張金波 施明華 李曉然

（皖西學(xué)院 金融與數(shù)學(xué)學(xué)院，安徽 六安 237012）

0 引言

當(dāng)前，我國(guó)正處在社會(huì)轉(zhuǎn)型和經(jīng)濟(jì)轉(zhuǎn)軌的階段，決策者所面臨的決策信息常帶有較大的不確定性，決策風(fēng)險(xiǎn)也隨之增大。如果能確定發(fā)生狀況的客觀概率或者主觀概率，則稱這樣的決策為風(fēng)險(xiǎn)決策。風(fēng)險(xiǎn)決策廣泛存在于經(jīng)濟(jì)、政治、貿(mào)易活動(dòng)中，并得到越來(lái)越多研究者關(guān)注。一方面，隨著我國(guó)經(jīng)濟(jì)社會(huì)的發(fā)展，決策者很難通過(guò)單個(gè)屬性對(duì)候選對(duì)象進(jìn)行合理評(píng)價(jià)，往往需要借助多個(gè)屬性指標(biāo)，這便形成了多屬性決策問(wèn)題[1-3]。例如Li MY等[4-7]討論了多屬性風(fēng)險(xiǎn)決策問(wèn)題，Zhou H等[8-10]考慮了灰色多屬性風(fēng)險(xiǎn)決策問(wèn)題,但很少有涉及灰色區(qū)間數(shù)的多屬性風(fēng)險(xiǎn)決策問(wèn)題的研究報(bào)道。Li Z等[11]將決策者的風(fēng)險(xiǎn)偏好劃分為三種不同的類型，然后建立相應(yīng)的區(qū)間灰數(shù)多屬性決策方法，并通過(guò)一個(gè)實(shí)際的投票實(shí)例說(shuō)明了該方法的實(shí)用性和有效性。劉光鳳等[12]定義了灰色隸屬度，解決了概率為區(qū)間數(shù)的灰色多屬性風(fēng)險(xiǎn)決策問(wèn)題。孫麗萍等[13]利用證據(jù)理論得到灰色信息置信矩陣，構(gòu)建風(fēng)險(xiǎn)評(píng)價(jià)模型，并用于度量原油艙的風(fēng)險(xiǎn)。徐選華等[14]基于后悔理論獲取決策信息為區(qū)間數(shù)的決策對(duì)象感知效用，在此基礎(chǔ)上，給出各個(gè)決策對(duì)象的風(fēng)險(xiǎn)熵，進(jìn)而給出一種應(yīng)急方案的排序。

另一方面，區(qū)間數(shù)的比較在決策過(guò)程中起著至關(guān)重要的作用，因?yàn)闆Q策問(wèn)題大都最終演變?yōu)閰^(qū)間數(shù)的比較與排序問(wèn)題。雖然區(qū)間排序的文章發(fā)表較多，但至今沒(méi)有出現(xiàn)一種被廣泛認(rèn)可的方法。大多數(shù)文獻(xiàn)采用均是徐澤水[15]所定義的區(qū)間數(shù)排序方法，Li Z等[11-14]也不例外。也有一些學(xué)者嘗試對(duì)該方法進(jìn)行改進(jìn)，例如Sevastianov等[16]依據(jù)區(qū)間坐標(biāo)值給出一種簡(jiǎn)潔易算的排序方式，但信息損失較大，排序不穩(wěn)定。張吉軍[17]提高了精度，但給出的計(jì)算公式復(fù)雜，不便實(shí)際應(yīng)用。因此本文嘗試提出一種新的灰色隨機(jī)變量排序方式，并應(yīng)用于灰色多屬性風(fēng)險(xiǎn)決策問(wèn)題。

1 灰色隨機(jī)變量及其排序

對(duì)于只知道其變化范圍,無(wú)法給出精確值的數(shù)稱之為灰數(shù)，灰數(shù)是灰色系統(tǒng)理論的基本“單元”或“細(xì)胞”，通常記為“?”[18]。

定義1[18]取值連續(xù)充滿某個(gè)區(qū)間，并且該區(qū)間具有上界和下界，則稱這樣的灰數(shù)為連續(xù)型區(qū)間灰數(shù)，記為?∈[a，b]。 假定?1∈[a，b]，?2∈[c，d]為2個(gè)連續(xù)型區(qū)間灰數(shù)，k為正常數(shù)，則有：

（1）?1±?2∈[a±c，b±d]；

（2）k?1∈[ka，kb]；

（3）-?1∈[-b，-a]。

定義2 若隨機(jī)變量的取值為有限個(gè)不同的連續(xù)型區(qū)間灰數(shù)?，則稱之為連續(xù)型灰色隨機(jī)變量，記為ξ（?）。其分布函數(shù)如表1所示：

表1 ξ（?）的分布函數(shù)

定義3[9]設(shè)?1∈[a，b]，?2∈[c，d]，且設(shè) l1=b-a，l2=d-c，則?1大于?2的可能度定義如下：

目前文獻(xiàn)中給出的區(qū)間優(yōu)勢(shì)判別方法，基本都是定義3及其等價(jià)形式。但這種可能度對(duì)區(qū)間數(shù)排序會(huì)導(dǎo)致有效信息的丟失。例如，情況1：?1∈[2，2.5]與?2∈[1，3]；情況 2：?3∈[2.1，2.5]與?4∈[1，3.1]，通過(guò)定義3 得出 p（?2≥?1）=p（?4≥?3）=0.4。事實(shí)上情況1中?2比?1的絕對(duì)優(yōu)勢(shì)范圍為[2.5，3]小于?3比?2的絕對(duì)優(yōu)勢(shì)范圍[2.5，3.1]，同時(shí)?2落在[2.5，3]的可能度0.5/3也小于?4落在[2.5，3.1]的可能度0.6/3.1。兩種情況對(duì)比縮小的是均衡優(yōu)勢(shì)區(qū)間，范圍從[2，2.5]變至[2.1，2.5]。因此不應(yīng)該出現(xiàn) p（?1≥?2）=p（?3≥?4）。 為對(duì)上述排序方式加以改進(jìn)，本文提出一種新的區(qū)間數(shù)排序方法。

定義4 設(shè)?1∈[a，b]，?2∈[c，d]，且設(shè) l1=ba，l2=d-c，則?2大于?1的可能度定義如下：

定理1 設(shè)?1∈[a，b]，?2∈[c，d]，∈[e，f]則

1-1 0≤p（?1≥?2）≤1；

1-2 p（?1≥?2）+p（?2＞?1）=1，特別的

p（?1≥?1）=1/2；

1-3 p（?1≥?2）=p（?1≤?2）；

1-4 如果 p（?1≥?2）≥1/2，p（?2≥?3）≥1/2，則 p（?1≥?3）≥1/2。

證明：根據(jù)定義4 顯然可得（1）、（2）、（3），下面證明（4）。由定義4 知 p（?1≥?3）=p（?1≥?2）·p（?2≥?3）+p（?2≥?1）p（?1≥?3）+p（?1≥?3）·p（?3≥?2），

移項(xiàng)得

由（1）、（2）可知

據(jù)此可得 p（?1≥?3）≥1/2。

定義5 ?1∈[a，b]，?2∈[c，d]，若 p（?1≥?2）≥1/2 則認(rèn)為存在序關(guān)系?1??2；若 p（?2≥?1）≥1/2 則認(rèn)為存在序關(guān)系?2??1；若 p（?2≥?1）=1/2則認(rèn)為存在序關(guān)系?2=?1。

由定理1可知，定義5給出的序是一種嚴(yán)格偏序。對(duì)于情況 1：?1∈[2，2.5]與?2∈[1，3]；情況2：?3∈[2.1，2.5]與?4∈[1，3.1]，通過(guò)定義5 得出p（?2≥?1）=0.375，p（?4≥?3）=0.4。可見定義5較好的保留了信息。在定義5的基礎(chǔ)上，我們結(jié)合期望理論，給出如下判斷連續(xù)型灰色隨機(jī)變量的方法。

定義6 ξ（?1）與 ξ（?2）為 2 個(gè)連續(xù)型灰色隨機(jī)變量，其分布函數(shù)如表2和表3所示，則ξ（?1）大于 ξ（?2）的可能度定義如下：

表2 ξ（?1）的分布函數(shù)

表3 ξ（?2）的分布函數(shù)

定理2 ξ（?1）、ξ（?2）、ξ（?3）為連續(xù)型灰色隨機(jī)變量，則

2-1 0≤p（ξ（?1）≥ξ（?2））≤1；

2-2 p（ξ（?1）≥ξ（?2））+p（ξ（?2）＞ξ（?1））=1，特別的 p（ξ（?1）≥ξ（?1））=1/2；

2-3 p（ξ（?1）≥ξ（?2））=p（ξ（?1）≤ξ（?1））；

2-4 如果 p（ξ（?1）≥ξ（?2））≥1/2，p（?2≤?3）≥1/2，則 p（?1≥?3）≥1/2。

證明：記 p（?1i≥?2j），i，j∈{1，2，…，n}最大值和最小值分別為M與m，由定理1（1）可知m≥0，M≤1，可得

因此定理2-1成立，下面證明定理2-2。

令 ξ（?2）=ξ（?1）帶入上式，顯然有 p（ξ（?1）≥ξ（?1））=1/2。 故定理2-2 得證。

利用定理1-3，顯然定理2-3成立。因此下面只需證明定理2-4即可。

因此

定義7 ξ（?1）與（ξ（?2）為 2 個(gè)連續(xù)型灰色隨機(jī)變量，若 p（ξ（?1）≥ξ（?2））≥1/2 則認(rèn)為存在序關(guān)系 ξ（?1）?ξ（?2）；若 p（ξ（?2）≥ξ（?1））≥1/2則認(rèn)為存在序關(guān)系 ξ（?2）?ξ（?1）；若 p（ξ（?1）≥ξ（?2））≥1/2 則認(rèn)為存在序關(guān)系 ξ（?1）=ξ（?2）。

2 灰色風(fēng)險(xiǎn)決策算法

對(duì)于一個(gè)灰色風(fēng)險(xiǎn)多指標(biāo)決策問(wèn)題，這里我們假定其概率是確定的，權(quán)重是未知的，并且對(duì)各方案沒(méi)有偏好。 設(shè)指標(biāo)集 G={g1，…，gk，…gn}，方案集 X={x1，…，xk，…xm}，指標(biāo) gk∈G 具有種狀態(tài)，并且在每種狀態(tài)下具有的概率為，指標(biāo)集的權(quán)重為{w1，…wk，…wn}。 方案xk，k∈{1，2，…，m}在指標(biāo) g1，l∈{1，2，…，n}下取值均為連續(xù)型區(qū)間數(shù)。則 X={x1，…xk，…xm}每個(gè)元素均為連續(xù)型灰色隨機(jī)變量。如表4所示。

表4 指標(biāo)gk的風(fēng)險(xiǎn)決策表

下面給出一種基于連續(xù)型灰色隨機(jī)變量排序準(zhǔn)則的風(fēng)險(xiǎn)決策方法，步驟如下：

步驟1：利用定義7構(gòu)造方案集X={x1，…xk，…xm}在指標(biāo) g1，l∈{1，2，…，n}下的判斷矩陣為，其中。

步驟2：構(gòu)造加權(quán)綜合矩陣B＝[bj]mxm，其中。由定理2可得該矩陣是互補(bǔ)判斷矩陣。計(jì)算B＝[bj]mxm的排序向量

步驟4：計(jì)算 ωi的滿意度指標(biāo)，建立優(yōu)化模型。假定求得最優(yōu)解為，帶入（1）式由 ωi大小對(duì)方案進(jìn)行排序。

3 實(shí)例分析

能源問(wèn)題一直困擾人類，越來(lái)越多的國(guó)家和地區(qū)致力于開發(fā)和利用新能源技術(shù)。目前，煤層氣、油砂、頁(yè)巖油、燃料乙醇和生物柴油在一些地方得到了有效的發(fā)展。Nea Kessani是希臘北部的一個(gè)農(nóng)村社區(qū)，該地區(qū)的經(jīng)濟(jì)衰退需要在清潔能源和先進(jìn)制造業(yè)中創(chuàng)造新的就業(yè)崗位，實(shí)現(xiàn)傳統(tǒng)農(nóng)業(yè)向現(xiàn)代工業(yè)的轉(zhuǎn)變。當(dāng)?shù)仄髽I(yè)計(jì)劃投資開發(fā)低焓地?zé)豳Y源，市場(chǎng)預(yù)測(cè)能源開采有四種可能狀況，分別為很好 s1、好 s2、一般 s3和差 s4，現(xiàn)設(shè)計(jì)四種方案，考慮三個(gè)指標(biāo)，分別為直接收益u1，間接收益u2和污染損失u3。各種指標(biāo)的風(fēng)險(xiǎn)決策表如表 5～7所示，求最優(yōu)方案[7]。

表5 直接收益決策表[7]

表6 間接收益決策表[7]

表7 污染損失決策表[7]

步驟1 首先將指標(biāo)一致化，利用定義7計(jì)算得出三個(gè)指標(biāo)的判斷矩陣如下：

步驟2 記u1，u2與u3的權(quán)重分別記為w1，w2與w3，則由公式（1）計(jì)算可得各方案的排序指標(biāo)

步驟3 參考熵權(quán)法和主觀權(quán)重法計(jì)算的權(quán)重值，給出權(quán)重指標(biāo)的取值范圍

由優(yōu)化模型 max ωi，s.t.w∈Ω，求得 ωi的最大理想值為：，求得最小理想值為：；

步驟4 求解優(yōu)化模型

解得 w1=0.65，w2=0.2 與 w3=0.15，帶入（1）得ω1=0.237177506，ω2=0.224259089，ω3=0.293750781，ω4=0.244811291。 因此，四種方案的排序?yàn)?c2＜c1＜c4＜c3，方案 3 是最佳方案。

若采用陳雯等[7]提出的決策方法求解，可得各方案的相對(duì)貼進(jìn)度 ωi（i=1，2，3，4）分別為

因而，四種方案的排序?yàn)?c2＜c1＜c4～c3，即認(rèn)為方案3和方案4都是最佳方案。明顯文獻(xiàn)[7]給出的優(yōu)選指標(biāo)區(qū)分度不高，這主要由于文獻(xiàn)[7]的決策模型采用排序方法為定義3，正如前文所述，這種排序可能會(huì)導(dǎo)致決策信息的丟失，從而影響決策結(jié)果的準(zhǔn)確性，而本文的基于期望理論構(gòu)建的排序方法則能可有效避免這一缺陷，構(gòu)建的排序方法因而更具科學(xué)性。

4 結(jié)論

為了更加準(zhǔn)確的刻畫區(qū)間數(shù)的大小，本文定義了一種具有嚴(yán)格偏序關(guān)系的相對(duì)優(yōu)勢(shì)度，比王浩倫等[9]研究中的方法更為精細(xì)。結(jié)合期望效用理論，將該方法用于刻畫連續(xù)型灰色隨機(jī)變量的可能度計(jì)算。在此基礎(chǔ)上提出了灰色風(fēng)險(xiǎn)多指標(biāo)決策方法，實(shí)例分析表明該方法是可行和有效的。此外本文提出的方法計(jì)算方便可操作性強(qiáng)，有助于解決供應(yīng)鏈管理，風(fēng)投項(xiàng)目選擇等問(wèn)題，具有一定的應(yīng)用價(jià)值。