(1.北京交通大學(xué) 機械與電子控制工程學(xué)院，北京 100044； 2.北京宇航系統(tǒng)工程研究所，北京 100076；3.中國北方工業(yè)有限公司，北京 100053)

高速列車測速大多采用多普勒測速方式，其安裝在列車底部避免了傳統(tǒng)接觸式列車測速方式由于列車運行時速過高帶來的軸承磨損、空轉(zhuǎn)等誤差[1-2]。在列車測速過程中由于運行環(huán)境復(fù)雜，如路面變化、周邊列車影響，多普勒測速反射回波是由多個回波信號疊加而成的。一般將回波信號看作平穩(wěn)隨機信號，通過譜估計法對多普勒信號進行頻域信號分析。譜估計分為經(jīng)典譜估計與現(xiàn)代譜估計兩種，以AR參數(shù)模型法為代表的現(xiàn)代譜估計對觀測數(shù)據(jù)進行外推，預(yù)測求出觀測數(shù)據(jù)以外的其他數(shù)據(jù)，極大增大了頻譜的分辨率。在實際列車測速中，需要根據(jù)信號的有限采樣點來估計AR模型參數(shù)。常用方法有Yule-Walker法、協(xié)方差法、Burg算法和改進協(xié)方差法[3-4]。其中改進協(xié)方差法為Burg算法的進一步發(fā)展。針對Burg算法的誤差來源，分析了基于窗函數(shù)的優(yōu)化算法，并針對改進的協(xié)方差法實現(xiàn)了基于預(yù)測誤差功率最小意義的優(yōu)化算法。仿真實驗證明，優(yōu)化算法對多普勒信號功率譜估計能力均有很大改善。

1 Burg原理及誤差分析

1.1 Burg原理

Burg 算法基于線性預(yù)測器的前、后向預(yù)測的總均方誤差之和最小的準則直接從觀測數(shù)據(jù)來估計反射系數(shù)，然后通過Lenvinson-Durbin算法的遞推公式求出AR 模型參數(shù)[5]。這種算法對未知數(shù)據(jù)不需要做任何假設(shè)，估計精度較高。方法如下，前、后向預(yù)測誤差平均功率為

(1)

(2)

式中，km為反射系數(shù)即模型k階模型的第k個系數(shù)；m為模型階數(shù)，m=1,2，…，p。然后利用L-D遞推公式遞推出模型參數(shù):

(3)

式中，k=1,2，…，m-1。

am(m)=km

(4)

(5)

1.2 誤差分析

在Burg算法推導(dǎo)原理中可以看出。在L-D遞推公式中，高階系數(shù)由一階系數(shù)遞推。因此一階參數(shù)估計誤差對高階參數(shù)有一定影響。為分析一階參數(shù)影響，給定信號x(n)=sin(ωn+θ)，初相位為θ，歸一化頻率為ω。由Yule-Walker方程[6]可得一階模型參數(shù)a1(1)的真實值為a1(1)=-cosω。將信號公式代入反射系數(shù)km公式(式(2))中，求得a1(1)估計值為

(6)

式中，第二項為一階模型參數(shù)估計誤差，可以算出當初相位θ為π/4的奇數(shù)倍；信號長度N為1/4周期的奇數(shù)倍時誤差最大[7]。

2 兩種Burg優(yōu)化算法

2.1 基于窗函數(shù)的優(yōu)化算法

由式(3)～式(5)可知，模型參數(shù)直接由反射系數(shù)求出。為減小誤差可直接對反射系數(shù)km進行修正。引人補償系數(shù)ωn(m)，其相當于對信號進行加窗處理，進一步提高其方差能力，從而降低頻譜偏移程度、改善頻譜分辨率。Kaveh M等人基于平均頻率誤差方差最小原則得出最優(yōu)窗函數(shù)為[8]

(7)

(8)

2.2 基于預(yù)測誤差功率最小意義的優(yōu)化算法

由誤差分析可知，高階參數(shù)由低階參數(shù)遞推得到。低階參數(shù)誤差對高階參數(shù)推導(dǎo)有一定影響，導(dǎo)致譜估計質(zhì)量下降。針對改進的協(xié)方差法原理中?ρm/?a(m,i)=0對原算法做如下改進[10-11]：在預(yù)測誤差功率最小的意義下直接求解高階模型系數(shù)，為保證不增加過多計算量，可先求二階預(yù)測誤差功率。由先計算一階模型參數(shù)a1(1)，改為先計算二階參數(shù)a2(1)、a2(2)。如式(9)所示，先求二階誤差平均功率:

(9)

接下來計算二階模型系數(shù)a2(1)、a2(2)。

(10)

式中，各參數(shù)如下：

(11)

(12)

由式(12)可以看出，改進算法通過二階參數(shù)的推導(dǎo)間接修正了一階參數(shù)估計誤差，避免了誤差項的影響，因此譜估計精度有了極大提高。

3 仿真分析與實驗驗證

3.1 算法性能對比

輸入仿真信號為

x(t)=sin(2π·50·t+π/4)+0.5randn(size(n))

(13)

給定信號頻率為50 Hz，初相位為π/4，采樣點數(shù)N為55，其相當于1/4信號周期的11倍。由1.2節(jié)誤差分析可知，此時的數(shù)據(jù)長度和初相位為最不利情況。信號混有均值為0，方差為1的隨機噪聲干擾。

取采樣頻率為1 kHz，模型階數(shù)m=7。對原Burg算法及兩種優(yōu)化算法進行功率譜估計對比，結(jié)果如圖1所示。從圖1中可以看出，原算法頻譜分辨率最差與給定信號可達到5.66 Hz偏差，兩種優(yōu)化算法的頻譜分辨率均有一定改善，可有效抑制頻譜偏移。其中基于預(yù)測誤差功率最小意義的Burg優(yōu)化算法2的譜估計能力最好，與原信號只有0.29 Hz的頻率偏差。

圖1 不同算法的譜估計性能對比

3.2 算法復(fù)雜度分析

對原算法及兩種優(yōu)化算法進行復(fù)雜度分析，當模型階數(shù)m=7時，結(jié)果如表1所示。

表1 算法復(fù)雜度分析表

從表1中可以看出，優(yōu)化算法1中運算次數(shù)較多，而優(yōu)化算法2只增加了2m-13次乘法，m-6次加法，對算法復(fù)雜度影響不大。3種算法運行時間大致相同，說明優(yōu)化算法在不增加運行時間的前提下提高了頻譜的估計能力，對原算法起到了明顯優(yōu)化作用。

3.3 模型參數(shù)對算法性能影響

給定信號：

x(t)=5sin(2π·300·t)+3sin(2π·305·t)+0.5randn(size(n))

(14)

信號包含300 Hz和305 Hz頻率分量。為滿足采樣定理，取采樣頻率為1000 Hz。首先固定FFT點數(shù)為1024，給定不同采樣點數(shù)N。

由圖2中看出，隨著采樣點數(shù)N的增加，頻譜分辨率越來越好。但由于采樣點數(shù)增加會造成計算量的增大，不能滿足列車測速的實時性要求。綜合考慮頻譜計算精度與實時性要求，取采樣點數(shù)N為1024點。FFT計算點數(shù)參數(shù)選擇過程同理，取FFT點數(shù)為1024點。

圖2 不同采樣點數(shù)N對算法性能影響

3.4 列車測速范圍內(nèi)算法的譜估計驗證

列車速度與多普勒頻率的計算公式為[8]

(15)

式中，v為列車速度(km/h)；fd為多普勒頻率；f0為雷達發(fā)射波頻率，為24.125 GHz；σ為雷達發(fā)射波方向與地面的夾角，假設(shè)為0°；c為光速3×108m/s。

由于高速列車被測速度范圍為0.2～600 km/h，由式(15)可知，多普勒頻率fd的范圍在8 Hz～27 kHz之間。

為驗證優(yōu)化算法在列車測速過程中的適用性能，分別給定待測量頻率范圍內(nèi)不同頻段信號頻率組，三組分別為51 Hz、306 Hz、2006 Hz；4050 Hz、9000 Hz、14 kHz；22.2 kHz、24.9 kHz、26.3 kHz。綜合考慮頻率分辨率與系統(tǒng)實時性處理要求，對第一組頻率分量采用8 kHz采樣頻率，后兩組采用80 kHz采樣頻率。使用Matlab對算法譜估計能力進行仿真，結(jié)果如圖3所示，圖中可以看出優(yōu)化算法在各個頻段內(nèi)適應(yīng)性良好，可準確估計出各個頻段的信號頻率。

圖3 測速范圍內(nèi)不同頻段Burg算法譜估計

3.5 基于實測數(shù)據(jù)的的譜估計驗證

為進一步驗證算法實用性，實物如圖4所示，通過信號發(fā)生器給定上述三組頻率，通過DSP進行信號處理測試算法譜估計能力。測試結(jié)果如表2所示，表中可以看出，算法可以準確識別各個頻段頻率且誤差小于1%。

圖4 DSP信號處理實物圖

理論頻率/Hz實測頻率/Hz理論速度/km·h-1實測速度/km·h-1頻率誤差/%5150.78 1.14 1.13 0.43 306308.59 6.90 6.84 0.85 20062007.81 44.91 44.87 0.09 40504062.50 90.86 90.58 0.31 90008984.38 200.95 201.30 0.17 1400013984.38 312.78 313.13 0.112220022187.50 496.25 496.53 0.062490024921.88 557.41 556.92 0.092630026328.13 588.86 588.24 0.11

4 結(jié)束語

針對多普勒信號處理的Burg算法進行了研究，分析其推導(dǎo)原理及產(chǎn)生誤差原因。對于模型低階參數(shù)估計誤差來源進行了兩種修正優(yōu)化算法分析。一種是基于窗函數(shù)的優(yōu)化，另一種基于預(yù)測誤差功率最小意義的優(yōu)化。通過Matlab仿真分析對比了原算法與兩優(yōu)化算法的功率譜估計能力，選擇出模型最優(yōu)參數(shù),并對列車測速范圍內(nèi)進行了優(yōu)化算法的譜估計驗證。實驗結(jié)果表明，兩種優(yōu)化算法在不增加運行時間的基礎(chǔ)上對頻譜估計性能均有極大改善，可以識別出列車測速范圍內(nèi)各個頻段頻率，譜估計頻率誤差小于1%。