題

高考“氣體類”的計(jì)算題,很多都是涉及到物體的平衡問題,此類問題有兩個(gè)研究對(duì)象——熱學(xué)研究對(duì)象和力學(xué)研究對(duì)象.對(duì)于熱學(xué)研究對(duì)象,分析該氣體的初、末狀態(tài)及狀態(tài)變化過程,選擇合適的氣體實(shí)驗(yàn)定律列出方程;而對(duì)于力學(xué)研究對(duì)象,正確地對(duì)其進(jìn)行受力分析,根據(jù)力學(xué)規(guī)律列出方程.還要結(jié)合題目中所給的隱含條件(如幾何關(guān)系),列出方程,聯(lián)立求解.

1.1 汽缸活塞類問題

圖1

例1.[2018年全國(guó)Ⅱ卷第33題(2)問]如圖1所示,一豎直放置的汽缸上端開口,氣缸壁內(nèi)有卡口a和b,a、b間距為h,a距缸底的高度為H;活塞只能在a、b間移動(dòng),其下方密封有一定質(zhì)量的理想氣體.已知活塞質(zhì)量為m,面積為S,厚度可忽略;活塞和汽缸壁均絕熱,不計(jì)他們之間的摩擦.開始時(shí)活塞處于靜止?fàn)顟B(tài),上、下方氣體壓強(qiáng)均為p0,溫度均為T0.現(xiàn)用電熱絲緩慢加熱氣缸中的氣體,直至活塞剛好到達(dá)b處.求此時(shí)氣缸內(nèi)氣體的溫度以及在此過程中氣體對(duì)外所做的功.重力加速度大小為g.

解析:本題的熱學(xué)研究對(duì)象是活塞下方密封的一定質(zhì)量的理想氣體,力學(xué)研究對(duì)象是可在a、b間移動(dòng)的活塞.

開始時(shí)活塞在a處保持靜止?fàn)顟B(tài),對(duì)其進(jìn)行受力分析可知,這時(shí)卡口對(duì)活塞有支持力.所以加熱后,汽缸中的氣體先經(jīng)歷等容過程,直至活塞剛好要向上運(yùn)動(dòng).

在這個(gè)等容過程中,初狀態(tài):壓強(qiáng)p0,溫度T0;末狀態(tài):壓強(qiáng)p1,溫度T1.由查理定律,

活塞剛好要向上運(yùn)動(dòng)時(shí),由力的平衡條件,有

p1S=p0S+mg，

此后,汽缸中的氣體再經(jīng)歷等壓過程,直至活塞剛好到達(dá)b處,在這個(gè)等壓過程中,初狀態(tài):體積V1=SH,溫度T1;末狀態(tài):體積V2=S(H+h),溫度T2.由蓋—呂薩克定律,有

解得

從開始加熱到活塞到達(dá)b處的過程中,汽缸中的氣體對(duì)外做的功為

W=p1S·h=(p0S+mg)h.

若涉及到相互關(guān)聯(lián)的兩部分氣體,這兩部分氣體雖然沒有氣體交換,但其壓強(qiáng)或體積這些物理量之間有一定的關(guān)系,分析清楚這些關(guān)系才是解決這類問題的關(guān)鍵.

圖2

解析:本題的熱學(xué)研究對(duì)象是活塞上、下部分密封的一定質(zhì)量的氣體(均可看成是理想氣體),力學(xué)研究對(duì)象是可自由移動(dòng)、不計(jì)質(zhì)量的活塞.

由幾何關(guān)系可知

再次平衡時(shí),設(shè)活塞上方液體的質(zhì)量為m,由力的平衡條件得

p2S=p1S+mg，

解得

1.2 液柱類問題

圖3

例3.[2018年全國(guó)Ⅲ卷第33題(2)問]如圖3所示,在兩端封閉、粗細(xì)均勻的U型細(xì)玻璃管內(nèi)有一股水銀柱,水銀柱的兩端各封閉有一段空氣.當(dāng)U型管兩端豎直朝上時(shí),左、右兩邊空氣柱的長(zhǎng)度分別為l1=18.0 cm和l2=12.0 cm,左邊氣體的壓強(qiáng)為12.0 cmHg.現(xiàn)將U型管緩慢平放在水平桌面上,沒有氣體從管的一邊通過水銀逸入另一邊.求U型管平放時(shí)兩邊空氣柱的長(zhǎng)度.在整個(gè)過程中,氣體溫度不變.

解析:本題的熱學(xué)研究對(duì)象是左、右兩邊封閉的一定質(zhì)量的氣體(均可看成是理想氣體),力學(xué)研究對(duì)象是存有高度差的水銀柱.

當(dāng)U型管兩端豎直朝上時(shí),左、右兩邊存有高度差的那段水銀液柱的受力平衡,則有

p1S=p2S+ρg(l1-l2)S，

式中p1和p2為左、右兩邊氣體的壓強(qiáng),S為玻璃管的橫截面積,ρ為水銀的密度.

圖4

當(dāng)U型管水平放置時(shí),兩邊氣體壓強(qiáng)相等,設(shè)為p,此時(shí)左、右兩邊氣體長(zhǎng)度分別變?yōu)閘1′和l2′(如圖4所示).

在這個(gè)變化的過程,對(duì)左邊氣體(溫度不變)有,初狀態(tài):壓強(qiáng)p1,體積V1=l1S;末狀態(tài):壓強(qiáng)p,體積V1′=l1′S;對(duì)右邊氣體(溫度不變)有,初狀態(tài):壓強(qiáng)p2,體積V2=l2S;末狀態(tài):壓強(qiáng)p,體積V2′=l2′S.

由玻意耳定律有

p1V1=pV1′，p2V2=pV2′.

幾何關(guān)系可知

l1′-l1=l2-l2′.

解得

l1′=22.5 cm，l2′=7.5 cm.

2 變質(zhì)量問題

處理氣體的變質(zhì)量問題,通常要研究質(zhì)量變化前的氣體和質(zhì)量變化后的氣體,把它們轉(zhuǎn)化為定質(zhì)量的氣體問題.選擇一個(gè)合適的狀態(tài)參量作為標(biāo)準(zhǔn)(如同一個(gè)大氣壓),把質(zhì)量變化前的氣體和質(zhì)量變化后的氣體的狀態(tài)參量轉(zhuǎn)為同一標(biāo)準(zhǔn)下的氣體狀態(tài)參量,再根據(jù)題意求解出結(jié)果.

例4.[2016年全國(guó)Ⅱ卷第33題(2)問]一氧氣瓶的容積為0.08 m3,開始時(shí)瓶中氧氣的壓強(qiáng)為20個(gè)大氣壓.某實(shí)驗(yàn)室每天消耗1個(gè)大氣壓的氧氣0.36 m3.當(dāng)氧氣瓶中的壓強(qiáng)降低到2個(gè)大氣壓時(shí),需重新充氣.若氧氣的溫度保持不變,求這瓶氧氣重新充氣前可供該實(shí)驗(yàn)室使用多少天.

解析:選一個(gè)大氣壓p0做為參考標(biāo)準(zhǔn),未使用時(shí)氧氣瓶中的氣體轉(zhuǎn)化成在一個(gè)大氣壓p0中的體積(溫度T不變), 初態(tài):壓強(qiáng)p1=20p0,體積V1=0.08 m3,末態(tài):壓強(qiáng)p0,體積V.

由p1V1=p0V,求出V=20V1=1.6 m3.

圖5

使用后氧氣瓶中的氣體轉(zhuǎn)化成在一個(gè)大氣壓p0中的體積(溫度T不變),初態(tài):壓強(qiáng)p2=2p0,體積V2=0.08 m3,末態(tài):壓強(qiáng)p0,體積V′.

由p2V2=p0V′,求出V′=0.16 m3.