趙海軍 李洋陽 張振海

(山西師范大學(xué)物理與信息工程學(xué)院，山西 臨汾 041004)

電動(dòng)力學(xué)是物理系主干課程之一，該課程的習(xí)題編選是教學(xué)中重要的部分．這方面的研究也比較多[1-4]．一些習(xí)題受到了更多的關(guān)注，出現(xiàn)在各種教課書中，其中有些甚至在大多數(shù)的教科書中被列為例題[5]。但是多數(shù)的教科書中使用例題的目的也只是用它來具體表現(xiàn)刻下所講的知識(shí)點(diǎn)。并沒有充分發(fā)掘和擴(kuò)展該例題，使它可以將一系列的相關(guān)知識(shí)聯(lián)系起來。本文中，挖掘和擴(kuò)展了一個(gè)物理系教師所熟知的例題，以一個(gè)例子來展示例題的擴(kuò)展對(duì)教學(xué)是有益的。

1 接地導(dǎo)體球置于均勻場(chǎng)中

多數(shù)的電動(dòng)力學(xué)教科書有這樣一道例題：勻強(qiáng)電場(chǎng)E0中存在一個(gè)接地導(dǎo)體球(設(shè)導(dǎo)體球上所帶電荷代數(shù)和為零)，求空間電勢(shì)φ與面電荷密度σ[5,6]。

通過求拉普拉斯方程滿足給定邊界條件的解，可以解決該問題。球內(nèi)電勢(shì)為零，球外電勢(shì)為

(1)

觀察球外空間電勢(shì)形式，會(huì)發(fā)現(xiàn)若將電勢(shì)表達(dá)式看作兩部分，一部分是勻強(qiáng)外電場(chǎng)形成的電勢(shì)φ0，另一部分是與導(dǎo)體球上電荷有關(guān)的電勢(shì)φp。由導(dǎo)體球表面電荷分布σ的特點(diǎn)可知：可以把導(dǎo)體球上的電荷的效應(yīng)看作球心處的一個(gè)偶極矩為p的電偶極子。將偶極子形成電勢(shì)的表達(dá)式與φp比較可以得到導(dǎo)體球的電偶極矩p的形式。從電勢(shì)分布也可以得到電場(chǎng)E。上面談到的4個(gè)物理量(φ、σ、p和E)可以任意兩兩相互推導(dǎo)得出，如圖1所示。

圖1 電場(chǎng)、偶極矩、感應(yīng)電荷面密度和電勢(shì)之間關(guān)系

2 由φ直接導(dǎo)出E、p和σ

2.1 由φ直接導(dǎo)出E

電場(chǎng)與電勢(shì)之間存在微分關(guān)系

(2)

將式(1)代入式(2)，并在球坐標(biāo)系下求解，可得沿各坐標(biāo)的分量

(3)

利用E0=E0cosθeR-E0sinθeθ可以將上式寫為矢量形式

(4)

2.2 由φ直接導(dǎo)出p

空間電勢(shì)可看作分別由勻強(qiáng)電場(chǎng)電勢(shì)和等同于偶極子的導(dǎo)體球上的電荷分布產(chǎn)生的電勢(shì)的代數(shù)和。勻強(qiáng)電場(chǎng)的電勢(shì)是已知的(式(1)中等號(hào)右面的第一項(xiàng))，再結(jié)合偶極子電勢(shì)表達(dá)式便可以推導(dǎo)出電偶極距。偶極子產(chǎn)生的電勢(shì)為

(5)

與式(1)中等號(hào)右面第二項(xiàng)對(duì)比，即可得到

(6)

2.3 由φ直接推導(dǎo)σ

將式(1)中的電勢(shì)表達(dá)式代入邊值關(guān)系的勢(shì)表達(dá)式

(7)

即可得到導(dǎo)體球面電荷密度

(8)

3 由p導(dǎo)出E、φ和σ

3.1 由p直接推導(dǎo)E和φ

將式(6)代入式(5)，再加上勻強(qiáng)電場(chǎng)的勢(shì)即可得到電勢(shì)表達(dá)式，該表達(dá)式與式(1)一致。

偶極子產(chǎn)生的電場(chǎng)為

(9)

將式(6)代入到上式，然后再疊加上E0即可得到電場(chǎng)。得到的電場(chǎng)與式(4)一致。

3.2 由p經(jīng)E推導(dǎo)σ

我們不能找到合適的方式由偶極矩直接推導(dǎo)出球面上的感應(yīng)電荷分布。但是，利用高斯定理可以由電場(chǎng)分布求得感應(yīng)電荷分布。如圖2所示，一扁圓柱形高斯面的底面位于球內(nèi)，頂面位于球外，頂面和底面積都很小，可以認(rèn)為它們與球面平行，圓柱很扁，頂?shù)變擅尜N著球面。

圖2 由電場(chǎng)推導(dǎo)感應(yīng)電荷面密度時(shí)所用的高斯面

通過該高斯面的電通量等于頂面、底面和側(cè)面電通量之和。底面所處區(qū)域電場(chǎng)為零，側(cè)面面積趨于零。球面電通量即為頂面的電通量，它等于所圍的電荷除以真空介電常數(shù)：

(10)

ΔS方向?yàn)镽，大小為ΔS。由式(10)可以得到感應(yīng)電荷面密度，與式(8)一致。

4 由σ導(dǎo)出p、E和φ

4.1 由σ直接推導(dǎo)出p

由電荷分布可以導(dǎo)出偶極矩，在學(xué)生學(xué)習(xí)多極展開之前即可由這一簡(jiǎn)單例子產(chǎn)生印象。如圖3所示，導(dǎo)體球上半球面上任一面元電荷為σdS，它與下半球面對(duì)應(yīng)點(diǎn)的面元電荷構(gòu)成的電荷體系偶極矩為

dp=2σRcosθdS

(11)

其方向與外均勻場(chǎng)E0方向一致。整個(gè)球面上的電荷的偶極矩為

它與式(6)一致。

圖3 由感應(yīng)電荷面密度推導(dǎo)對(duì)應(yīng)偶極矩示意圖

4.2 由σ推導(dǎo)出φ和E

若直接使用公式

或

不能幫助我們得到電勢(shì)和電場(chǎng)的分布。因?yàn)?，以上兩個(gè)公式并不適合目前這種無窮遠(yuǎn)處場(chǎng)強(qiáng)不為零的情況。所能采用的辦法可以是使用前一小節(jié)得到的偶極矩，如3.1小節(jié)所述，由偶極矩可得到場(chǎng)和電勢(shì)的分布。

5 由E直接導(dǎo)出φ、σ和p

5.1 由E直接推導(dǎo)出φ

空間中一點(diǎn)R處的電勢(shì)為

(12)

具體計(jì)算時(shí)，將R0設(shè)為球心到R連線與球面相交點(diǎn)，積分路徑設(shè)為從R到R0的直線。由式(12)可知

(13)

其中，利用了φ(R0)=0。上式與(1)式一致。

5.2 由E直接推導(dǎo)出σ和p

3.2小節(jié)已經(jīng)給出了由E直接推導(dǎo)出σ。這里主要給出由E直接推導(dǎo)出p。由式(9)我們知道p產(chǎn)生的電場(chǎng)為

(14)

由式(4)可知球面上的電荷產(chǎn)生的電場(chǎng)為

(15)

比對(duì)式(14)和(15)即可得到

(16)

6 結(jié)語

通過求解前面典型例題和推導(dǎo)各物理量之間的相互關(guān)系，我們給出了電勢(shì)、電場(chǎng)、感應(yīng)電荷和感應(yīng)電荷對(duì)應(yīng)的偶極矩。這4個(gè)量?jī)蓛芍g有的可以直接導(dǎo)出，有的需要借助其他量導(dǎo)出，它們之間的關(guān)系由圖1給出。

這一例題的擴(kuò)展涉及了靜電場(chǎng)的多個(gè)知識(shí)點(diǎn)，有利于幫助學(xué)生認(rèn)識(shí)相關(guān)物理量的關(guān)系。