董延更 趙佳羿 王 飛

(鄭州大學(xué)物理工程學(xué)院，河南 鄭州 450001)

導(dǎo)體球或球殼在勻強(qiáng)外電場(chǎng)中的場(chǎng)強(qiáng)分布是電動(dòng)力學(xué)中的經(jīng)典題目，也是大家所熟悉的題目，但均勻電場(chǎng)中出現(xiàn)兩個(gè)導(dǎo)體球或球殼(二聚體)時(shí)的場(chǎng)強(qiáng)卻少有討論。兩導(dǎo)體球電極化所引起的導(dǎo)體球間電磁場(chǎng)的局域增強(qiáng)是表面等離激元增強(qiáng)和針尖等離激元增強(qiáng)最基本的特性之一，也是表面增強(qiáng)光譜的最主要原因。本文通過(guò)對(duì)單個(gè)導(dǎo)體球在均勻外電場(chǎng)中的場(chǎng)強(qiáng)分布和性質(zhì)的求解分析，考慮在均勻外電場(chǎng)中沿電場(chǎng)線方向引入兩個(gè)導(dǎo)體球，并對(duì)其電勢(shì)場(chǎng)強(qiáng)進(jìn)行計(jì)算分析，再用Matlab軟件畫(huà)出直觀的電勢(shì)場(chǎng)強(qiáng)圖像，進(jìn)一步討論了在勻強(qiáng)電場(chǎng)中兩導(dǎo)體球之間間距和電場(chǎng)局域增強(qiáng)的關(guān)系。通過(guò)對(duì)這一電動(dòng)力學(xué)經(jīng)典習(xí)題的分析和擴(kuò)展，增進(jìn)對(duì)表面增強(qiáng)光譜的初步認(rèn)識(shí)和了解，同時(shí)鍛煉對(duì)計(jì)算物理和Matlab計(jì)算軟件的運(yùn)用能力。

1 問(wèn)題引出

首先，簡(jiǎn)要討論均勻電場(chǎng)中導(dǎo)體球的外電場(chǎng)分布。

設(shè)有一半徑為R0的接地導(dǎo)體球置于均勻外電場(chǎng)E0中。導(dǎo)體球使空間分為兩均勻區(qū)域——球外區(qū)域和球內(nèi)區(qū)域。球外區(qū)域沒(méi)有自由電荷，因此電勢(shì)φ滿足拉普拉斯方程。由球坐標(biāo)系中拉普拉斯方程的通解，代入后可得球外電勢(shì)為

(1)

其中an,bn為待定常數(shù)，由邊界條件確定。最后可得到球外電勢(shì)為

(2)

再對(duì)電勢(shì)求負(fù)梯度，得到球外的電場(chǎng)強(qiáng)度為

(3)

這是電動(dòng)力學(xué)教材中的典型例題[1]。由式(3)可以看出，導(dǎo)體球外靠近導(dǎo)體球表面的電場(chǎng)由于導(dǎo)體球在外電場(chǎng)的作用而重新分布。球外電場(chǎng)線在球表面處比原有均勻場(chǎng)密集，即電場(chǎng)線向?qū)w端面會(huì)聚。分析發(fā)現(xiàn)沿外場(chǎng)方向的導(dǎo)體球端點(diǎn)處的電場(chǎng)強(qiáng)度是均勻電場(chǎng)強(qiáng)度的3倍，而垂直外場(chǎng)方向的導(dǎo)體球端點(diǎn)處的電場(chǎng)強(qiáng)度接近零。

考慮到導(dǎo)體球端點(diǎn)處的電場(chǎng)強(qiáng)度是外加均勻電場(chǎng)強(qiáng)度的3倍，電場(chǎng)強(qiáng)度極大地增強(qiáng)了?？梢砸胍粋€(gè)有趣的問(wèn)題：如果在均勻外電場(chǎng)中，沿電場(chǎng)線方向放置兩個(gè)相近的導(dǎo)體球，那么球外電勢(shì)和電場(chǎng)強(qiáng)度的分布會(huì)如何，電場(chǎng)強(qiáng)度能增大到多少倍？這一問(wèn)題可以看作表面等離激元增強(qiáng)和針尖等離激元增強(qiáng)等科研前沿的簡(jiǎn)化模型，即電子顯微鏡針尖和納米顆粒之間的相互作用。課堂上通過(guò)從科研前沿和實(shí)驗(yàn)技術(shù)引入這一問(wèn)題，可以增加學(xué)生學(xué)習(xí)電動(dòng)力學(xué)的興趣和鍛煉學(xué)生對(duì)計(jì)算物理和Matlab計(jì)算軟件的運(yùn)用能力[2]。

2 問(wèn)題求解

如果采用求解拉普拉斯方程的辦法求解雙球問(wèn)題，無(wú)論在雙球坐標(biāo)系還是切球坐標(biāo)系中進(jìn)行，通常會(huì)因繁瑣的分離變量過(guò)程而束手無(wú)策。而鏡像法是電動(dòng)力學(xué)中一種常用的數(shù)學(xué)方法，可以避免對(duì)拉普拉斯方程復(fù)雜繁瑣的求解。下面使用鏡像法來(lái)求解均勻電場(chǎng)中雙導(dǎo)體球的空間電勢(shì)。

圖1 (a) 導(dǎo)體球和一個(gè)點(diǎn)電荷的鏡像法示意圖；(b) 勻強(qiáng)電場(chǎng)中單個(gè)導(dǎo)體球的鏡像法示意圖

(4)

由幾何關(guān)系可以得到，只要選取Q1的位置使△OQ1P∽△OPQ，那么滿足

(5)

由三角形相似關(guān)系式(4)和式(5)可以得出，

式(6)、式(7)分別確定了由Q1像電荷在導(dǎo)體球內(nèi)部的位置和電荷大小。如果導(dǎo)體球不接地，要同時(shí)滿足上述邊界條件和導(dǎo)體球總電荷為零條件，那么在球心O添加一電荷量為-Q1的點(diǎn)電荷即可。

外加勻強(qiáng)電場(chǎng)可以看成是兩個(gè)相距無(wú)限遠(yuǎn)的等量異號(hào)點(diǎn)電荷在其連線中點(diǎn)處產(chǎn)生的電場(chǎng)[3]，單個(gè)導(dǎo)體球的靜電感應(yīng)現(xiàn)象，如圖1(b)所示，由對(duì)稱性條件與式(6)和式(7)可以得出，由±Q產(chǎn)生的兩組像電荷在球心處的疊加為零，球內(nèi)像電荷大小和距球心距離為

(8)

a趨向于無(wú)限大，則b趨向于零，因此在勻強(qiáng)電場(chǎng)中的像電荷可以看作一對(duì)電偶極子，其偶極矩p的大小為

(9)

由±Q在導(dǎo)體球表面產(chǎn)生的電場(chǎng)大小為

(10)

式(10)和式(9)聯(lián)立消去Q/a2得，

(11)

其中p的方向和E0方向相同。這與教材和其他文獻(xiàn)中單介質(zhì)球的結(jié)果一致，其中的導(dǎo)體球可以看作介電常數(shù)為無(wú)限大的介質(zhì)球[1-4]。

下面看電偶極子在導(dǎo)體球中產(chǎn)生的像電荷，其模型如圖2所示。

圖2 (a) 電偶極子在空間一個(gè)導(dǎo)體球時(shí)產(chǎn)生的像電荷；(b) 兩個(gè)相同導(dǎo)體球時(shí)產(chǎn)生的像電荷

取+q和-q的間距為Δl，由式(3)、式 (4)可以得出電荷-q的像電荷q1和-q1，電荷+q的像電荷q2和-q2的大小和位置(其中-q1和q2在球心處):

(12)

對(duì)于電偶極子p0，Δl應(yīng)為一無(wú)窮小量，滿足：

因此電偶極子在球心處的像電荷為零，另外兩個(gè)像電荷組成一對(duì)電偶極子，其偶極矩為

(15)

如圖2所示，當(dāng)空間電場(chǎng)方向有兩個(gè)相同導(dǎo)體球時(shí)，由于空間中電場(chǎng)作用，會(huì)在兩球心位置各產(chǎn)生一對(duì)像電偶極子p1，其偶極矩大小可由式(11)給出。像電偶極子p1會(huì)分別在另一個(gè)導(dǎo)體球中產(chǎn)生次級(jí)的電偶極子p2，接著產(chǎn)生p3…pn就像兩面鏡子一樣無(wú)窮反射下去[5]。

由式(11)、式(14)、式(15)得出下表：

電偶極矩距球心距離距另一球心距離p1=4πε0E0R30b1=0r1=rp2=R30r31p1b2=R20r1r2=r-b2p3=R30r32p2b3=R20r2r3=r-b3???pn=R30r3n-1pn-1bn=R20rn-1rn=r-bn

由上可以得到兩相同導(dǎo)體球在均勻電場(chǎng)中的鏡像電荷分布情況，空間電勢(shì)情況只需要將所有像偶極子的電勢(shì)和勻強(qiáng)電場(chǎng)的電勢(shì)疊加即可。

(16)

導(dǎo)體球表面上電勢(shì)處處相等，其電勢(shì)可由邊界電勢(shì)得出。由靜電場(chǎng)唯一性定理及此處級(jí)數(shù)表達(dá)式可得出此電勢(shì)是收斂的。

當(dāng)y=0時(shí)，得到x軸上的電勢(shì)分布為

(17)

對(duì)電勢(shì)求負(fù)梯度，便得到x軸上的場(chǎng)強(qiáng)分布：

(18)

3 結(jié)果討論

3.1 空間中電勢(shì)和電場(chǎng)強(qiáng)度分布

上面通過(guò)計(jì)算得到了均勻電場(chǎng)中沿電場(chǎng)線兩導(dǎo)體球外的電勢(shì)和電場(chǎng)強(qiáng)度的分布。下面通過(guò)Matlab作圖來(lái)直觀地分析空間中球外的電勢(shì)和電場(chǎng)。

令兩球心距離r=10m,E0=5N/C,金屬球半徑R0=2.5m，并取多項(xiàng)式(16)的前100項(xiàng)作空間電勢(shì)方程的近似解。得到xOy平面空間等勢(shì)線圖像，如圖3所示。圖中A點(diǎn)、B點(diǎn)為兩金屬球沿x軸線方向在表面上的點(diǎn)，C點(diǎn)為沿x軸線兩球心的中點(diǎn)。

圖3 均勻外電場(chǎng)中兩導(dǎo)體球球外空間的電勢(shì)示意圖

圖3中兩個(gè)圓為金屬球邊界，可以看出邊界處于一條等勢(shì)線上，因此滿足上述邊界條件。由靜電場(chǎng)的唯一性定理可知，上述函數(shù)φx,y滿足金屬外部空間電勢(shì)分布，是正確的解。

使用Matlab對(duì)函數(shù)φx,y進(jìn)行梯度運(yùn)算，可以得到電場(chǎng)的分布及其大小。將球內(nèi)電場(chǎng)強(qiáng)度置零，可以得到空間中各位置電場(chǎng)強(qiáng)度的大小，如圖4所示。圖4中可以看出，在無(wú)窮遠(yuǎn)處電場(chǎng)強(qiáng)度恒定為E0，在沿電場(chǎng)線方向的金屬球邊緣處的電場(chǎng)強(qiáng)度會(huì)明顯增大。這正是由于空間電場(chǎng)的電極化作用和兩球之間的庫(kù)侖力相互作用使球體產(chǎn)生感應(yīng)電荷，其作用可用無(wú)限對(duì)電偶極子代替。

圖4 均勻外電場(chǎng)中不同距離兩導(dǎo)體球外的電場(chǎng)強(qiáng)度大小分布(圖4(a)球心距離為10m；圖4(b)球心距離為6m)。色帶從0.0到1.0表示強(qiáng)度從零到最大

在圖4中，兩球心連線上電場(chǎng)強(qiáng)度的分布關(guān)于中心點(diǎn)C對(duì)稱(其中A、B、C點(diǎn)位置同圖3)。在圖4(a)中，趨于兩導(dǎo)體球外端表面A點(diǎn)處的電場(chǎng)強(qiáng)度明顯增強(qiáng)?？拷鼘?dǎo)體球表面的B點(diǎn)處的電場(chǎng)強(qiáng)度強(qiáng)同樣明顯增強(qiáng)，而在兩導(dǎo)體球中心處C點(diǎn)的電場(chǎng)強(qiáng)度稍弱。電場(chǎng)在導(dǎo)體球靠近中心處B點(diǎn)的場(chǎng)強(qiáng)稍稍大于該導(dǎo)體球另一端的A點(diǎn)處的場(chǎng)強(qiáng)(如圖5)。這說(shuō)明在均勻電場(chǎng)中導(dǎo)體球的旁邊再放一個(gè)導(dǎo)體球時(shí)，會(huì)使原來(lái)那個(gè)導(dǎo)體球端點(diǎn)處的電場(chǎng)強(qiáng)度進(jìn)一步增強(qiáng)。并且隨著兩球心距離的縮小，B點(diǎn)和C點(diǎn)的電場(chǎng)強(qiáng)度將會(huì)進(jìn)一步增強(qiáng)。

圖5 均勻電場(chǎng)中不同距離兩導(dǎo)體球x軸上的場(chǎng)強(qiáng)分布(圖5(a)球心距離為10m；圖5(b)球心距離為6m)

3.2 x軸上A、B和C點(diǎn)處電場(chǎng)強(qiáng)度

當(dāng)移動(dòng)兩個(gè)導(dǎo)體球，改變兩導(dǎo)體球的相對(duì)位置時(shí)，會(huì)發(fā)現(xiàn)x軸上導(dǎo)體球附近的場(chǎng)強(qiáng)發(fā)生明顯變化(如圖4，圖5)。固定A、B和C3點(diǎn)為球心連線上金屬球表面上兩點(diǎn)和球心連線中點(diǎn)，分別求出這3個(gè)點(diǎn)的電場(chǎng)強(qiáng)度隨兩導(dǎo)體球的相對(duì)位置R0/r的值，如圖6，得到如下結(jié)果：

圖6 (a) x軸上A、B和C 3點(diǎn)處電場(chǎng)強(qiáng)度隨R/r的變化；(b) 電場(chǎng)強(qiáng)度以10為底的對(duì)數(shù)

(1)x軸上第一個(gè)導(dǎo)體球的左端A點(diǎn)處的電場(chǎng)強(qiáng)度：當(dāng)兩導(dǎo)體球相距無(wú)窮遠(yuǎn)時(shí)，A處的電場(chǎng)強(qiáng)度為均勻場(chǎng)強(qiáng)的3倍，這與單個(gè)導(dǎo)體球在均勻電場(chǎng)處的情形相同；而當(dāng)兩個(gè)導(dǎo)體球相互靠近時(shí)，A點(diǎn)處的電場(chǎng)強(qiáng)度有所增加，但變化不明顯。

(2)x軸上第一個(gè)導(dǎo)體球的右端B點(diǎn)處的電場(chǎng)強(qiáng)度：當(dāng)兩導(dǎo)體球相距無(wú)窮遠(yuǎn)時(shí)，B處的電場(chǎng)強(qiáng)度為均勻場(chǎng)強(qiáng)的3倍，這與單個(gè)導(dǎo)體球在均勻電場(chǎng)處的情形相同；當(dāng)兩個(gè)導(dǎo)體球相互接近時(shí)，一開(kāi)始B點(diǎn)處場(chǎng)強(qiáng)的增強(qiáng)不明顯(如圖4(a))；但當(dāng)兩導(dǎo)體球心間距離小于2.22倍球半徑后，B點(diǎn)處的電場(chǎng)強(qiáng)度隨相對(duì)位置R0/r的增加發(fā)生指數(shù)形式的增長(zhǎng)。特別是當(dāng)兩導(dǎo)體球無(wú)限接近時(shí)，B點(diǎn)處的電場(chǎng)強(qiáng)度達(dá)到極值。其中，當(dāng)兩導(dǎo)體球球心間距離為2.0002倍導(dǎo)體球半徑時(shí)，B點(diǎn)處的電場(chǎng)強(qiáng)度為均勻電場(chǎng)強(qiáng)度的100倍。

(3)x軸上兩導(dǎo)體球中心C點(diǎn)處的電場(chǎng)強(qiáng)度：當(dāng)兩導(dǎo)體球相距無(wú)窮遠(yuǎn)時(shí)，C點(diǎn)處的電場(chǎng)強(qiáng)度為均勻場(chǎng)強(qiáng)，這說(shuō)明此時(shí)該點(diǎn)處的電場(chǎng)強(qiáng)度基本不受兩個(gè)導(dǎo)體球的影響。當(dāng)兩個(gè)導(dǎo)體球相互接近時(shí)，一開(kāi)始C點(diǎn)處場(chǎng)強(qiáng)的增強(qiáng)不明顯,但當(dāng)兩導(dǎo)體球心間距離約為2.6倍導(dǎo)體球球半徑時(shí)，中心C點(diǎn)處的電場(chǎng)強(qiáng)度開(kāi)始大于x軸上第一個(gè)導(dǎo)體球的左端A點(diǎn)處的電場(chǎng)強(qiáng)度。在這以后，C點(diǎn)處的電場(chǎng)強(qiáng)度增加越來(lái)越快，最后也呈現(xiàn)指數(shù)增長(zhǎng)。

(4) 用Matlab作出x軸上A、B和C3點(diǎn)處電場(chǎng)強(qiáng)度以10為底隨R0/r的指數(shù)變化(如圖6(b)所示)?？梢钥闯觯篈點(diǎn)處的場(chǎng)強(qiáng)變化不大，B點(diǎn)場(chǎng)強(qiáng)在當(dāng)兩導(dǎo)體球心間距離小于2.22個(gè)球半徑后的增長(zhǎng)速率大于指數(shù)增長(zhǎng)，C點(diǎn)一開(kāi)始增長(zhǎng)速率與指數(shù)增長(zhǎng)相似但后來(lái)的增長(zhǎng)速率也超過(guò)指數(shù)增長(zhǎng)。

4 結(jié)論

本文從電動(dòng)力學(xué)的經(jīng)典題目——均勻電場(chǎng)中一個(gè)導(dǎo)體球在端點(diǎn)處的電場(chǎng)強(qiáng)度是外加均勻電場(chǎng)強(qiáng)度的3倍出發(fā)，提出均勻電場(chǎng)中存在兩個(gè)導(dǎo)體球時(shí)的問(wèn)題，通過(guò)模型求解和數(shù)值計(jì)算對(duì)問(wèn)題進(jìn)行詳細(xì)的分析討論。發(fā)現(xiàn)當(dāng)兩導(dǎo)體球球心間距離為2.0002倍導(dǎo)體球半徑時(shí)，兩導(dǎo)體球間端點(diǎn)處的電場(chǎng)強(qiáng)度將增加為均勻電場(chǎng)強(qiáng)度的100倍，并用數(shù)值計(jì)算給出了兩球心連線上不同高對(duì)稱點(diǎn)的場(chǎng)強(qiáng)隨不同球心距離時(shí)的變化。通過(guò)對(duì)這一電動(dòng)力學(xué)的經(jīng)典題目的延伸拓展，使同學(xué)增加學(xué)習(xí)興趣，并鍛煉對(duì)計(jì)算物理和Matlab計(jì)算軟件的運(yùn)用能力。