王恩澤

(山東省淄博第一中學 255200)

在高中物理的學習過程中，我們碰到的題目往往是恒定條件問題，恒定條件問題占據(jù)了高中問題的絕大部分，即使部分題目出現(xiàn)變化條件往往也是多個恒定條件問題的組合.真正全程變化條件的題目較為少見，一旦出現(xiàn)也勢必作為壓軸題目困擾了很多同學.從高中物理解題條件的角度，高中物理問題可以被分為兩個層次，恒定條件問題和變化條件問題.高中物理知識的設(shè)置是由力到能量，再由能量到動量.很多同學可以熟練掌握力學知識，但是涉及能量的問題就會感到棘手，如果涉及動量問題則會使大部分同學不知所措.從知識難度角度可以將高中物理問題分為三個層次，力學問題、能量問題和動量問題.如果一個題目中既涉及最難的動量知識又涉及很少見的變化條件，那么這類題目往往是整套試卷的壓軸題目.本文將介紹微積分思想求解變化條件問題的方法并將其運用到動量題目中去，解決一些特定的壓軸題目.

一、高中物理中的微積分思想

在研究一個運動過程時，有些條件時刻在變化，為了方便計算，我們可以將整個過程細分形成很多個相互聯(lián)系的部分，類似于編程中的遞歸算法，將過程簡化進行計算.這種處理問題的思想就是微積分思想.微積分思想在中國古代著作就有所體現(xiàn)，例如在莊周的著作《莊子·天下篇》中提到的“一尺之錘,日取其半,萬事不竭”.到了十七世紀，牛頓和萊布尼茨分別獨立地發(fā)明了微積分，之后作為數(shù)學工具被廣泛的學習和使用.微積分思想不只是數(shù)學知識，并不僅僅存在于數(shù)學課本中，在物理課本中也有體現(xiàn).在人教版教材必修一第二章《勻變速直線運動的研究》中的第三節(jié)《勻變速直線運動的位移與時間的關(guān)系》中，我們利用圖象法求解勻變速直線運動的位移過程中就利用了微積分思想.我們首先接觸的是勻速直線運動v-t圖象，課本中寫出了位移公式，然后畫出v-t圖象寫出矩形面積也是vt，發(fā)現(xiàn)位移大小和面積大小相等，由此得出結(jié)論“對于勻速直線運動，物體的位移對應著v-t圖象下面的面積”.接下來在勻變速直線運動討論中，畫出勻變速直線運動的圖象，發(fā)現(xiàn)勻速直線運動的圖象與橫軸圍成的面積是梯形，不同于勻速直線運動圖象中的矩形.課本中將大面積細分成小份，每一小份是一個小梯形，和矩形仍有差距.但是當份數(shù)足夠多，小梯形和小矩形近似相等.這個近似相等是有充分理由的.當每一小份的時間足夠小的時候，可以將每一小份的時間看成趨于零，這一份中速度變化量趨于零，勻變速直線運動也就可以看成勻速直線運動.從而小梯形近似看成小矩形.再結(jié)合初始我們從勻速運動圖象中得到的經(jīng)驗，我們可以用勻變速直線運動中一小份的面積大小來計算這一小段時間內(nèi)的位移大小.

另外，面積具有可加性，位移也具有可加性.小面積相加得到圖象的總面積，小位移相加得到整個過程的總位移.小面積相加結(jié)果將對應小位移相加結(jié)果，由此就可以通過總面積算出整個過程的總位移.

以上求解勻變速直線運動位移的過程充分體現(xiàn)了物理學對微積分思想的運用，特別是用其處理變化條件問題.簡要概括其核心步驟，首先將整個過程拆分，取極限情況，在每一個小份中將問題視為恒定條件.在這種極限恒定條件下，可以運用平時的解題經(jīng)驗算出這種極限情況下的結(jié)果.這種將整體拆分的過程，本質(zhì)就是微分過程.之后，將所有小份內(nèi)的結(jié)果累加，得到宏觀整體結(jié)果.這種將小份累加的過程，本質(zhì)就是積分過程.整個解題過程就是微積分過程.

二、變化條件動量定理問題

1.求電量

例1直流電動機是一種使用直流電流的動力裝置，是根據(jù)通電線圈在磁場中受到安培力的原理制成的.如圖1所示是一臺最簡單的直流電動機模型示意圖，固定部分(定子)裝了一對磁極，旋轉(zhuǎn)部分(轉(zhuǎn)子)裝設(shè)圓柱形鐵芯，將abcd矩形導線框固定在轉(zhuǎn)子鐵芯上，能與轉(zhuǎn)子一起繞軸OO′轉(zhuǎn)動.線框與鐵芯是絕緣的，線框通過換向器與直流電源連接.定子與轉(zhuǎn)子之間的空隙很小，可認為磁場沿徑向分布，線框無論轉(zhuǎn)到什么位置，它的平面都跟磁感線平行，如圖2所示(側(cè)面圖).已知ab、cd桿的質(zhì)量均為M、長度均為L，其它部分質(zhì)量不計，線框總電阻為R.電源電動勢為E，內(nèi)阻不計.當閉合開關(guān)S，線框由靜止開始在磁場中轉(zhuǎn)動，線框所處位置的磁感應強度大小均為B.忽略一切阻力與摩擦.

求：閉合開關(guān)后，線框由靜止開始到轉(zhuǎn)動速度達到穩(wěn)定的過程中，電動機產(chǎn)生的內(nèi)能Q內(nèi).

解線框從靜止到穩(wěn)定轉(zhuǎn)動的過程中，其速度一直在變化，不能利用恒定電流公式求解內(nèi)能.對于這類變化條件問題，從能量守恒的角度可以寫出一個式子，設(shè)在這個過程中通過桿橫截面的電量為Q，穩(wěn)定時兩桿的速度為vm′，

其中EQ是電源提供的全部能量，它來源于電動勢的定義.

開關(guān)閉合后，電源提供能量使線框中產(chǎn)生電流，線框受到安培力作用開始加速旋轉(zhuǎn)，旋轉(zhuǎn)的線框切割磁感線又產(chǎn)生感應電動勢，感應電動勢與電源電動勢方向相反，當二者相等時，線框中沒有電流不再受安培力，轉(zhuǎn)速達到最大并穩(wěn)定下來.穩(wěn)定時，電源電動勢等于感應電動勢，

E= 2BLvm′

將這個式子與前面式子聯(lián)立，可以看出如果能夠求解這一過程中傳輸?shù)碾姾闪縌，就可以算出內(nèi)能.但是，由于線圈中電流一直在變化，不能用恒定電流求解電量的方法直接求解.對于這類變化條件問題，根據(jù)微積分思想，首先將全過程分成很多份小時段，在很短的時間Δt內(nèi)可認為電流不變.但是，電流的大小并不容易求出，需要借助其他條件來引入電流這個物理量.而在線圈轉(zhuǎn)動這個過程中，能夠和電流聯(lián)系起來的物理量即安培力BIL，在安培力的作用下，線框的動量發(fā)生變化，根據(jù)動量定理，以ab為研究對象得到

BILΔt=ΔMv

其中BLIΔt=BLΔq，由此得到了一小份時間段內(nèi)傳輸?shù)碾娏?根據(jù)微積分思想解題方法，最后宏觀結(jié)果源于所有微觀極限的累加，對整個過程求和，得到

BLQ=Mvm′

與能量守恒式子聯(lián)立求得

2.求位移

例2在粒子物理學的研究中，經(jīng)常用電場和磁場來控制或者改變粒子的運動.若兩平行金屬板水平放置，電場強度E與磁感應強度B相互垂直，在上極板中間開一小孔，如圖3所示.將粒子源產(chǎn)生的離子束中速度為0的離子，從上極板小孔處釋放，離子恰好能到達下極板.已知離子質(zhì)量為m，電荷量為+e.不計離子重力以及離子間的相互作用力.求離子到達下極板時的速度大小v，以及兩極板間的距離d.

解離子恰好到達下極板說明離子到達下極板時的速度方向為水平方向.根據(jù)動能定理可以求得到達下極板的速度v，

這個式子中具有d和v兩個未知量，還缺少一個方程來求解.

能量式子已經(jīng)使用，接下來應該著眼于動量式子或運動學式子.從動量的角度，離子初始在水平方向速度為零，但是在后期具有水平方向速度，這是水平方向的洛倫茲力分量造成的，豎直方向的洛倫茲力和電場力均不能改變水平方向的速度.由于在運動過程中速度的大小和方向一直在變化，對于這類變化條件問題應該選取某一個極小時間段并將這段時間內(nèi)的物理量視為恒量來討論.設(shè)某時刻離子豎直方向速度為vy，水平方向的洛倫茲力分量為evyB.在很短時間內(nèi)，在水平方向受到的沖量為evyBΔt，這一時段動量定理可以寫成

evyBΔt=Δmv

而與此同時，離子在豎直方向通過的距離為

Δd=vyΔt

按照微積分思想，在得到了極限小份內(nèi)的結(jié)果后，整體的宏觀結(jié)果可以通過將小份結(jié)果相加得到.下面對整個運動過程求和.在水平方向上，

∑evyBΔt=mv

在豎直方向，

∑vyΔt=d

將∑vyΔt代入水平方向方程中得到

eBd=mv

又得到一個d和v的方程，和能量式子聯(lián)立即可求得結(jié)果，得

變化條件動量定理問題這個高中物理最難的問題，可以借助微積分思想先將其轉(zhuǎn)變?yōu)楹愣l件問題處理來降低難度，然后再結(jié)合洛倫茲力和安培力的各種形式，引入電流或速度物理量，再借助電流或速度與時間結(jié)合形成電量或位移，求出小份時間內(nèi)的結(jié)果，最后利用微積分思想中的整合思想，得到整個過程的電量或位移.這類題目看似復雜，但是一旦掌握了微積分思想后，解題思路固定，反倒是比較容易得分的題目.能否得分的核心即在微積分思想的運用.