姚 晟， 陳 菊， 徐 風(fēng)， 汪 杰， 吳照玉

(1.安徽大學(xué) 計算智能與信號處理教育部重點實驗室,安徽 合肥 230601; 2.安徽大學(xué) 計算機(jī)科學(xué)與技術(shù)學(xué)院，安徽 合肥 230601)

粗糙集理論[1]是波蘭學(xué)者Pawlak教授于1982年提出的一種處理不確定、不完整數(shù)據(jù)的數(shù)學(xué)模型。目前已廣泛地運用于機(jī)器學(xué)習(xí)[2]、數(shù)據(jù)挖掘[3]、神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)、深度學(xué)習(xí)及模式識別[4]等領(lǐng)域[5-10]。對于早期的粗糙集研究而言，其主要是集中在完備信息系統(tǒng)中，而實際生活中，由于一些原因，信息系統(tǒng)中會存在一些缺失數(shù)據(jù)，含有缺失數(shù)據(jù)的信息系統(tǒng)被稱為不完備信息系統(tǒng)。針對經(jīng)典粗糙集對不完備信息系統(tǒng)的數(shù)據(jù)分析存在的局限性，近年來，容差關(guān)系和量化容差關(guān)系由Kryszkiewicz[11]和Stefanowski[12]等所提出，有效地解決了不完備信息系統(tǒng)中數(shù)據(jù)缺失的問題，使得粗糙理論有著更為廣泛的運用。為了從多個層次和多個角度進(jìn)行分析和處理問題，多粒度粗糙集模型由Qian[13-14]等所提出來。通過多粒度的視角，粗糙集理論成為強大的數(shù)據(jù)分析工具之一。

Pawlak粗糙集是基于等價關(guān)系的，要求分類是準(zhǔn)確無誤的。程度粗糙集重視等價類與幾何重疊部分的定量信息，考慮一點程度誤差的分類。通過將多粒度應(yīng)用到程度粗糙集中，吳志遠(yuǎn)[15]等提出了程度多粒度粗糙集。針對不完備信息系統(tǒng)，沈家蘭[16]等提出了基于限制容差關(guān)系的程度樂觀多粒度粗糙集和程度悲觀多粒度粗糙集。林夢雅[17]等提出了基于量化容差關(guān)系的多粒度粗糙集。

本文針對不完備信息系統(tǒng)，融合了量化容差關(guān)系和程度多粒度粗糙集模型的優(yōu)點，以量化容差關(guān)系為分類基礎(chǔ)，提出了基于量化容差關(guān)系的程度多粒度粗糙集模型，其中定義了基于量化容差關(guān)系的樂觀程度多粒度粗糙集和悲觀多粒度粗糙集，并分析了相關(guān)的性質(zhì)。實驗結(jié)果表明，基于量化容差關(guān)系的程度多粒度粗糙集模型具有更好的近似精度。

1 程度多粒度粗糙集

為了融合多粒度粗糙集和程度粗糙集的優(yōu)點，程度多粒度粗糙集由吳志遠(yuǎn)[15]等提出，并構(gòu)建了樂觀和悲觀兩種不同的程度多粒度粗糙集。

定義1[15]設(shè)信息系統(tǒng)IS={U,AT}，A1,A2,…,Am?AT，k為非負(fù)常數(shù)，?X?U，定義X的程度樂觀多粒度下近似、上近似分別為

|[x]A2|-|[x]A2∩X|≤k∨…∨

|[x]Am|-|[x]Am∩X|≤k}

(1)

(2)

定義2[15]設(shè)信息系統(tǒng)IS={U,AT}，A1,A2,…,Am?AT，k為非負(fù)常數(shù)，?X?U，定義X的程度樂觀多粒度下近似、上近似分別為

|[x]A2|-|[x]A2∩X|≤k∧…∧

|[x]Am|-|[x]Am∩X|≤k}

(3)

(4)

2 量化容差關(guān)系的程度多粒度粗糙集

在不完備系統(tǒng)中，考慮到等價類與重疊部分的定量信息也是相當(dāng)重要，因此考慮將程度多粒度粗糙集引入其中。Wang[18]所提出的改進(jìn)量化容差關(guān)系要比限制容差關(guān)系要求更加嚴(yán)格，相比之下，比相似關(guān)系要求寬松些，從而對論域的分類更加合理，并又結(jié)合了量化容差關(guān)系，因此提出了基于量化容差關(guān)系的程度多粒度粗糙集。

定義3 對于不完備信息系統(tǒng)DIIS={U,AT}，設(shè)w為屬性子集序列的分類閾值。對于?x∈U，A∈AT，k為非負(fù)整數(shù)，在w量化容差關(guān)系VTw(A)下，X的程度粗糙集下、上近似分別定義為

(5)

(6)

定義4 對于不完備信息系統(tǒng)DIIS={U,AT},設(shè)A1,A2,…,Am∈AT為m個屬性子集序列，w1,w2,…,wm分別對應(yīng)m個屬性子集序列下的分類閾值，其中k為非負(fù)整數(shù)。?x∈U，則X基于A1,A2,…,Am下w1,w2,…,wm量化容差關(guān)系族VTw1(A1),VTw2(A2),…,VTwm(Am)下的程度樂觀多粒度粗糙集下近似、上近似分別定義為

(7)

(8)

另外，其w1,w2,…,wm量化容差關(guān)系的程度樂觀多粒度粗糙集模型近似精度定義為

(9)

定義5 對于不完備信息系統(tǒng)DIIS={U,AT},設(shè)A1,A2,…,Am∈AT為m個屬性子集序列，w1,w2,…,wm分別對應(yīng)m個屬性子集序列下的分類閾值，其中k為非負(fù)整數(shù)。?x∈U，則X基于A1,A2,…,Am下w1,w2,…,wm量化容差關(guān)系族VTw1(A1),VTw2(A2),…,VTwm(Am)下的程度悲觀多粒度粗糙集下近似、上近似分別定義為

(10)

(11)

另外，其w1,w2,…,wm量化容差關(guān)系的程度悲觀多粒度粗糙集模型近似精度定義為

(12)

定理1 設(shè)不完備信息系統(tǒng)DIIS={U,AT},A1,A2,…,Am∈AT為m個屬性子集序列，w1,w2,…,wm分別對應(yīng)m個屬性子集序列下的分類閾值，其中k為非負(fù)整數(shù)。?x∈U，則量化容差關(guān)系下的程度樂觀多粒度粗糙集有如下性質(zhì)。

④k1,k2為非負(fù)常數(shù)，若k1≤k2，

證明:

定理2 設(shè)不完備信息系統(tǒng)DIIS={U,AT},A1,A2,…,Am∈AT為m個屬性子集序列，w1,w2,…,wm分別對應(yīng)m個屬性子集序列下的分類閾值，其中k為非負(fù)整數(shù)。?x∈U，則量化容差關(guān)系下的程度悲觀多粒度粗糙集有如下性質(zhì)。

④k1,k2為非負(fù)常數(shù)，若k1≤k2，

證明：定理2的證明類似于定理1的證明。

3 實驗分析

為了驗證所提出的基于量化容差關(guān)系的程度多粒度粗糙集模型具有一點的優(yōu)越性，從UCI機(jī)器學(xué)習(xí)數(shù)據(jù)庫中獲取4個數(shù)據(jù)集進(jìn)行試驗。表1給出了各個數(shù)據(jù)集的類分布情況。

表1 UCI數(shù)據(jù)集

表1所示的4個數(shù)據(jù)集全部為完備數(shù)據(jù)集，為了滿足本文所研究的基于量化容差關(guān)系的程度多粒度粗糙集模型，在實驗前將會隨機(jī)地剔除掉一部分?jǐn)?shù)據(jù)，通過人為方式構(gòu)造出不完備數(shù)據(jù)集進(jìn)行試驗。

為了驗證所提模型具有一定的優(yōu)越性，其中k=1，首先將4個數(shù)據(jù)集分別放在5%，10%，15%，20%，25%，30%數(shù)據(jù)缺失程度條件下進(jìn)行試驗；然后將程度多粒度粗糙集決策過程中限制容差類與集合重疊部分的定量信息考慮進(jìn)去，對于每個數(shù)據(jù)缺失程度下，求取每個決策類在量化容差關(guān)系下的程度樂觀多粒度粗糙集模型的近似精度，并計算出屬于同一個數(shù)據(jù)集的所有決策類近似精度的平均值，即稱平均值為數(shù)據(jù)集的平均近似精度；并且采用多個分類閾值的情形，即每個粒度的分類閾值w選取不同的值。最后對于4個數(shù)據(jù)集處于不同數(shù)據(jù)缺失程度下，隨著閾值的變化，4個數(shù)據(jù)集的平均近似精度發(fā)生不同程度的變化，結(jié)果如圖1～圖6所示。

圖1 4個數(shù)據(jù)集在5%的數(shù)據(jù)缺失條件下的結(jié)果分析

圖2 4個數(shù)據(jù)集在10%的數(shù)據(jù)缺失條件下的結(jié)果分析

圖3 4個數(shù)據(jù)集在15%的數(shù)據(jù)缺失條件下的結(jié)果分析

圖4 4個數(shù)據(jù)集在20%的數(shù)據(jù)缺失條件下的結(jié)果分析

圖5 4個數(shù)據(jù)集在25%的數(shù)據(jù)缺失條件下的結(jié)果分析

圖6 4個數(shù)據(jù)集在30%的數(shù)據(jù)缺失條件下的結(jié)果分析

由于本文所提出的模型為多粒度粗糙集模型，每個數(shù)據(jù)集的條件屬性需要構(gòu)造一組屬性子集，將數(shù)據(jù)集1和數(shù)據(jù)集2構(gòu)造了4個屬性子集，數(shù)據(jù)集3構(gòu)造了3個屬性子集，數(shù)據(jù)集4構(gòu)造了9個屬性子集。

從圖1～圖6可知，4個數(shù)據(jù)集在相同的數(shù)據(jù)缺失比下，不同的閾值對類精度具有很大影響。當(dāng)分類閾值較小時，分類精度比較小，這主要是由于較小的分類閾值對分類較為寬松，使得對象劃分較為粗糙，從而對應(yīng)的近似精度較低；反之，則使得對象劃分較為精細(xì)，從而對應(yīng)的近似精度較高。從圖1～圖6還可以看出，在同一個分類閾值下，隨著4個數(shù)據(jù)集缺失的百分比逐漸增大，4個數(shù)據(jù)集的平均近似精度總體來說在逐漸增大，這是由于數(shù)據(jù)缺失的較多，使得對象之間的相似程度降低，每個對象的量化容差類也減小，因此近似精度也會增加。實驗結(jié)果表明基于量化容差關(guān)系的程度多粒度粗糙集模型具有較好的分類效果。

4 結(jié)束語

本文從程度多粒度的角度出發(fā)，基于量化容差的關(guān)系提出程度樂觀、程度悲觀多粒度粗糙集模型，并通過在不同粒度下定義的分類閾值w的不同取值來得到苛刻程度不同的對象分類，使得本文提出的模型具有一定的穩(wěn)定性和靈活性。實驗分析可以看出，所提出的模型具有一定的優(yōu)越性。接下來，將對基于量化容差關(guān)系的程度多粒度粗糙集的屬性約簡和規(guī)則提取問題進(jìn)行研究。