楊 明,劉 明,鄭 偉,高 興,陳志剛

(1.國防科技大學(xué) 空天科學(xué)學(xué)院,湖南 長沙 410073;2.空間物理重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室,北京 100076)

空射模式是指由飛機(jī)載至空中發(fā)射,與地面發(fā)射相比較,其發(fā)射準(zhǔn)備時(shí)間短、機(jī)動(dòng)性強(qiáng)、發(fā)射成本低。一般空中發(fā)射動(dòng)力系統(tǒng)多采用固體發(fā)動(dòng)機(jī)。固體發(fā)動(dòng)機(jī)燃燒時(shí)間短,要達(dá)到要求高度,火箭需采用多級工作模式,一般采用二級或三級,并且級間會增加無動(dòng)力滑行以滿足終端約束條件。美國軌道科學(xué)公司研制的飛馬座空射火箭就是典型的空射火箭,并已進(jìn)行多次飛行。它是三級固體火箭,由飛機(jī)載至空中,水平投放后,火箭按預(yù)定飛行程序?qū)⑤d荷運(yùn)送到預(yù)定軌道,飛馬座的成功為運(yùn)載火箭發(fā)射開辟了新的途徑[1-5]。

近空間飛行器一般在臨近空間飛行,臨近空間一般指距地面20～100 km區(qū)域。在臨近空間區(qū)域飛行,既可以避免目前絕大多數(shù)的地面攻擊,又可以提高軍事偵察和對地攻擊的精度,對于情報(bào)收集、偵察監(jiān)視、通信保障以及對空對地作戰(zhàn)等,具有極大的發(fā)展?jié)摿6]。

相對于傳統(tǒng)地面發(fā)射或空射高軌道飛行器,空射近空間飛行器助推段彈道具有以下特點(diǎn):①空射模式下,火箭投放后,一級飛行段需大過載快速拉起;②為了滿足近空間飛行器低交班高度、小交班速度傾角和速度偏角的需求,助推段需采用特殊低彈道的飛行方案;③為實(shí)現(xiàn)近空間飛行器不同飛行距離要求,需在助推段進(jìn)行能量管理,以滿足不同的交班速度需求。這些特點(diǎn)都使得空射近空間飛行器助推段彈道規(guī)劃問題變得更加復(fù)雜。文獻(xiàn)[7]針對有翼空射運(yùn)載火箭提出了一種基于飛行程序角的工程設(shè)計(jì)方法,文獻(xiàn)[8]提出了一種基于自適應(yīng)遺傳算法的空射運(yùn)載火箭彈道優(yōu)化方法,文獻(xiàn)[9]提出了一種基于攻角編碼的遺傳算法的高超聲速飛行試驗(yàn)助推段彈道優(yōu)化。以上研究主要是針對高軌道飛行器或地面發(fā)射近空間高超聲速飛行器,對空射近空間飛行器助推彈道的研究很少。

本文主要是針對空射近空間飛行器助推彈道規(guī)劃問題,結(jié)合各飛行段特點(diǎn),建立多段多約束參數(shù)化助推彈道規(guī)劃模型,提出了一種適應(yīng)于工程應(yīng)用的助推彈道規(guī)劃方法,該方法具有很高的求解精度和較快的求解速度,易于工程實(shí)現(xiàn),具有較高工程應(yīng)用價(jià)值。

1 數(shù)學(xué)描述

1.1 運(yùn)動(dòng)方程的建立

為了便于研究,假設(shè)地球?yàn)榫|(zhì)不旋轉(zhuǎn)圓球并忽略附加哥氏力的影響,根據(jù)火箭受力情況可得到運(yùn)動(dòng)方程:

(1)

式中:v為飛行速度;Fp為發(fā)動(dòng)機(jī)推力;Fx,Fy,Fz分別為氣動(dòng)阻力、升力和側(cè)向力;α,β分別為攻角和側(cè)滑角;θ為速度傾角;ψ為速度偏角;γ為傾斜角;x,y,z為位置三分量;m為飛行器質(zhì)量;qm為質(zhì)量流量。

1.2 約束條件參數(shù)化模型

空射模式為載機(jī)在空中投放運(yùn)載器后,運(yùn)載器在一定初速下點(diǎn)火加速并利用氣動(dòng)力和推力迅速拉起,同時(shí)近空間飛行器交班點(diǎn)高度較低,助推段彈道相對運(yùn)載器或彈道導(dǎo)彈飛行高度較低,轉(zhuǎn)彎幅度較大,所以在彈道設(shè)計(jì)時(shí)需要考慮過載、控制、子級分離要求和交班點(diǎn)參數(shù)要求等約束。

①載荷約束。火箭從飛機(jī)投放后,一級發(fā)動(dòng)機(jī)點(diǎn)火加速快速拉起。火箭一級飛行主要是在稠密大氣中完成,同時(shí)拉起過程中需采用大過載?？紤]火箭結(jié)構(gòu)及發(fā)動(dòng)機(jī)承載能力,需要對飛行法向過載進(jìn)行約束,即

(2)

式中:ny為法向過載,Fy1為法向力,nmax為火箭所能承受的最大法向過載。

②控制約束?；鸺斗藕筮M(jìn)入一級飛行段,一級飛行在稠密大氣層完成,并需要在較短時(shí)間采用大攻角快速拉起彈道,由于載荷和控制能力的限制,需要對飛行攻角加以限制;二級飛行段飛行高度相對較高,主要考慮控制能力對調(diào)姿角速度的適應(yīng)性,需要對角速度進(jìn)行限制,同時(shí)考慮二級能量管理對側(cè)滑角的約束:

(3)

式中:t1為一級點(diǎn)火時(shí)間,t2為一級關(guān)機(jī)時(shí)間,t3為二級點(diǎn)火時(shí)間,tT為二級關(guān)機(jī)點(diǎn)時(shí)間;αmax1,αmax2分別為一級飛行段和二級飛行段最大可用攻角;βmax為二級飛行段最大可用側(cè)滑角;ωcx,max為一、二級姿態(tài)角調(diào)節(jié)角速度最大值。

③子級分離點(diǎn)參數(shù)約束。子級分離點(diǎn)參數(shù)要求主要包括兩方面:一方面是分離時(shí)刻姿態(tài)要求和姿態(tài)角速度要求,該要求可通過控制變量參數(shù)化建模來保證;另一方面,由于一子級分離在大氣層內(nèi)進(jìn)行,分離高度過低會導(dǎo)致分離氣動(dòng)干擾過大,控制系統(tǒng)難以適應(yīng),因此需要對分離高度進(jìn)行限制,即

h(t3)≥hC

(4)

式中:hC為一、二級分離點(diǎn)最低高度。

④終端約束。助推段彈道終端參數(shù)需滿足交班點(diǎn)高度、速度、速度傾角和速度偏角等要求,即

(5)

2 彈道規(guī)劃方法

2.1 控制變量參數(shù)化建模

為了實(shí)現(xiàn)火箭投放后快速爬升,一級采用最大過載快速拉起。為了保證低彈道入軌條件,在二級縱向剖面進(jìn)行程序角參數(shù)化設(shè)計(jì);為了滿足不同交班速度需求,在二級橫向剖面進(jìn)行能量管理設(shè)計(jì)。基于以上考慮,近空間飛行器助推段飛行程序參數(shù)化模型可描述如下。

①投放段攻角設(shè)計(jì)。

該段主要是為了保證飛機(jī)和運(yùn)載火箭安全分離,一般采用定攻角飛行,即

α(t)=α0,t∈(0,t1)

(6)

式中:α0根據(jù)飛行器氣動(dòng)控制特性選擇。

②一級飛行段攻角設(shè)計(jì)。

對于空中發(fā)射,運(yùn)載火箭一般采用水平投放。為了減小助推段速度損失,火箭水平投放后需要快速拉起爬升穿越稠密大氣層,所以在一級攻角設(shè)計(jì)時(shí),盡量采用火箭所能承受的最大過載對應(yīng)的攻角飛行,實(shí)現(xiàn)火箭快速拉起爬升。這種情況下跨聲速段大攻角飛行氣動(dòng)干擾問題靠火箭自身控制能力來保證。

(7)

式中:CN為法向力系數(shù),ρ為大氣密度,h為飛行高度,Ma為飛行馬赫數(shù),Sr為氣動(dòng)參考面積,δm為火箭噴管擺角;t2s為大攻角拉起結(jié)束時(shí)間,t2為一級關(guān)機(jī)點(diǎn)時(shí)間,t2s≤t2。

③一級滑行段攻角設(shè)計(jì)。

該段主要用于調(diào)整交班點(diǎn)速度傾角,同時(shí)保證一、二級分離高度。

α(t)=αhx,t∈(t2,t3]

(8)

式中:αhx為一級滑翔段飛行攻角,一般取αhx=0,thx=t3-t2,表示一級滑行時(shí)間。

④二級飛行段攻角設(shè)計(jì)。

二級飛行段攻角設(shè)計(jì)如下:

(9)

式中:t3為二級點(diǎn)火時(shí)間;t4,t5,t6為設(shè)計(jì)時(shí)間。αm為二級飛行最大攻角,αT為要求的交班點(diǎn)攻角。ωcx為二級攻角調(diào)節(jié)角速度。取tT為二級關(guān)機(jī)點(diǎn)時(shí)間,則t6

⑤二級能量管理側(cè)滑角設(shè)計(jì)。

為了實(shí)現(xiàn)近空間飛行器不同交班條件需求,在二級進(jìn)行能量管理[10]。為了不影響二級縱向控制交班點(diǎn)精度,考慮在二級通過調(diào)整側(cè)滑角實(shí)現(xiàn)能量管理,其中側(cè)滑角設(shè)計(jì)如圖1所示。

(10)

式中:βm為二級能量管理最大側(cè)滑角;t0,tm分別為二級能量管理起始時(shí)間和結(jié)束時(shí)間;tb為側(cè)滑角切換時(shí)間。

圖1 能量管理側(cè)滑角參數(shù)化模型

基于以上飛行參數(shù)化模型,選取一級大攻角拉起結(jié)束時(shí)間t2s,一級滑行時(shí)間thx,二級飛行最大攻角αm,二級攻角調(diào)節(jié)角速度ωcx,二級能量管理最大側(cè)滑角βm及側(cè)滑角切換時(shí)間tb等為設(shè)計(jì)變量。

考慮助推段結(jié)束點(diǎn)交班高度、速度、速度傾角以及速度偏角誤差的要求,助推段彈道規(guī)劃可表述為在考慮的約束條件下對以下非線性方程組求解:

(11)

式中:Δh,Δv,Δθ,Δψ分別為交班點(diǎn)高度偏差、速度偏差、速度傾角偏差和速度偏角偏差。

2.2 基于粒子群的彈道規(guī)劃方法

粒子群算法是一種基于群體智能的優(yōu)化方法,采用的是速度和位移模式,每個(gè)粒子的位置對應(yīng)一個(gè)解,而解的目標(biāo)函數(shù)值作為判定粒子位置優(yōu)劣的準(zhǔn)則。粒子群算法由于具有收斂速度快、易于實(shí)現(xiàn)的特點(diǎn),所以在飛行器優(yōu)化領(lǐng)域得到了廣泛的應(yīng)用。

①優(yōu)化變量。

基于2.1節(jié)中參數(shù)化建模,空射近空間飛行器助推彈道優(yōu)化設(shè)計(jì)變量為

X=(αmβmt2sωcxthxtb)T

(12)

②目標(biāo)函數(shù)。

本文研究空射模式近空間飛行器助推彈道規(guī)劃問題,同時(shí)還考慮二級能量管理,因此將交班點(diǎn)參數(shù)偏差作為目標(biāo)函數(shù),即

J(X)=min(J1+J2+J3+J4)

(13)

式中:J1=λ1Δh,J2=λ2Δv,J3=λ3Δθ,J4=λ4Δψ;λ1,λ2,λ3,λ4為調(diào)節(jié)系數(shù),通過調(diào)節(jié)其取值,使得J1,J2,J3,J4量級一致。

③彈道規(guī)劃。

假設(shè)Xi=(αm,iβm,it2s,iωcx,ithx,itb,i)T為彈道解算中的一個(gè)解,其為粒子群優(yōu)化算法中的一個(gè)粒子,那么在每次搜索中,多個(gè)粒子即構(gòu)成粒子群。根據(jù)標(biāo)準(zhǔn)粒子群算法,粒子位置和速度的更新公式如下:

(14)

傳統(tǒng)粒子群優(yōu)化算法存在搜索速度慢,容易陷入局部最優(yōu)等缺點(diǎn)。研究表明,異步時(shí)變學(xué)習(xí)因子與線性遞減慣性權(quán)重配合使用效果較好[11],同時(shí)為了克服線性權(quán)重不能充分協(xié)調(diào)全局和局部搜索性能的不足[12],本文采用非線性遞減策略調(diào)整慣性權(quán)重值。在優(yōu)化過程中,慣性權(quán)重和學(xué)習(xí)因子取值如下:

(15)

3 仿真分析

表1 仿真約束條件

表2 不同狀態(tài)終端約束條件

基于給定的初始參數(shù)及約束條件,通過彈道規(guī)劃解算,本文給出了5組仿真算例,每組仿真算例對交班條件需求不同,彈道規(guī)劃控制參數(shù)仿真結(jié)果如表3所示,彈道規(guī)劃仿真結(jié)果如表4所示。

表3 不同狀態(tài)控制參數(shù)優(yōu)化結(jié)果

表4 不同狀態(tài)規(guī)劃仿真結(jié)果

彈道規(guī)劃仿真結(jié)果典型彈道參數(shù)曲線如圖2～圖6所示。

圖2 高度隨時(shí)間變化曲線

圖3 速度隨時(shí)間變化曲線

圖4 速度傾角隨時(shí)間變化曲線

圖5 速度偏角隨時(shí)間變化曲線

圖6 法向過載隨時(shí)間變化曲線

從以上仿真分析可知,對應(yīng)不同交班條件要求,規(guī)劃結(jié)果均滿足過載、控制及分離等約束和交班點(diǎn)參數(shù)要求,其中交班速度精度小于1 m/s,交班高度精度小于2 m,交班速度傾角精度小于0.01°,交班速度偏角精度小于0.01°,可適應(yīng)不同交班速度的要求。

綜上分析,本文研究的助推段彈道規(guī)劃方法可實(shí)現(xiàn)多約束下的助推段彈道規(guī)劃,并可通過能量管理滿足不同交班速度要求。

4 結(jié)論

本文針對空射近空間飛行器低彈道快速入軌彈道規(guī)劃問題,提出了一種適應(yīng)于工程應(yīng)用的彈道快速規(guī)劃方法,該方法能快速獲得滿足不同交班速度需求的參考彈道。仿真結(jié)果表明:交班速度精度小于1 m/s,交班高度精度小于2 m,交班速度傾角精度小于0.01°,交班速度偏角精度小于0.01°;全程過載、控制及分離等過程約束均滿足要求。該方法具有很高的精度和較快的速度,易于工程實(shí)現(xiàn),具有較高工程應(yīng)用價(jià)值,可為空射近空間飛行器方案論證和初步設(shè)計(jì)提供參考。