王宏濤，蔣汶松

南京航空航天大學(xué) 機(jī)電學(xué)院，江蘇 南京 210016

隨著機(jī)械臂在工業(yè)領(lǐng)域內(nèi)的應(yīng)用越來越廣泛、發(fā)展越來越迅速，機(jī)械臂軌跡跟蹤的控制方法也層出不窮。機(jī)械臂軌跡跟蹤的控制方法主要有PID控制、計(jì)算力矩控制、反演控制以及變結(jié)構(gòu)控制等[1-4]。PID控制方法簡單且易于實(shí)現(xiàn)，為了使機(jī)械臂的關(guān)節(jié)軌跡可以快速地跟蹤上期望的關(guān)節(jié)軌跡，在使用PID控制器時(shí)通常會(huì)將控制器的P參數(shù)與D參數(shù)設(shè)置得比較大，實(shí)現(xiàn)快速的軌跡跟蹤；計(jì)算力矩控制屬于一種前饋控制方式，這種控制方式可以根據(jù)機(jī)械臂關(guān)節(jié)軌跡的變化實(shí)時(shí)調(diào)整作用給機(jī)械臂各關(guān)節(jié)的力矩；反演控制引入了微分阻尼項(xiàng)，可以大大提高控制系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)性能；變結(jié)構(gòu)控制方法會(huì)給系統(tǒng)帶來“抖振”，即當(dāng)系統(tǒng)跟蹤誤差控制在零點(diǎn)附近時(shí)，存在很強(qiáng)的抖動(dòng)現(xiàn)象，使系統(tǒng)不穩(wěn)定[5-6]。由于機(jī)械臂自身的物理參數(shù)會(huì)受到環(huán)境及負(fù)載變化的影響，且存在非線性的關(guān)系，因此很難建立機(jī)械臂的精確數(shù)學(xué)模型，而PID控制、計(jì)算力矩控制以及反演控制均依賴于機(jī)械臂的精確數(shù)學(xué)模型，對于數(shù)學(xué)模型無法精確得到的機(jī)械臂來說，PID控制、計(jì)算力矩控制以及反演控制均存在不同程度的精度問題，難以實(shí)現(xiàn)機(jī)械臂的高精度軌跡跟蹤控制。

對精確數(shù)學(xué)模型難以建立的系統(tǒng)，模糊控制的優(yōu)勢尤其明顯，模糊控制方法不依賴被控對象的精確數(shù)學(xué)模型，但往往由于控制規(guī)則有限，存在控制精度低的問題[7]。1995年，李洪興[8]提出了變論域模糊控制方法，所謂變論域模糊控制，就是在模糊控制的基礎(chǔ)上，通過設(shè)計(jì)合適的伸縮因子，以論域之變應(yīng)誤差之變，使得實(shí)際的控制規(guī)則大幅度增加，越接近期望控制點(diǎn)，控制器的檔級(jí)越小，因而獲得比較滿意的動(dòng)態(tài)性能指標(biāo)和穩(wěn)態(tài)性能指標(biāo)，控制精度與伸縮因子的設(shè)計(jì)有很大關(guān)系，設(shè)計(jì)合適的伸縮因子是變論域模糊控制器設(shè)計(jì)中的關(guān)鍵環(huán)節(jié)。萬敏[9]教授對輸入和輸出論域設(shè)計(jì)了統(tǒng)一的指數(shù)型伸縮因子，將變論域模糊控制方法用于兩關(guān)節(jié)機(jī)械臂的軌跡跟蹤控制。變論域模糊控制方法在車輛工程以及機(jī)械制造等領(lǐng)域也獲得了較多成功的應(yīng)用。借助于變論域模糊控制方法，Zhao 等[10]設(shè)計(jì)了作用于輸入論域的指數(shù)型伸縮因子，取得了平行二級(jí)倒立擺的控制成功。Pang等[11]用積分調(diào)節(jié)原理設(shè)計(jì)了作用于輸出論域的積分型伸縮因子，實(shí)現(xiàn)了車輛半主動(dòng)懸架控制。龍祖強(qiáng)[12]對輸入輸出論域設(shè)計(jì)了統(tǒng)一的指數(shù)型伸縮因子，實(shí)現(xiàn)了機(jī)床定位控制。

本文提出了一種新的混合型伸縮因子，設(shè)計(jì)了一種以三關(guān)節(jié)機(jī)械臂為被控對象的變論域模糊控制器，并將所設(shè)計(jì)的變論域模糊控制器應(yīng)用于三關(guān)節(jié)機(jī)械臂的軌跡跟蹤控制。運(yùn)用MATLAB軟件仿真實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證了所設(shè)計(jì)的混合型伸縮因子在機(jī)械臂軌跡跟蹤控制中的有效性，并與文獻(xiàn)[9]提出的基于指數(shù)型伸縮因子的變論域模糊控制器在機(jī)械臂軌跡跟蹤中的控制效果進(jìn)行了進(jìn)一步對比分析。

1 三關(guān)節(jié)機(jī)械臂動(dòng)力學(xué)分析

對于三關(guān)節(jié)機(jī)械臂，其動(dòng)力學(xué)可以采用牛頓-歐拉方程求出，忽略摩擦力和末端負(fù)載，三關(guān)節(jié)機(jī)械臂動(dòng)力學(xué)方程表示如下：

式中：q∈R3×1是機(jī)械臂關(guān)節(jié)角度向量；q˙ ∈R3×1是機(jī)械臂關(guān)節(jié)角速度向量；q¨ ∈R3×1是機(jī)械臂關(guān)節(jié)角加速度向量；M(q)∈R3×3是慣性對稱矩陣；B(q)∈R3×3是哥氏力系數(shù)矩陣；C(q)∈R3×3是離 心 力系 數(shù) 矩陣；是重力向量；B(q)、C(q)和G(q)中的元素 都是關(guān)于機(jī)械臂關(guān)節(jié)角度的函數(shù) ， τ ∈R3×1是 控制力矩向量；是關(guān)節(jié)速度積向量，即

[q˙2]∈R3×1是關(guān)節(jié)速度平方向量，即

2 變論域模糊控制方法設(shè)計(jì)

2.1 機(jī)械臂軌跡跟蹤的變論域模糊控制方案

機(jī)械臂軌跡跟蹤主要是通過控制器給機(jī)械臂關(guān)節(jié)施加驅(qū)動(dòng)為矩，使得機(jī)械臂關(guān)節(jié)的角位移跟蹤給定的期望關(guān)節(jié)角度，最終實(shí)現(xiàn)機(jī)械臂末端平穩(wěn)地完成用戶規(guī)定的作業(yè)流程。本文針對三關(guān)節(jié)機(jī)械臂的軌跡跟蹤控制問題，設(shè)計(jì)了三關(guān)節(jié)機(jī)械臂軌跡跟蹤的變論域模糊控制方案，其控制系統(tǒng)結(jié)構(gòu)如圖1所示。

圖1 三關(guān)節(jié)機(jī)械臂變論域模糊控制系統(tǒng)結(jié)構(gòu)

圖1中，qdn(n=1,2,3)是機(jī)械臂3個(gè)關(guān)節(jié)的期望關(guān)節(jié)角度；qn(n=1,2,3)是3個(gè)關(guān)節(jié)的實(shí)際關(guān)節(jié)角度；en(n=1,2,3)是3個(gè)關(guān)節(jié)的角度誤差，即期望關(guān)節(jié)角度與實(shí)際關(guān)節(jié)角度的差值；ecn(n=1,2,3)是3個(gè)關(guān)節(jié)的角度誤差變化率；常數(shù)Ken和Kecn(n=1,2,3)分別是誤差和誤差變化率的量化因子；en和ecn(n=1,2,3)分別是經(jīng)過量化因子作用后的無量綱的關(guān)節(jié)角度誤差和關(guān)節(jié)角度誤差變化率；常數(shù)Kun(n=1,2,3)稱為比例因子； τn(n=1,2,3)是控制器作用給機(jī)械臂3個(gè)關(guān)節(jié)的力矩。

2.2 變論域模糊控制器的設(shè)計(jì)

2.2.1 伸縮因子的設(shè)計(jì)

變論域模糊控制器的論域隨著誤差的變小而收縮，隨著誤差的增大而膨脹。局部上看，論域收縮相當(dāng)于增加規(guī)則，從插值的角度來說，規(guī)則越多，精度越高[13]。伸縮因子的選取作為變論域模糊控制器設(shè)計(jì)中的關(guān)鍵環(huán)節(jié)，不同類型、不同參數(shù)的伸縮因子所產(chǎn)生的效果大相徑庭。一般地，伸縮因子滿足避零性、單調(diào)性、協(xié)調(diào)性、正規(guī)性，本文提出的混合型伸縮因子滿足這些特性?？紤]到積分型伸縮因子會(huì)增大計(jì)算量，容易削弱實(shí)時(shí)性，同時(shí)考慮誤差和誤差變化率之間的相關(guān)性對精度的影響，本文將誤差變化率的伸縮因子取為誤差及其變化率的二元函數(shù)，動(dòng)態(tài)權(quán)值wk是一個(gè)以關(guān)節(jié)角度誤差為自變量且包含可調(diào)參數(shù)p的指數(shù)函數(shù)，通過動(dòng)態(tài)權(quán)值wk的作用，可以實(shí)時(shí)調(diào)節(jié)誤差和誤差變化率對誤差變化率伸縮因子的影響程度。由上述對伸縮因子的分析，將關(guān)節(jié)角度誤差的伸縮因子關(guān)節(jié)角度誤差變化率的伸縮因子以及輸出力矩的伸縮因子β(yk)分別設(shè)計(jì)為如下形式：

式中：k為時(shí)間序列；u、uc為輸入變量的初始論域；V為輸出變量的初始論域；動(dòng)態(tài)權(quán)值wk=參數(shù)p稱為帶寬；為充分小的正數(shù)。

2.2.2 輸入輸出變量的模糊化

對關(guān)節(jié)角度誤差、關(guān)節(jié)角度誤差變化率以及輸出力矩采用區(qū)間變換的方法使其歸屬到無量綱的標(biāo)準(zhǔn)論域，均為 [- 7,7]。關(guān)節(jié)角度誤差en和誤差變化率的模糊集取為{FD，F(xiàn)X，L，ZX，ZD}，即{負(fù)大，負(fù)中，零，正中，正大}；輸出控制量的模糊集取為{FD，F(xiàn)Z，F(xiàn)X，L，ZX，ZZ，ZD}，即{負(fù)大，負(fù)中，負(fù)小，零，正小，正中，正大}。輸入輸出語言變量的隸屬函數(shù)取三角形隸屬函數(shù)。

2.2.3 模糊規(guī)則的制定

根據(jù)機(jī)械臂軌跡跟蹤控制的經(jīng)驗(yàn)，當(dāng)關(guān)節(jié)角度誤差大或較大時(shí)，選擇控制量以盡快消除誤差為主；而當(dāng)關(guān)節(jié)角度誤差較小時(shí)，選擇控制量要注意防止超調(diào)，以系統(tǒng)穩(wěn)定性為主要出發(fā)點(diǎn)?？稍O(shè)計(jì)出如表1所示的具有25條控制規(guī)則的變論域模糊控制器規(guī)則表。

表1 變論域模糊控制器規(guī)則表

2.2.4 模糊推理與逆模糊化

模糊推理與逆模糊化過程多種多樣，比較典型的有重心法、中心平均法、取中位數(shù)法以及最大隸屬度法等[14]。在上述多種方法中，簡化計(jì)算量與保留更多有用信息是一對矛盾。本文采用將2個(gè)輸入變量屬于同一模糊子集的隸屬度相乘之后再進(jìn)行中心平均逆模糊的方法，設(shè)計(jì)出的模糊表達(dá)式如下所示：

式中：k為時(shí)間序列；為模 糊集 ；為對應(yīng)模糊集上的隸屬度函數(shù)；為輸出論域模糊子集的中心。

3 仿真與結(jié)果分析

本文在MATLAB里搭建出的三關(guān)節(jié)機(jī)械臂變論域模糊控制系統(tǒng)仿真框圖如圖2所示，將3個(gè)關(guān)節(jié)的控制器封裝為一個(gè)模塊?？刂频哪繕?biāo)是使機(jī)械臂的各關(guān)節(jié)角度輸出以盡可能高的精度快速地跟蹤事先給定的參考關(guān)節(jié)角度輸入。

圖2 三關(guān)節(jié)機(jī)械臂變論域模糊控制系統(tǒng)仿真框圖

運(yùn)用上述設(shè)計(jì)的三關(guān)節(jié)機(jī)械臂變論域模糊控制系統(tǒng)進(jìn)行軌跡跟蹤控制仿真,需要先獲得各關(guān)節(jié)期望角度。本文采用基于相平面的離線時(shí)間最優(yōu)軌跡規(guī)劃方法獲得期望關(guān)節(jié)角度[15]，選擇如式(1)所示的笛卡爾空間軌跡，取自身弧長s為參數(shù)，可以建立如式(2)所示的弧長參數(shù)方程。由此，利用機(jī)械臂運(yùn)動(dòng)學(xué)，可以建立變量s與機(jī)械臂關(guān)節(jié)坐標(biāo)的映射關(guān)系，再引入每個(gè)關(guān)節(jié)的力矩約束，運(yùn)用線性規(guī)劃的數(shù)學(xué)方法，以機(jī)械臂末端走完式(1)軌跡所花時(shí)間最短為優(yōu)化目標(biāo)，最終得出三關(guān)節(jié)機(jī)械臂各個(gè)關(guān)節(jié)的軌跡。

由于所獲得的3個(gè)關(guān)節(jié)的軌跡均是無法顯式表達(dá)的非線性函數(shù)，所以可根據(jù)得出的各個(gè)關(guān)節(jié)的軌跡獲取時(shí)間-關(guān)節(jié)角度序列，選取0.02 s的時(shí)間間隔進(jìn)行一次采樣，則每一個(gè)采樣時(shí)間對應(yīng)一個(gè)關(guān)節(jié)角度值。將采樣出的關(guān)節(jié)角度值作為機(jī)械臂變論域模糊控制的參考關(guān)節(jié)角度輸入，即期望關(guān)節(jié)角度，如圖3所示。

圖3 期望關(guān)節(jié)角度

量化因子Ke=Kec=2.2，比例因子Ku=10，混合型伸縮因子相關(guān)參數(shù)值分別取τ=0.98、δ=0.002、ρ=1，設(shè)置仿真步長t=0.02 s，仿真總時(shí)長T=0.4 s，機(jī)械臂各個(gè)關(guān)節(jié)均可獲取20個(gè)采樣時(shí)間-關(guān)節(jié)角度值序列。

為驗(yàn)證提出的混合型伸縮因子的變論域模糊控制器的控制效果，本文以文獻(xiàn)[9]中提出的指數(shù)型伸縮因子的變論域模糊控制器在三關(guān)節(jié)機(jī)械臂軌跡跟蹤中的控制效果作為對比，通過Simulink中的Scope模塊得到如圖4～6所示的3個(gè)關(guān)節(jié)角度輸出響應(yīng)曲線。圖4是關(guān)節(jié)1的使用指數(shù)型伸縮因子的變論域模糊控制器與本文提出的混合型伸縮因子的變論域模糊控制器分別跟蹤機(jī)械臂期望關(guān)節(jié)軌跡所得出的關(guān)節(jié)角度輸出對比圖。

圖4 關(guān)節(jié)1角度輸出對比響應(yīng)曲線

圖5 關(guān)節(jié)2角度輸出對比響應(yīng)曲線

圖6 關(guān)節(jié)3角度輸出對比響應(yīng)曲線

圖5、6分別為關(guān)節(jié)2的關(guān)節(jié)角度輸出對比圖和關(guān)節(jié)3的關(guān)節(jié)角度輸出對比圖。表2對應(yīng)圖4中關(guān)節(jié)1的前10個(gè)采樣點(diǎn)的關(guān)節(jié)角度值，表3對應(yīng)圖5中關(guān)節(jié)2的前10個(gè)采樣點(diǎn)的關(guān)節(jié)角度值，表4對應(yīng)圖6中關(guān)節(jié)3的前10個(gè)采樣點(diǎn)的關(guān)節(jié)角度值。

表2 關(guān)節(jié)1角度值

表3 關(guān)節(jié)2角度值

表4 關(guān)節(jié)3角度值

由圖4～6及表2～4中的數(shù)據(jù)可見，與基于指數(shù)型伸縮因子的變論域模糊控制器相比，本文設(shè)計(jì)的基于混合型伸縮因子的變論域模糊控制器能保證機(jī)械臂各關(guān)節(jié)角度輸出均無超調(diào)，具有更快的響應(yīng)速度。仿真結(jié)果表明本文所設(shè)計(jì)的基于混合型伸縮因子的變論域模糊控制器是行之有效的。

4 結(jié)論

變論域模糊控制方法是在模糊控制的基礎(chǔ)上，引入變論域思想，并通過對輸入輸出變量加入伸縮因子的方式來實(shí)現(xiàn)。

1）本文在MATLAB環(huán)境下，實(shí)現(xiàn)了一種基于混合型伸縮因子的變論域模糊控制算法，并且取得相應(yīng)的仿真曲線。

2）仿真結(jié)果表明，把這種變論域模糊控制方法應(yīng)用到三關(guān)節(jié)機(jī)械臂軌跡跟蹤控制中，選取混合型伸縮因子，相比于指數(shù)型伸縮因子，系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)響應(yīng)快、無超調(diào)、穩(wěn)態(tài)精度高，具有較好的控制效果，顯示了混合型伸縮因子在機(jī)械臂軌跡跟蹤控制中的有效性和優(yōu)越性，具有很強(qiáng)的工程實(shí)踐意義和參考價(jià)值。