肖 劍,王雨時,張志彪

(南京理工大學(xué) 機(jī)械工程學(xué)院 江蘇 南京 210094)

無后坐炮武器系統(tǒng)的內(nèi)彈道設(shè)計是整個系統(tǒng)設(shè)計的核心,其內(nèi)彈道性能也是衡量系統(tǒng)整體性能的主要指標(biāo)之一。采用不同的優(yōu)化算法對內(nèi)彈道進(jìn)行優(yōu)化設(shè)計,是提高內(nèi)彈道設(shè)計效率的方法之一,并在實際中被廣泛應(yīng)用。文獻(xiàn)[1]將改進(jìn)型遺傳算法應(yīng)用于內(nèi)彈道優(yōu)化數(shù)學(xué)模型,得到一組最優(yōu)設(shè)計組合方案,結(jié)果表明采用改進(jìn)遺傳算法進(jìn)行內(nèi)彈道優(yōu)化是有效和可行的。文獻(xiàn)[2]為研究混合裝藥結(jié)構(gòu)對內(nèi)彈道性能的影響,對遺傳算法進(jìn)行了改進(jìn),得到一組非劣解集。文獻(xiàn)[3]將遺傳算法應(yīng)用于內(nèi)彈道參數(shù)符合計算中。文獻(xiàn)[4]利用罰函數(shù)法將多目標(biāo)問題轉(zhuǎn)換為單目標(biāo)問題進(jìn)行內(nèi)彈道優(yōu)化分析,并得到一組優(yōu)化解?？梢?對內(nèi)彈道優(yōu)化問題的研究常常是利用優(yōu)化算法得到最佳參數(shù),但基于Pareto遺傳算法的優(yōu)化方法在內(nèi)彈道優(yōu)化設(shè)計領(lǐng)域卻并不多見。

為了處理無后坐炮內(nèi)彈道的多目標(biāo)優(yōu)化設(shè)計問題,本文利用Pareto遺傳算法的特點:①無需將多目標(biāo)問題轉(zhuǎn)換為單目標(biāo)問題,②不使用權(quán)重來決定各目標(biāo)的重要性,③可獲得非劣解集以提供給決策者多種選擇方案;將Pareto遺傳算法與無后坐炮內(nèi)彈道數(shù)學(xué)模型相結(jié)合,建立了基于Pareto遺傳算法的多目標(biāo)優(yōu)化設(shè)計問題的優(yōu)化模型,進(jìn)行了無后坐炮內(nèi)彈道優(yōu)化設(shè)計。

1 無后坐炮內(nèi)彈道數(shù)學(xué)模型

無后坐炮內(nèi)彈道方程的建立基于以下假設(shè)[5]:①發(fā)射藥燃燒服從幾何燃燒定律;②發(fā)射藥燃燒和彈丸運動都在平均壓力下進(jìn)行;③發(fā)射藥燃燒速度與壓力成正比;④整個內(nèi)彈道過程中發(fā)射藥燃?xì)馍晌锍煞直３植蛔?⑤膛壁的熱散失忽略不計;⑥不計及彈帶逐漸擠進(jìn)膛線的過程,而假定膛內(nèi)壓力達(dá)到擠進(jìn)壓力p0時彈丸開始運動。

內(nèi)彈道方程組歸納如下。

①燃速方程。

②形狀函數(shù)。

③彈丸速度與行程的關(guān)系。

④彈丸運動方程。

⑤流量方程。

⑥能量平衡方程。

⑦氣體狀態(tài)方程。

2 Pareto遺傳算法

2.1 實數(shù)編碼的遺傳算法

遺傳算法是模擬達(dá)爾文生物進(jìn)化論的自然選擇和遺傳學(xué)機(jī)理的生物進(jìn)化過程的計算模型,是一種通過模擬自然進(jìn)化過程具有自適應(yīng)能力的、全局性的概率搜索算法,起源于20世紀(jì)60年代Holland對自然和人工自適應(yīng)系統(tǒng)的研究[6]。

遺傳算法是從目標(biāo)問題存在解的一個種群開始,首先將解空間中的解數(shù)據(jù)映射到遺傳空間的基因型數(shù)據(jù)即為編碼,稱為染色體或個體。初始種群由N個初始個體組成,按照適者生存和優(yōu)勝劣汰的原理,逐代演化產(chǎn)生目標(biāo)問題最優(yōu)解。每一代,根據(jù)個體適應(yīng)度大小選擇優(yōu)良個體,并進(jìn)行選擇、交叉和組合,產(chǎn)生具有新的解集的種群。最終末代所得到的具有最大適應(yīng)度的個體經(jīng)解碼即作為近似最優(yōu)解[7]。

標(biāo)準(zhǔn)遺傳算法一般采用二進(jìn)制編碼,需要頻繁地編碼和解碼,在實際應(yīng)用中會導(dǎo)致全局優(yōu)化速度變慢[8]。因此,本文交叉和變異采用實數(shù)編碼[8],編碼方式如下。

①交叉操作。根據(jù)從種群中選擇的2個個體y1和y2,進(jìn)行線性組合,獲得2個新個體y′1和y′2,其中:

式中:γ為0～1之間的隨機(jī)數(shù)。

②變異操作。選擇2個個體y1和y2,進(jìn)行以下變異操作獲得2個新個體y′1和y′2:

式中:R是產(chǎn)生均值為0、方差為1的隨機(jī)數(shù);w為小于1的系數(shù),用于控制變異量的范圍。

2.2 Pareto最優(yōu)解定義

本文涉及的無后坐炮內(nèi)彈道優(yōu)化問題是多目標(biāo)優(yōu)化問題,它與單目標(biāo)優(yōu)化問題有著本質(zhì)的不同。多目標(biāo)優(yōu)化問題存在目標(biāo)間發(fā)生相互矛盾的關(guān)系,使得多目標(biāo)優(yōu)化問題較為復(fù)雜。多目標(biāo)優(yōu)化問題的數(shù)學(xué)模型可以描述為

式中:x所屬空間D為問題的決策集,fi(x)(i=1,2,…,ε)是各個子目標(biāo)函數(shù),ε維函數(shù)F(x)=[f1(x),f2(x),…,fε(x)]稱為問題的目標(biāo)空間。

Pareto常用的基本概念如下[9-10]。

①Pareto支配。設(shè)x1∈D,x2∈D,當(dāng)且僅當(dāng)式(1)關(guān)系成立,則稱x1比x2優(yōu)越,記為x1x2(為支配符號)。

?i∈(1,2,…,ε),fi(x1)≤fi(x2)∧ ?j∈(1,2,…,ε),fj(x1)≤fj(x2)

(1)

②Pareto最優(yōu)解。解x1是Pareto最優(yōu)解,當(dāng)且僅當(dāng)不存在x2:x1x2。

③Pareto非支配集和前端。所有Pareto最優(yōu)解的集合稱為Pareto非支配集,其對應(yīng)的目標(biāo)集合為Pareto前端(Pareto前沿面)。

2.3 Pareto直接競爭選擇算子

從種群中選取2個個體x1和x2,將其中一個個體適應(yīng)度值作為比較集,另一個個體適應(yīng)度值作為被比較集。設(shè)個體x1適應(yīng)度值作為比較集,利用式(1)將個體x2適應(yīng)度值與比較集進(jìn)行比較。如果比較集比個體x2適應(yīng)度值優(yōu)越,則個體x1被選中并遺傳到下一代;反之,則個體x2被選中并遺傳到下一代;反復(fù)執(zhí)行上述過程,直至每一代個體之間均相互比較后再運算下一代[10]。為直觀說明優(yōu)化過程,圖1給出了Pareto遺傳算法與內(nèi)彈道程序結(jié)合后的優(yōu)化計算流程。

圖1 Pareto遺傳算法與內(nèi)彈道程序結(jié)合后的優(yōu)化計算流程

3 內(nèi)彈道優(yōu)化問題數(shù)學(xué)描述

本文以某中口徑無后坐炮內(nèi)彈道優(yōu)化問題為研究對象,而無后坐炮內(nèi)彈道性能主要涉及最大膛壓和初速,故將二者選為目標(biāo)函數(shù)。本研究主要為無后坐炮內(nèi)彈道設(shè)計提供多種設(shè)計方案,故選擇藥室容積和發(fā)射藥藥量作為設(shè)計變量,且給這兩者設(shè)定一定的范圍。因此,無后坐炮內(nèi)彈道優(yōu)化問題的數(shù)學(xué)描述為

式中:x1和x2分別表示藥室容積和發(fā)射藥藥量;f1(x)和f2(x)分別表示最大膛壓極小值和初速極大值。

本次優(yōu)化的內(nèi)彈道問題為多目標(biāo)優(yōu)化問題,包含2個目標(biāo):最大膛壓極小化和初速極大化。因此,在滿足式(2)的情況下x1支配x2,即x1比x2優(yōu)越,則式(1)在本問題中的具體表達(dá)式為

?[f1(x1)≤f1(x2)∧f2(x1)>f2(x2)]∧
?[f1(x1)f2(x2)]

(2)

在整個設(shè)計變量區(qū)間內(nèi),滿足式(2)的所有解構(gòu)成Pareto非劣解,并且Pareto非劣解沒有優(yōu)劣之分。

4 數(shù)值計算可信性驗證

根據(jù)第1節(jié)介紹的無后坐炮經(jīng)典內(nèi)彈道數(shù)學(xué)模型,采用龍格-庫塔法(具體形式參照文獻(xiàn)[5]),應(yīng)用MATLAB軟件對無后坐炮內(nèi)彈道進(jìn)行數(shù)值計算,并借鑒文獻(xiàn)[3,11]的方法對無后坐炮內(nèi)彈道進(jìn)行參數(shù)符合計算,用以提高內(nèi)彈道程序的精確性及預(yù)見性,符合的參數(shù)包括絕熱指數(shù)、燃速指數(shù)、次要功系數(shù)、火藥力和流量修正系數(shù)。彈道主要計算諸元如表1所示,包括發(fā)射藥藥量mc、彈丸質(zhì)量m、火藥厚度2e1、藥室容積V0和彈丸行程l。最大膛壓p和初速v0的計算結(jié)果和試驗結(jié)果如表2所示,表中,δ為誤差。由表2可知,最大膛壓、初速的計算值與試驗值的誤差分別為0.04%,0.008%,說明所采用的無后坐炮系統(tǒng)內(nèi)彈道計算程序是可信的,可用于內(nèi)彈道設(shè)計優(yōu)化計算。

表1 無后坐炮彈道主要計算諸元

表2 數(shù)值計算結(jié)果與試驗結(jié)果的比較

5 優(yōu)化結(jié)果及分析

根據(jù)第2節(jié)算法,采用所編寫的Pareto遺傳算法程序?qū)o后坐炮內(nèi)彈道模型進(jìn)行優(yōu)化參數(shù)設(shè)置。Pareto遺傳算法初始參數(shù)設(shè)置如下:群體規(guī)模為40,最大迭代代數(shù)為60,交叉概率為0.7,變異概率為0.3。根據(jù)圖1流程進(jìn)行優(yōu)化。

經(jīng)過60次迭代后,完成Pareto遺傳算法優(yōu)化計算。圖2為目標(biāo)值的Pareto前沿面。從圖2可看出:所得最大膛壓和初速的解近似均勻分布在Pareto前沿面上,說明所采用的Pareto遺傳算法和內(nèi)彈道相結(jié)合是可行的;優(yōu)化所得到的非劣解集可為決策者提供多種選擇,若決策者偏向于其中一個目標(biāo),則可以選擇Pareto前沿面兩端的解,即與單目標(biāo)優(yōu)化相同。若決策者同時注重2個目標(biāo),則可以選擇Pareto前沿面中間的解。本次優(yōu)化選擇靠近優(yōu)化前計算結(jié)果的點{66.50,257.9}作為優(yōu)化結(jié)果,其所對應(yīng)的藥室容積V0和發(fā)射藥藥量mc分別為1 103 cm3和317 g,與優(yōu)化前結(jié)果的對比如表3所示。

圖2 Pareto前沿面

方案V0/cm3mc/gp/MPav0/(m·s-1)原始方案81230067.33248.48優(yōu)化方案1 10331766.50257.90

圖3和圖4分別為膛壓-行程曲線和速度-行程曲線。

圖3 膛壓-行程曲線

圖4 速度-行程曲線

從圖3可以看出,優(yōu)化后的膛壓曲線下方所對應(yīng)的面積較原始膛壓曲線大,表明火藥氣體做功多。從圖4中可以看出,優(yōu)化后的速度高于原始速度。

從表3可以看出,原始方案最大壓力為67.33 MPa,優(yōu)化方案最大壓力為66.50 MPa,最大膛壓雖有降低,但幅度較小;而速度由原來的248.48 m/s提高到257.90 m/s,提高了3.8%。這證明了將Pareto遺傳算法應(yīng)用到無后坐炮內(nèi)彈道優(yōu)化設(shè)計是有效的,并且決策者可選擇優(yōu)化后的非劣解集中的任意一組非劣解作為設(shè)計方案。

6 結(jié)束語

針對某中口徑無后坐炮內(nèi)彈道優(yōu)化問題,提出了一種基于Pareto遺傳算法的內(nèi)彈道優(yōu)化方法,將無后炮內(nèi)彈道程序與多目標(biāo)優(yōu)化的Pareto遺傳算法結(jié)合起來。從Pareto遺傳算法搜索結(jié)果可看出:本文所優(yōu)化的對象在最大膛壓基本不變的狀態(tài)下炮口初速可提高3.8%,表明Pareto遺傳算法應(yīng)用到無后坐炮內(nèi)彈道優(yōu)化設(shè)計是有效的,可提高炮口初速;所求得的內(nèi)彈道非劣解集以Pareto前沿面的形式給出設(shè)計人員候選解集,設(shè)計人員可根據(jù)需要從中選擇無后坐炮內(nèi)彈道的最優(yōu)方案。