潘敬貞 杜龍安

[摘 ?要] 兩曲線相交是兩曲線的重要位置關系之一，高考題中常考查兩曲線的交點坐標或相交弦的長度等有關問題.已知兩曲線的極坐標方程，求兩曲線交點坐標是近年來高考的高頻考點之一，解決此類問題的一般解法是先將兩曲線的極坐標方程化為直角坐標方程后再求解出交點坐標，但求過程相對較為繁雜. 當然，也可以直接在極坐標系下先求出兩曲線交點的極坐標再化為直角坐標，但有時未能有效檢驗而出現(xiàn)失根現(xiàn)象. 文章針對已知兩曲線的極坐標方程求兩曲線交點坐標問題，結合兩道高考題的解答過程闡述極坐標系下解方程組求交點坐標何時需要檢驗，怎樣檢驗等問題.

[關鍵詞] 極坐標系下;兩曲線交點坐標;求解;分析

兩曲線相交是兩曲線的重要位置關系之一，高考題中常考查兩曲線的交點坐標或相交弦的長度等有關問題，在求解過程中經(jīng)常涉及不同曲線方程間的三個形態(tài)（極坐標方程、普通方程、參數(shù)方程）的互化，在不同坐標系下解方程組求交點坐標等. 已知兩曲線的極坐標方程，求兩曲線交點坐標是近年來高考的高頻考點之一，解決此類問題的一般解法是先將兩曲線的極坐標方程化為直角坐標方程后再求解出交點坐標，但求過程相對較為繁雜. 也可以直接在極坐標系下先求出兩曲線交點的極坐標再化為直角坐標，但有時未能有效檢驗而出現(xiàn)失根現(xiàn)象時有發(fā)生. 本文主要在極坐標系下，對兩曲線的交點坐標求解問題結合2道高考題的解答過程進行分析.

極坐標系下，由于極點坐標（ρ，θ）具有特殊性，即ρ=0，θ具有不確定性（θ∈R），而聯(lián)立方程組是尋求同時滿足兩個方程的未知數(shù)（ρ與θ）的值. 因此在極坐標系下根據(jù)兩曲線的極坐標方程直接聯(lián)立方程組，通過解方程組得到兩曲線交點坐標的過程中極易出現(xiàn)失根情況發(fā)生，失根的情形主要為當極點是兩曲線的一個交點時. 所以在極坐標系下，根據(jù)兩曲線的極坐標方程直接聯(lián)立方程組通過解方程組求出ρ與θ的值后，需要檢驗極點是否都在兩曲線上，即分別對兩個極坐標方程進行檢驗，當令ρ=0時看θ是否有解，若θ有解（θ不一定是0）則說明極點在該曲線上，否則說明極點不在該曲線上.

因此，當已知兩曲線的極坐標方程，求兩曲線交點坐標時，可直接聯(lián)立兩曲線的極坐標方程通過解方程組得到兩曲線交點坐標，當方程只有一個解時，只需檢驗極點是否為兩曲線的交點即可，此種解法方便、簡潔、有效.