■河南省太康縣第一高級中學(xué)

【考點定位】

函數(shù)的圖像與性質(zhì)歷來是高考的重點,也是熱點,對于函數(shù)圖像的考查主要體現(xiàn)在兩個方面:一是識圖;二是用圖,即通過函數(shù)的圖像,利用數(shù)形結(jié)合的思想方法解決問題。對于函數(shù)的性質(zhì),主要考查函數(shù)的單調(diào)性、奇偶性、周期性;函數(shù)的奇偶性、周期性往往與分段函數(shù)、函數(shù)與方程結(jié)合,考查函數(shù)的求值與計算;以指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)、二次函數(shù)的圖像與性質(zhì)為主,結(jié)合基本初等函數(shù)的性質(zhì)綜合考查分析與解決問題的能力。在近幾年的高考試卷中,選擇題、填空題、解答題三種題型,每年都有函數(shù)試題,而且?？汲Ｐ?。以基本函數(shù)為背景的應(yīng)用題和綜合題是高考命題的新趨勢。在大題中以導(dǎo)數(shù)為工具研究討論函數(shù)的性質(zhì)及不等式求解等綜合問題?？v觀近幾年的高考題,函數(shù)問題的考查,往往是小題注重基礎(chǔ)知識基本方法,突出重點知識重點考查,大題則注重在知識的交匯點處命題,與不等式、導(dǎo)數(shù)、解析幾何等相結(jié)合,綜合考查函數(shù)與方程思想、轉(zhuǎn)化與化歸思想、分類討論思想及數(shù)形結(jié)合思想的理解運用,考查分析與解決問題的能力、應(yīng)用意識及創(chuàng)新能力。

【典型例題解析】

例1 (2018屆北京市昌平區(qū)臨川育人學(xué)校1 2月月考)已知函數(shù)f(x)=且a≠1)的最大值為1,則a的取值范圍是( )。

解析：因為當(dāng)x≤2時,f(x)=x-1,所以f(x)max=f(2)=1。因為函數(shù)f(x)=且a1)的最大值為≠1,所以當(dāng)x＞2時,2+logax≤1,所以解得故選 。A

例2 (2018屆北京師范大學(xué)附屬中學(xué)上學(xué)期期中)已知m∈R,函數(shù)f(x)=1。若函數(shù)y=f(g(x))-m恰有6個不同的零點,則m的取值范圍是( )。

解析：因為函數(shù)f(x)=1,所以當(dāng)g(x)=(x-1)2+2m-2≤1,即(x-1)2≤3-2m時,則y=f(g(x))=|2g(x)+1|=|2(x-1)2+4m-3|;當(dāng)g(x)=(x-1)2+2m-2＞1,即(x-1)2＞3-2m時,則y=f(g(x))=log2[(x-1)2+2m-1]。①當(dāng)3-2m≤0,即時,y=m只與y=f(g(x))=log2[(x-1)2+2m-1]的圖像有2個交點,不滿足題意,應(yīng)該舍去;②當(dāng)時,y=m與y=f(g(x))=log2[(x-1)2+2m-3]的圖像有2個交點,需要直線y=m與函數(shù)y=f(g(x))=|2(x-1)2+4m-3|的圖像有4個交點時才滿足題意,所以0＜m＜3-4m,又,解得綜上可得,m的取值范圍是0＜故選D。

例3 (2019年全國Ⅰ卷理科5)函數(shù)f上的圖像大致為圖1中的( )。

圖1

考查意圖：考查函數(shù)的圖像與性質(zhì),圖像題往往需要與函數(shù)的奇偶性、周期性、單調(diào)性相結(jié)合,再配合特殊值能達(dá)到事半功倍的效果。

解析：首先利用函數(shù)的奇偶性可以判斷函數(shù)為奇函數(shù),從而排除選項A,再由特殊點代入得f(π)＞0,可排除選項B,C。故選D。

【復(fù)習(xí)要點】

1.函數(shù)三個性質(zhì)的應(yīng)用。

(1)奇偶性:具有奇偶性的函數(shù)在關(guān)于原點對稱的區(qū)間上其圖像、函數(shù)值、解析式和單調(diào)性聯(lián)系密切,研究問題時可轉(zhuǎn)化到只研究部分(一半)區(qū)間上。尤其注意偶函數(shù)f(x)的性質(zhì):f(|x|)=f(x)。

(2)單調(diào)性:可以比較大小,求函數(shù)最值,解不等式,證明方程根的唯一性。

(3)周期性:利用周期性可以轉(zhuǎn)化函數(shù)的解析式、圖像和性質(zhì),把不在已知區(qū)間上的問題,轉(zhuǎn)化到已知區(qū)間上求解。

2.函數(shù)方程問題求解策略。

(1)判斷函數(shù)在某個區(qū)間上是否存在零點,要根據(jù)具體題目靈活處理。當(dāng)能直接求出零點時,就直接求出進(jìn)行判斷;當(dāng)不能直接求出時,可根據(jù)零點存在性定理判斷;當(dāng)用零點存在性定理也無法判斷時可畫出圖像判斷。

(2)已知函數(shù)的零點個數(shù)求解參數(shù)范圍,可以利用數(shù)形結(jié)合思想轉(zhuǎn)化為函數(shù)圖像交點個數(shù);也可以利用函數(shù)方程思想,構(gòu)造關(guān)于參數(shù)的方程或不等式進(jìn)行求解。

(3)對于給定的函數(shù)不能直接求解或畫出圖形,常會通過分解轉(zhuǎn)化為兩個函數(shù)圖像,然后數(shù)形結(jié)合,看其交點的個數(shù)有幾個,其中交點的橫坐標(biāo)有幾個不同的值,就有幾個不同的零點。

跟蹤練習(xí)：

圖2

解析：根據(jù)題意,函數(shù)則,易得f(x)為非奇非偶函數(shù),排除A、B,當(dāng)x→+∞時,,排除C。故選D。

2.若f(x)是定義在R上的偶函數(shù),在(-∞,0]上是減函數(shù),且f(2)=0,則使得f(log2x)＜0的x的取值范圍是( )。

解析：f(x)是定義在R上的偶函數(shù),在(-∞,0]上是減函數(shù),所以在[0,+∞)上是增函數(shù),所以f(log2x)=f(|log2x|),則不等式等價于f(|log2x|)＜f(2),所以,所以,所以x＜4。故選D。

3.若函數(shù)f(x)=log2(x+1)的圖像與函數(shù)y=g(x)的圖像關(guān)于原點對稱,則( )。

解析：設(shè)Q(x,y)是函數(shù)g(x)的圖像上任意一點,其在函數(shù)f(x)圖像上關(guān)于原點對稱的點是P(-x,-y)。因為點P在函數(shù)f(x)=log2(x+1)的圖像上,所以-y=log2(-x+1),即y=g(x)=-log2(1-x)。故選D。