韓佩杉 伍泓錦 黃博文 楊浩林 賈欣燕 劉其軍 常相輝 魏 云 樊代和

(物理國家級實驗教學(xué)示范中心(西南交通大學(xué))，西南交通大學(xué)物理科學(xué)與技術(shù)學(xué)院，四川 成都 611756)

1 導(dǎo)出問題

圖1 相機結(jié)構(gòu)示意圖(a)為星芒形成示意圖，a表示光源，b表示前透鏡組，c表示光圈，d表示后透鏡組，e表示相機底片； (b)為光圈示意圖，從左到右依次為較大孔徑的六葉片光圈、較小孔徑的六葉片光圈、較小孔徑的八葉片光圈

提燈輻射現(xiàn)象是個有趣的生活現(xiàn)象：當用相機拍攝一個發(fā)光的提燈(假設(shè)為一球狀光源)時，相機底片中會顯示有許多輻射狀光線從提燈的中心射出，如圖1(a)中相機底片上的圖片所示。人們把這種現(xiàn)象稱為提燈輻射現(xiàn)象，底片中圍繞實際成像點射出的輻射狀光線稱為星芒。同時，提燈輻射現(xiàn)象也是2018年IYPT的一個賽題[1]，此題要求解釋星芒現(xiàn)象的產(chǎn)生原因，同時研究影響星芒數(shù)量和形狀的因素。

通常，相機主要由鏡頭部分和含有感光元件的暗箱構(gòu)成。進一步，鏡頭部分由透鏡組和光圈構(gòu)成。透鏡組用于將發(fā)光物體聚焦到暗箱中的底片平面，即焦平面以清晰成像[2]。光圈用于控制到達相機底片的光的強度，通常是由多個葉片組合而成的孔狀結(jié)構(gòu)，其形狀可如圖1(b)所示。組成光圈的葉片之間的開合可調(diào)節(jié)光圈的大小,葉片個數(shù)(即正多邊形的邊數(shù))將影響光圈孔的形狀，當葉片個數(shù)足夠多時，相機光圈將接近一個真實圓形。實際上，星芒現(xiàn)象的出現(xiàn)是實際光線通過光圈結(jié)構(gòu)時發(fā)生了衍射現(xiàn)象。

目前，光源發(fā)出的光經(jīng)過小孔的衍射現(xiàn)象理論已經(jīng)較為成熟，如楊植宗等人定性解釋了光的衍射原理[3]；德國的馬科斯·波恩和美國的埃米爾·沃爾夫定量解釋了光通過不同形狀孔的衍射情況[4]；姚啟鈞解釋了光的衍射現(xiàn)象并得出在夫瑯禾費衍射區(qū)內(nèi)的衍射積分公式的一般形式[5]；戴又善研究了正n邊形小孔夫瑯禾費衍射光強分布[6]等。通過這些現(xiàn)有理論結(jié)果可判斷，相機底片中星芒現(xiàn)象的出現(xiàn)與光通過相機中非圓形孔狀結(jié)構(gòu)的光圈后產(chǎn)生的衍射現(xiàn)象有關(guān)。然而，現(xiàn)有針對衍射現(xiàn)象的理論研究大都是探討星芒個數(shù)與孔的邊數(shù)的關(guān)系，同時對星芒細銳度影響因素的探究尚不夠全面，特別是實際相機成像中星芒現(xiàn)象出現(xiàn)的具體原因，以及相關(guān)參數(shù)對其的影響還未見報道。

本文主要分析實際光線通過光圈后的成像，將實際問題轉(zhuǎn)化為簡單的物理模型，利用光的衍射理論，結(jié)合數(shù)值模擬分析，從理論上徹底解釋了星芒現(xiàn)象出現(xiàn)的原因，以及相關(guān)因素對星芒個數(shù)及細銳度的影響。進一步，本文使用具有不同葉片數(shù)和不同孔徑大小光圈的相機對發(fā)光物體進行了拍照實驗，利用軟件分析了相機底片中星芒的個數(shù)及細銳度等參數(shù)，實驗結(jié)果與理論模擬一致。

2 理論分析

提燈主要由中心光源和周圍玻璃構(gòu)成，當相機距離提燈足夠遠進行拍照時，其可以看作一個點光源。根據(jù)相機的成像原理[7]，整個相機成像過程可由圖1(a)所示的物理模型進行分析。假設(shè)光源發(fā)出波長為λ的光，先后經(jīng)過前透鏡組b、光圈c、后透鏡組d后交于相機底片e上，最后分析底片上衍射光的光強分布即可對星芒現(xiàn)象進行研究。由于光源距離鏡頭很遠，入射光可以近似為平行光。

對如圖1(b)所示的實際相機中的光圈而言，其實際為一個正n邊形孔，此孔可看為是由n個等腰三角形孔組成，假設(shè)每個等腰三角形的底邊長為L，高為h，三角形內(nèi)任一平行于底邊的線長為l，如圖2所示。

圖2 正n邊形光圈的等效等腰三角形孔示意圖

根據(jù)菲涅耳直邊衍射分析[8，9]可知，光通過相機的光圈時，會在每個葉片(即正多邊形底邊)上產(chǎn)生一束垂直于傳播方向的衍射峰，投影到相機底片上時整體顯現(xiàn)出由中心向外發(fā)射的星芒現(xiàn)象。當光源距離相機光圈較遠時，由于傍軸近似，光源可以看作點光源，其發(fā)出的光經(jīng)前透鏡組準直，可以近似獲得平面波，菲涅耳衍射近似為夫瑯禾費衍射。另外，菲涅耳衍射需要使用復(fù)雜的積分，計算量大，難以得到準確的解析解。而夫瑯禾費衍射通過簡單的計算即可得到比較精確的衍射光強分布。因此要研究光通過一個正n邊形光圈的衍射情況，只需要分別求出光通過n個小三角形的衍射場復(fù)振幅分布，最終將所有小三角形衍射場復(fù)振幅分布疊加即可[10，11]。

圖3 不同邊數(shù)孔的衍射光強二維分布圖 (a) 正三角形孔； (b) 正四邊形孔； (c) 正六邊形孔； (d) 正七邊形孔； (e) 正八邊形孔； (f) 正十四邊形孔

平行光通過如圖2所示的最上面的一個三角形孔后光波的復(fù)振幅分布可寫為[6]

(1)

(2)

將式(2)代入式(1)可以得到轉(zhuǎn)動φk后的等腰三角形小孔的衍射光波復(fù)振幅分布表達式：

(3)

若將n個小三角形孔看作n個同頂點的全同孔組成的陣列，則通過正n邊形孔的光波復(fù)振幅分布為所有等腰三角形的復(fù)振幅疊加[10]：

(4)

因此，當平行光通過一個正n邊形孔組成的光圈后，相機底片中所成像的光強分布可寫為

I(n)=|E(n)|2

(5)

結(jié)合式(4)、(5)可以看出，相機底片上的任一點的相對光強大小與n值和L值有關(guān)，其中n值代表相機光圈的葉片數(shù)；L值決定了光圈大小，可通過調(diào)節(jié)相機設(shè)置中的光圈大小值來改變。為了更明顯看出其相應(yīng)關(guān)系，我們可以引入傅里葉光學(xué)中的夫瑯禾費衍射公式，代入二維三角函數(shù)的傅里葉變換，得出通過一個三角形孔的光波在觀察平面上的復(fù)振幅分布[13]：

圖4 不同孔徑大小的衍射光強分布圖(a) L=0.005m； (b) L=0.004m； (c)L=0.003m

(6)

由于最終結(jié)果仍較為復(fù)雜，我們采用Mathematica軟件進行數(shù)值仿真模擬以增加可觀性。

首先，通過僅改變n值，保持多邊形孔外徑不變，模擬葉片數(shù)對星芒的影響。仿真時，取正多邊形孔的外徑為0.006m，波長選取為λ=400nm，可以得到相機底片中所成像的強度二維分布圖，結(jié)果如圖3所示。

圖3中，從(a)到(f)，分別表示當光圈結(jié)構(gòu)分別為正三、四、六、七、八、十四邊形(即n=3、4、6、7、8、14)時得到的二維強度分布圖。從圖3(a)到圖3(f)中可以看出：星芒出現(xiàn)的個數(shù)分別為：6、4、6、14、8、14條。由此可得知，構(gòu)成相機光圈的葉片數(shù)在上述范圍時，出現(xiàn)星芒個數(shù)與葉片數(shù)之間的關(guān)系為：當相機光圈為中心對稱圖形時，出現(xiàn)的星芒個數(shù)為葉片數(shù)；當相機光圈為軸對稱而非中心對稱圖形時，星芒個數(shù)為葉片數(shù)的二倍。我們同時模擬了更多不同n值對應(yīng)的仿真圖像，均得到了如上相同的結(jié)論。對該現(xiàn)象進行定性分析可知，光線在通過光圈時，在每個葉片上都產(chǎn)生一對垂直于葉片方向的星芒。偶數(shù)個葉片的光圈為中心對稱圖形，對邊上產(chǎn)生的星芒方向重合，因此n個偶數(shù)葉片將形成n條星芒；對于奇數(shù)邊的情況，光圈為軸對稱而非中心對稱圖形,每個葉片上產(chǎn)生的星芒方向都不相同,因此n個葉片將形成2n個星芒。實際上，我們模擬了當n=50時的多邊形孔(近似于圓孔)，星芒現(xiàn)象將接近消失，即多邊形孔衍射趨近于圓孔衍射。

其次，當保持相機光圈葉片個數(shù)為8，即n=8，改變L值(即改變光圈孔徑大小)，數(shù)值模擬得到了入射光通過光圈后的二維光強分布圖，結(jié)果如圖4所示。

從圖4可以直觀地看出，當光圈的邊長從0.005m變到0.003m時，單條星芒的寬度將越來越細。因此，可以認為，光圈孔徑大小將影響出現(xiàn)的星芒的細銳度：當光圈的孔徑越小時，星芒將越細銳，即衍射效果愈明顯，完全符合夫瑯禾費衍射特點。

3 實驗研究

為了驗證以上數(shù)值模擬結(jié)果，在距離鏡頭較遠情況下，將普通節(jié)能燈近似為點光源，選取同種型號但具有不同葉片數(shù)的鏡頭進行實驗研究。為了減少環(huán)境光對實驗結(jié)果的影響，整個實驗在完全黑暗的環(huán)境下進行。實驗時，將一節(jié)能燈固定在實驗室走廊的一端，將相機固定在距離節(jié)能燈約10m遠的三腳架上，并保持鏡頭和燈泡正對且等高，最后通過相機拍攝了若干不同條件下的照片。

首先，保持相機光圈大小不變，研究了光圈葉片的個數(shù)對星芒個數(shù)的影響。我們以光圈大小F22為固定值，曝光時間固定為10s，焦距為150mm，分別更換光圈葉片數(shù)為6、7、8的鏡頭對光源進行了拍攝，拍攝得到的成像圖最終轉(zhuǎn)換為一700×700像素的灰度圖像，如圖5所示。

從圖5可以看出，當選用光圈的葉片數(shù)分別為6、7、8時，出現(xiàn)星芒的個數(shù)分別為6、14、8，實驗結(jié)果與上述數(shù)值模擬規(guī)律一致。受實驗室現(xiàn)有鏡頭組條件所限，沒有進行更少或更多葉片數(shù)的實驗研究。

其次，保持葉片個數(shù)不變，探究了光圈大小對出現(xiàn)的星芒細銳度的影響。選用光圈葉片數(shù)為8的鏡頭，固定曝光時間為10s，焦距為150mm，改變光圈大小分別為F16、F18、F22。由于F=鏡頭的焦距/鏡頭光圈的直徑，因此對應(yīng)的正八邊形光圈的實際邊長分別為3.6mm、3.2mm、2.6mm。最終得到的圖像如圖6所示。

圖6 葉片數(shù)為8時，改變不同光圈大小的拍攝圖像(a) 光圈大小為F16； (b) 光圈大小為F18； (c) 光圈大小為F22。其中橫向白色的水平線表示縱向700像素中，第200像素所在的位置

從圖6中可以看出，隨著相機光圈邊長的減小，出現(xiàn)的星芒的細銳度越高。為了更直觀地數(shù)值分析圖6中出現(xiàn)的星芒的細銳度，我們利用LabVIEW軟件分析了圖6三幅圖中，縱向坐標在第200處(如圖中的淺灰線所示)的水平線的歸一化灰度圖，結(jié)果如圖7所示。通過比較最中間星芒所占的像素范圍的大小(范圍越小，說明細銳度越高)，即可直接分析星芒的細銳度。

圖7 縱向坐標為200像素點的橫向歸一化灰度圖(圖6中淺灰線位置)

圖7中，每條曲線的3個峰分別表示了圖6中每張圖淺灰色橫線所在位置出現(xiàn)3個峰，直接比較最中間峰所占用的像素值范圍即可得知細銳度的大小。可以看出，隨著光圈F值越大，即光圈的實際孔徑越小(L越小)，峰中心光強越大，同時對應(yīng)的像素范圍也越小，表明形成的星芒將越細銳。該實驗結(jié)果與理論分析基本一致。事實上，我們也分別用六葉片和七葉片的相機鏡頭進行了類似的探究細銳度的實驗，均得到了相同的規(guī)律。

4 總結(jié)與討論

本文從理論和實驗兩方面對星芒現(xiàn)象進行了研究。首先從理論上給出了平行光通過不同形狀和大小的孔后的光強分布表達式，并用Mathematica軟件數(shù)值仿真模擬了不同條件下星芒現(xiàn)象的特征，得出了光圈葉片數(shù)與星芒個數(shù)的關(guān)系為：當相機光圈為中心對稱的正多邊形時，出現(xiàn)的星芒個數(shù)為葉片數(shù)；當相機光圈為軸對稱而非中心對稱的正多邊形時，星芒個數(shù)為葉片數(shù)的二倍。同時，數(shù)值模擬結(jié)果得出：鏡頭光圈孔邊長越小，星芒將越細銳。進一步，本文對星芒現(xiàn)象也進行了實驗研究。通過利用具有不同光圈結(jié)構(gòu)的相機對實際光源進行拍照，分析了相機底片中出現(xiàn)的星芒數(shù)量和細銳度等問題，實驗結(jié)果與理論結(jié)論一致。本文也較為完美地解決了2018年IYPT賽題之一中提到的提燈輻射問題。