張博俊,王俊峰,李大鵬,肖 清

(北京宇航系統(tǒng)工程研究所,北京 100076)

運(yùn)載火箭彈道設(shè)計(jì)是一種典型的非線性規(guī)劃問題,由于火箭的構(gòu)型不同、目標(biāo)約束不同,往往需要根據(jù)火箭構(gòu)型進(jìn)行多個(gè)控制變量的優(yōu)化,計(jì)算工作量大。在運(yùn)載火箭構(gòu)型論證階段,需要根據(jù)可能的軌道、構(gòu)型、發(fā)動(dòng)機(jī)種類、加注質(zhì)量進(jìn)行組合,并在其中找到一個(gè)運(yùn)載能力最大的構(gòu)型,工作量非常大。同時(shí),由于構(gòu)型不同,火箭的控制變量也不盡相同,難以進(jìn)行統(tǒng)一建模,往往需要根據(jù)具體軌道、構(gòu)型進(jìn)行精細(xì)設(shè)計(jì)才能得到最優(yōu)運(yùn)載能力。因此,有必要針對(duì)運(yùn)載火箭彈道設(shè)計(jì)問題進(jìn)行分析、簡化,構(gòu)建一種通用的、易于尋優(yōu)的簡化彈道設(shè)計(jì)方法,滿足減少運(yùn)載火箭構(gòu)型論證工作計(jì)算量的需求。

張子明等[1]探討了運(yùn)載火箭上升段的主要優(yōu)化參數(shù)。張柳等[2]在此基礎(chǔ)上提出了一種基于PSO-Powell算法的運(yùn)載火箭優(yōu)化算法,認(rèn)為影響火箭運(yùn)載能力的主要變量為各級(jí)程序角。胡冬生等[3]分析了不同約束變量對(duì)火箭運(yùn)載能力的影響。洪蓓等[4]提出了在有入軌約束的情況下進(jìn)行運(yùn)載火箭彈道優(yōu)化的算法。熊偉等[5]提出了一種利用遺傳算法和牛頓迭代法共同對(duì)彈道參數(shù)進(jìn)行尋優(yōu)的方案。這些方案都提出了一系列針對(duì)固定構(gòu)型的運(yùn)載火箭彈道優(yōu)化思路。本文根據(jù)對(duì)多種構(gòu)型火箭不同發(fā)射軌道的研究,提出了一種簡化彈道設(shè)計(jì)方法,解決在構(gòu)型論證工作中運(yùn)載火箭的運(yùn)載能力優(yōu)化問題,極大地減少了計(jì)算量。該方法通過簡化入軌級(jí)程序角設(shè)計(jì)方法使不確定的非線性規(guī)劃問題轉(zhuǎn)化為一次牛頓迭代尋優(yōu)過程,提高了計(jì)算效率。通過對(duì)國內(nèi)外的2種運(yùn)載火箭的飛行曲線擬合,驗(yàn)證了該方法的可行性和正確性,證明了簡化彈道設(shè)計(jì)方法可以滿足構(gòu)型論證工作中由于軌道、構(gòu)型不確定產(chǎn)生的統(tǒng)一彈道計(jì)算方法的需求。

1 彈道計(jì)算的數(shù)學(xué)模型

1.1 動(dòng)力學(xué)模型

建立在發(fā)射坐標(biāo)系下的火箭的上升段彈道三自由度質(zhì)點(diǎn)動(dòng)力學(xué)方程[6]:

(1)

(2)

(3)

1.2 飛行程序角模型

在文獻(xiàn)[2]的基礎(chǔ)上對(duì)飛行程序角進(jìn)行一定的修改,公式分為3部分,其中前兩部分全稱為重力轉(zhuǎn)彎段,該段的飛行程序如下:

(4)

式中:α為攻角,θ為彈道傾角,ωz為地球旋轉(zhuǎn)角速度在發(fā)射坐標(biāo)系z(mì)軸方向的分量,tturn為垂直段飛行時(shí)間,則

α=4αMetturn-t(etturn-t-1)

(5)

式中:αM為常量,也是迭代參數(shù)。

根據(jù)式(4)、式(5)可以得知,火箭的重力轉(zhuǎn)彎段分為2個(gè)過程,一個(gè)是從t0到tturn的垂直起飛過程,該時(shí)間可以由火箭出發(fā)射塔時(shí)間計(jì)算得出;另一個(gè)是重力轉(zhuǎn)彎過程,在這一階段,攻角α的曲線由期望的關(guān)機(jī)點(diǎn)程序角終值迭代αM得出,并最終計(jì)算得出飛行程序角。

轉(zhuǎn)彎段關(guān)機(jī)后至停泊軌道為第3個(gè)部分,該段程序角為

(6)

(7)

1.3 推力啟動(dòng)段關(guān)機(jī)段的簡化

在實(shí)際火箭飛行過程中,必須考慮到火箭每一級(jí)發(fā)動(dòng)機(jī)啟動(dòng)段的推力、流量的建立、關(guān)機(jī)過程,情況較為復(fù)雜。同時(shí),由于冷熱分離情況不同,因此在實(shí)際的火箭彈道計(jì)算過程中,發(fā)動(dòng)機(jī)推力的建立和關(guān)機(jī)是必須詳細(xì)考慮的。另一方面,推力、流量的曲線并非線性變化的,不同推進(jìn)劑的發(fā)動(dòng)機(jī)的啟動(dòng)、關(guān)閉時(shí)間也不相同,因此很難用一個(gè)框架來統(tǒng)一化處理。

經(jīng)過大量分析,由于發(fā)動(dòng)機(jī)啟動(dòng)、關(guān)閉階段的總時(shí)間較短,提供的總沖量相對(duì)于整個(gè)飛行過程來說極小,因此可以直接將這一部分略過,認(rèn)為這一部分的流程直接可以產(chǎn)生標(biāo)稱的推力,不計(jì)算啟動(dòng)關(guān)機(jī)過程,改為由節(jié)流時(shí)間和節(jié)流程度來模擬啟動(dòng)、關(guān)機(jī)過程。

因此,推力公式可以改寫為

(8)

(9)

2 迭代模型的通用化處理

在構(gòu)型論證階段,由于火箭構(gòu)型未定,因此在進(jìn)行設(shè)計(jì)的時(shí)候很難固定參考某一在飛型號(hào)進(jìn)行彈道優(yōu)化設(shè)計(jì),因此有必要針對(duì)優(yōu)化算法進(jìn)行通用化處理,使程序能夠適應(yīng)大多數(shù)在飛、在研的火箭構(gòu)型。

2.1 火箭彈道設(shè)計(jì)模式

目前在飛的火箭構(gòu)型主要有以下幾種:

①光桿構(gòu)型。無助推,可能有兩級(jí)火箭或者三級(jí)火箭。

②助推構(gòu)型。有助推,可能有兩級(jí)火箭或者三級(jí)火箭,各芯級(jí)關(guān)機(jī)時(shí)間有可能與助推相同或者延后。

③火箭加上面級(jí)狀態(tài)。在上述2種火箭的基礎(chǔ)上加上上面級(jí),由上面級(jí)帶衛(wèi)星直接入軌。

而入軌的軌道有以下幾種:

①直接入軌型太陽同步軌道(sun-synchronous orbit,SSO)、近地球軌道(low earth orbit,LEO),無滑行狀態(tài),火箭直接進(jìn)入目標(biāo)軌道;

②霍曼轉(zhuǎn)移入軌,需要在基礎(chǔ)級(jí)或者一級(jí)/二級(jí)飛行完成后,由入軌級(jí)滑行一段時(shí)間到達(dá)原地點(diǎn)后點(diǎn)火進(jìn)行軌道圓化。

可見,經(jīng)過排列組合后,構(gòu)型論證需要面對(duì)的工況數(shù)量龐大,而且難以固定一種設(shè)計(jì)方法進(jìn)行彈道計(jì)算。因此有必要針對(duì)這種情況進(jìn)行統(tǒng)一的彈道設(shè)計(jì)方法建模,適應(yīng)不同的情況。

2.2 彈道整體分段

一般來說,可以認(rèn)為霍曼轉(zhuǎn)移入軌是在火箭進(jìn)入一個(gè)稍小的圓形或者橢圓軌道后,再滑行一段時(shí)間到指定位置,發(fā)動(dòng)機(jī)二次啟動(dòng)進(jìn)入目標(biāo)軌道的過程[8]。很明顯,在第一步的彈道設(shè)計(jì)中,設(shè)計(jì)過程是相同的。因此,在這里將計(jì)算流程整體分為2種狀態(tài):非滑行狀態(tài)和滑行狀態(tài)。非滑行狀態(tài)是指火箭直接入軌各種軌道;滑行狀態(tài)是指在非滑行入軌后,再增加滑行段和最終入軌段。

由于目前的火箭動(dòng)力水平達(dá)不到單級(jí)入軌,直接入軌彈道至少需要兩級(jí)才能入軌,所以,可以設(shè)計(jì)第一段彈道為重力轉(zhuǎn)彎彈道,后續(xù)段為入軌彈道。

重力轉(zhuǎn)彎彈道在文獻(xiàn)[9]中有具體的設(shè)計(jì)方法描述,在這里不再展開。重力轉(zhuǎn)彎后,一般助推或一級(jí)將進(jìn)行分離,而為了提高運(yùn)載能力,一級(jí)/二級(jí)等將會(huì)多飛一段時(shí)間,這一段的工作級(jí)的數(shù)量是不一定的,有可能是單二級(jí)工作(Falcon9),也有可能是一級(jí)、二級(jí)一起工作(CZ-7)或者一級(jí)、二級(jí)、三級(jí)一起工作(CZ-3B)。各類火箭的構(gòu)型不同,彈道設(shè)計(jì)時(shí)的設(shè)計(jì)變量也不相同,因此不能以火箭工作級(jí)作為俯仰程序角的設(shè)計(jì)分段。

針對(duì)這種情況,可以將火箭第一次關(guān)機(jī)作為重力轉(zhuǎn)彎段終止點(diǎn),將后續(xù)直到入軌的各段統(tǒng)一作為一段真空推力段來進(jìn)行設(shè)計(jì),并將這一段稱為入軌段。這樣,可以將重力轉(zhuǎn)彎段后未知的火箭級(jí)數(shù)統(tǒng)一起來,認(rèn)為是由一個(gè)程序角變化率和對(duì)應(yīng)的飛行時(shí)間控制的飛行段。該段的主要任務(wù)是控制火箭從重力轉(zhuǎn)彎段后到入軌的這一段的飛行軌跡。

2.3 非滑行狀態(tài)設(shè)計(jì)方法

在實(shí)際彈道設(shè)計(jì)過程中,首先估計(jì)一個(gè)轉(zhuǎn)彎段俯仰程序角終值φ0,這樣就決定了本次計(jì)算時(shí)入軌段的起點(diǎn),然后使用入軌段的3個(gè)控制參數(shù)進(jìn)行迭代設(shè)計(jì)達(dá)到入軌要求,流程如下。

(10)

(11)

解完方程組后,即可得到能夠滿足從轉(zhuǎn)彎段終點(diǎn)到入軌點(diǎn)的一組控制變量。

圖1 不同φ0對(duì)后續(xù)程序角的影響

運(yùn)載能力曲線如圖2所示,圖中,mt為載荷質(zhì)量運(yùn)載能力。由圖2可見,不同的φ0對(duì)應(yīng)的運(yùn)載能力是一條反拋物線,可以解出極值。

圖2 不同φ0對(duì)應(yīng)的最優(yōu)運(yùn)載能力

可見,在不同的重力轉(zhuǎn)彎段程序角終值φ0的情況下,運(yùn)載能力明顯成反拋物線型,因此可以使用牛頓迭代算法對(duì)φ0進(jìn)行尋優(yōu),即可找到最優(yōu)運(yùn)載能力。

2.4 滑行狀態(tài)

針對(duì)上面級(jí)入軌或霍曼轉(zhuǎn)移入軌計(jì)算時(shí),可以將2.3節(jié)計(jì)算完的最優(yōu)停泊軌道作為計(jì)算的初始狀態(tài),并增加一段無動(dòng)力滑行段和一段動(dòng)力段,實(shí)現(xiàn)運(yùn)載火箭從停泊軌道到目標(biāo)軌道的轉(zhuǎn)移。一般來說,僅需要進(jìn)行一次工作就可以滿足入軌要求,因此設(shè)計(jì)思路更加簡化。

③重復(fù)計(jì)算至滿足入軌要求。

這樣就可以在原本的停泊軌道的基礎(chǔ)上,計(jì)算出SSO或GTO軌道的運(yùn)載能力,完成了構(gòu)型論證的驗(yàn)證。

綜上所述,通過分析非滑行入軌和滑行入軌的2類軌道設(shè)計(jì)流程及不同火箭構(gòu)型的設(shè)計(jì)思路,將非滑行入軌彈道設(shè)計(jì)抽象為2段入軌設(shè)計(jì)思路,對(duì)設(shè)計(jì)流程進(jìn)行了簡化。將復(fù)雜的、不確定非線性規(guī)劃問題簡化為對(duì)轉(zhuǎn)彎段程序角φ0的梯度尋優(yōu)過程,極大地簡化了彈道設(shè)計(jì)的復(fù)雜度。

3 模型驗(yàn)證

為驗(yàn)證簡化模型在不同構(gòu)型火箭、不同發(fā)射任務(wù)中的應(yīng)用效果,選取了美國SpaceX公司的Falcon9火箭發(fā)射銥星任務(wù)和典型CZ-3B火箭發(fā)射任務(wù)進(jìn)行復(fù)算。

3.1 CZ-3B改進(jìn)型火箭

使用簡化模型后,計(jì)算長三甲系列火箭用戶手冊(cè)中的典型CZ-3B火箭任務(wù)軌道參數(shù),計(jì)算運(yùn)載能力結(jié)果為5 510 kg,手冊(cè)中給出的運(yùn)載能力為5 500 kg,二者極為接近。表1對(duì)比了手冊(cè)及簡化彈道設(shè)計(jì)方法計(jì)算出的主要?jiǎng)幼鲿r(shí)序。由于CZ-3B火箭一級(jí)、二級(jí)屬于熱分離,因此時(shí)間偏差較小,到三級(jí)第一次關(guān)機(jī)后,由于簡化模型未計(jì)算后效等方面的影響,累計(jì)了一些時(shí)間偏差,但啟動(dòng)段、關(guān)機(jī)段沖量較小,未對(duì)運(yùn)載能力產(chǎn)生較大影響。

表1 CZ-3B典型任務(wù)時(shí)序?qū)Ρ?/p>

圖3顯示了簡化彈道設(shè)計(jì)方法計(jì)算出的運(yùn)載火箭速度、高度曲線與CZ-3B典型發(fā)射任務(wù)的速度、高度曲線的對(duì)比情況,由圖可見,二者十分接近。

圖3 CZ-3B速度、高度對(duì)比曲線

圖4為使用簡化彈道設(shè)計(jì)方法后計(jì)算得出的CZ-3B火箭飛行程序角。

3.2 Falcon9火箭

Falcon9火箭參數(shù)來自SpaceX官網(wǎng),根據(jù)發(fā)射任務(wù)手冊(cè),本次Falcon9火箭發(fā)射任務(wù)載荷為9.6 t,使用簡化彈道設(shè)計(jì)方法計(jì)算后,得到運(yùn)載能力為9.69 t,二者差距較小,一級(jí)、二級(jí)主要?jiǎng)幼鲿r(shí)序見表2。由表2可見,由于參數(shù)資料較少,實(shí)際飛行時(shí)間有一定的偏差,但各分段時(shí)間差異不大。

表2給出了Falcon9銥星任務(wù)實(shí)測飛行時(shí)序與擬合彈道的對(duì)比情況。

表2 Falcon9銥星任務(wù)時(shí)序?qū)Ρ?/p>

圖5給出了簡化彈道設(shè)計(jì)方法計(jì)算出的Falcon9銥星任務(wù)的速度、高度曲線,并與該任務(wù)視頻中給出的速度、高度曲線進(jìn)行了對(duì)比。由圖可見,通過簡化彈道設(shè)計(jì)方法計(jì)算得出的擬合彈道與實(shí)際飛行數(shù)據(jù)貼近,擬合效果較好。

圖5 Faclon9速度、高度對(duì)比曲線

圖6中給出了Falcon9銥星任務(wù)使用簡化彈道計(jì)算方法得出的飛行程序角。

圖6 Falcon9銥星任務(wù)飛行程序角曲線

由CZ-3B、Falcon9 2種構(gòu)型的火箭運(yùn)載能力計(jì)算、實(shí)測數(shù)據(jù)比對(duì)可以看出,簡化彈道模型通過較少的輸入?yún)?shù)、更簡單的控制變量和計(jì)算方法即可達(dá)到很高精度的彈道復(fù)現(xiàn),證明了簡化彈道設(shè)計(jì)方法的可行性。

4 結(jié)論

通過理論分析,本文對(duì)現(xiàn)有的彈道計(jì)算模型進(jìn)行了簡化,極大地減少了輸入數(shù)據(jù)的類型和數(shù)量,并將不確定的非線性彈道設(shè)計(jì)問題簡化為梯度尋優(yōu)過程。使用簡化彈道設(shè)計(jì)方法對(duì)CZ-3B、Falcon9 2種構(gòu)型完全不同的現(xiàn)役運(yùn)載火箭的實(shí)際飛行曲線進(jìn)行了擬合,對(duì)比結(jié)果顯示,盡管存在一定的偏差,但整體上曲線復(fù)現(xiàn)效果較好,運(yùn)載能力接近,證明了簡化彈道設(shè)計(jì)方法的可行性、正確性。因此,可以認(rèn)為簡化彈道設(shè)計(jì)方法可用于構(gòu)型論證階段的彈道計(jì)算。