萬建杰 趙鑫婷

(西北師范大學物理與電子工程學院，甘肅 蘭州 730070)

費馬原理即光沿光程為極值的路徑傳播，其數(shù)學公式為

(1)

筆者在文獻[1]和文獻[2]中給出了直接應用費馬原理推導得到主軸外物點經(jīng)過球面界面反射和折射的會聚光線方程和發(fā)散光線方程的一般過程。另外，文獻[3]研究了旋轉二次曲面的成像公式，具體推導了凸曲面折射的會聚光線方程及相應的物像公式，然而并未對會聚光線和發(fā)散光線作出區(qū)分。

本文將從新笛卡爾坐標系[4，5]出發(fā)，直接應用費馬原理，討論主軸上物點經(jīng)旋轉二次曲面反射和折射過程中產(chǎn)生的會聚光線和發(fā)散光線。

1 主軸上物點的旋轉二次曲面反射

1.1 凹曲面反射的會聚光線

(2)

由于

(3)

圖1 主軸上物點的凹曲面反射

(4)

光程可以寫成

(5)

先將式(5)對φ求導，即

(6)

(7)

根據(jù)費馬原理，要使式(7)對任意φ都成立，只需

(8)

考慮到

即

(9)

或

(10)

此即主軸上物點凹曲面反射的會聚光線方程，該結果與文獻[3]的式(17)略有不同。另外，當偏心率e=0時，凹曲面反射的會聚光線方程退化為凹球面反射的會聚光線方程[1, 4，5]。

1.2 凸曲面反射的發(fā)散光線

(11)

由于

(12)

圖2 主軸上物點的凸曲面反射

(13)

則

(14)

先將式(14)對φ求導，即

(15)

(16)

根據(jù)費馬原理，要使式(16)對于任意φ都成立，只需

(17)

或

(18)

此即主軸上物點經(jīng)凸曲面反射的發(fā)散光線方程。可以看出，該方程與主軸上物點經(jīng)凹曲面反射的會聚光線方程式(9)或式(10)不同。另外，當偏心率e=0時，凸曲面反射的發(fā)散光線方程退化為凸球面反射的發(fā)散光線方程[2]。

1.3 旋轉二次曲面反射的理想成像

1) 凹曲面鏡會聚光線的理想成像

在近軸光線條件下φ很小，因此

代入式(10)可得

(22)

即

(23)

上式即旋轉二次曲面反射的實像物像公式。

2) 凸曲面鏡發(fā)散光線的理想成像

在近軸光線條件下φ很小，因此

代入式(18)可得

(27)

即

(28)

上式即旋轉二次曲面反射的虛像物像公式，在新笛卡爾坐標系中的物像公式(27)與實像物像公式(22)完全相同?？梢钥闯觯斊穆蔱=0時，式(22)和式(27)即成為球面界面反射的物像公式[1，2,4，5]。當e=1時，可得出旋轉拋物面反射的物像公式，焦點恰好是拋物面頂點O的曲率中心C。

2 主軸上物點的旋轉二次曲面折射

2.1 凸曲面折射的會聚光線

(29)

圖3 主軸上物點的凸曲面折射

由于

則

(32)

先將式(32)對φ求導，即

(33)

(34)

根據(jù)費馬原理，要使式(34)對任意φ都成立，只需

(35)

或

(36)

此即主軸上物點凸曲面折射的會聚光線方程，與文獻[3]的式(5)一致。當偏心率e=0時，凸曲面折射的會聚光線方程退化為凸球面折射的會聚光線方程[1, 4，5]。

2.2 凹曲面折射的發(fā)散光線

圖4 主軸上物點的凹曲面折射

(37)

其中，p為半正焦弦。由于

光程可以寫成

(40)

先將式(40)對φ求導，即

(41)

(42)

根據(jù)費馬原理，要使式(42)對任意φ都成立，只需

(43)

即

(44)

或

(45)

此即主軸上物點經(jīng)凹曲面折射的發(fā)散光線方程，可以看出，該方程與主軸上物點經(jīng)凸曲面折射的會聚光線式(35)或式(36)明顯不同。另外，當偏心率e=0時，凹曲面折射的發(fā)散光線方程退化為凹球面折射的發(fā)散光線方程[2]。

2.3 旋轉二次曲面折射的理想成像

1) 凸曲面折射會聚光線的理想成像

在近軸光線條件下φ很小，因此

代入式(36)可得

(49)

即

(50)

上式即旋轉二次曲面折射的實像物像公式。

2) 凹曲面折射發(fā)散光線的理想成像

在近軸光線條件下φ很小，因此

代入式(45)可得

(54)

即

(55)

上式即旋轉二次曲面折射的虛像物像公式?？梢钥闯觯谛碌芽栕鴺讼抵?，旋轉二次曲面折射的實像和虛像物像公式具有相同的形式。另外，當偏心率e=0時，式(49)和式(54)退化為球面界面折射的物像公式[1-2,4-5]。

3 總結

本文運用費馬原理直接推導得到了主軸上物點經(jīng)旋轉二次曲面反射和折射過程中產(chǎn)生的會聚光線和發(fā)散光線滿足的幾何關系，然后在近軸條件下得出旋轉二次曲面的物像公式。結果表明凹曲面反射的會聚光線和凸曲面反射的發(fā)散光線滿足不同的光線方程，凸曲面折射的會聚光線和凹曲面折射的發(fā)散光線也滿足不同的光線方程。然而，在近軸條件下反射過程的(實像和虛像)物像公式和折射過程的(實像和虛像)物像公式在新笛卡爾坐標系中都分別具有統(tǒng)一的形式。特別地，當偏心率e=0時，旋轉二次曲面退化為球面界面，相關方程也都退化為球面界面的光線方程和物像公式。

另外，根據(jù)文獻[1,2,4,5]可以看出，當n′=-n時，凹球面折射發(fā)散光線方程變?yōu)榘记蛎娣瓷鋾酃饩€方程，而凸球面折射會聚光線方程變?yōu)橥骨蛎娣瓷浒l(fā)散光線方程，并且球面折射物像公式也會變成球面反射物像公式。同理，我們發(fā)現(xiàn)對于旋轉二次曲面而言，當n′=-n時，凹曲面折射發(fā)散光線方程變?yōu)榘记娣瓷鋾酃饩€方程，而凸曲面折射會聚光線方程變?yōu)橥骨娣瓷浒l(fā)散光線方程，并且旋轉二次曲面折射物像公式也變成相同曲面的反射物像公式。