常保峰

（河南省安陽市安陽縣第七中學(xué)，河南 安陽 455000）

在新課程改革下，數(shù)形結(jié)合思想已經(jīng)成為高中數(shù)學(xué)的重要思想之一。在高中數(shù)學(xué)教學(xué)過程中，教師應(yīng)該積極的滲透數(shù)形結(jié)合思想，讓學(xué)生既掌握解決數(shù)學(xué)題的方法，又能從數(shù)學(xué)思想的高度增強(qiáng)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的能力和樂趣，提高學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的積極性和主動性。

一、數(shù)形結(jié)合思想的內(nèi)涵

數(shù)形結(jié)合的思想是貫穿高中數(shù)學(xué)教學(xué)的重要思想之一，在解析大量的代數(shù)問題時可以利用數(shù)形結(jié)合思想將復(fù)雜抽象難以理解的代數(shù)問題用清晰明了的幾何圖形詮釋出來。數(shù)形結(jié)合的長期應(yīng)用，不但可以培養(yǎng)學(xué)生的抽象性思維，還可以提高學(xué)生幾何、代數(shù)問題的變換能力，數(shù)形結(jié)合解題實(shí)質(zhì)就是將直觀的幾何圖形與抽象的數(shù)學(xué)語言結(jié)合起來，也就是可以將代數(shù)問題和幾何問題相互轉(zhuǎn)化。

二、數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用方法

（一）數(shù)變形

數(shù)形結(jié)合的思維模式不是與時俱來的，而是經(jīng)過學(xué)者不斷的探索和研究出來的。數(shù)和形，形和數(shù)的相互轉(zhuǎn)化是相互對應(yīng)的，有的數(shù)看起來比較抽象難以確定，但是該數(shù)所對應(yīng)的“形”卻能直觀的顯示出具體的思維，從而解決問題，因此可以把“數(shù)”所對應(yīng)的“形”找出來，通過圖形解決問題。

（二）形變數(shù)

雖然圖形有著直觀、具體、清晰明了的特點(diǎn)，但是在定量計(jì)算的時候形不能代替數(shù)必須用代數(shù)的運(yùn)算方式，并且還應(yīng)該結(jié)合圖形的形狀和圖形走勢，找出關(guān)鍵的坐標(biāo)點(diǎn)，充分利用圖形的幾何性質(zhì)和意義。將“形”轉(zhuǎn)化為“數(shù)”后根據(jù)相應(yīng)的理論公式、條件等細(xì)心計(jì)算。

（三）數(shù)和形的相互轉(zhuǎn)化

數(shù)形相互轉(zhuǎn)化是指在解決數(shù)學(xué)問題時，既要由數(shù)轉(zhuǎn)為形，還要由形轉(zhuǎn)為數(shù)，以數(shù)形結(jié)合的思想尋求正確的解題方法，要想提高學(xué)生的數(shù)形結(jié)合解題能力，需要老師在解題過程中認(rèn)真詳細(xì)的給學(xué)生講解，并且引導(dǎo)學(xué)生學(xué)會運(yùn)用數(shù)形結(jié)合方法，并掌握數(shù)形結(jié)合的思想。

三、高中數(shù)學(xué)教學(xué)中數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用

（一）應(yīng)用“數(shù)形結(jié)合”思想解決函數(shù)問題

函數(shù)圖像是表示函數(shù)關(guān)系的一種形式，它是從“形”的方面來表示函數(shù)的變化規(guī)律。函數(shù)圖像直觀地顯示了函數(shù)的性質(zhì)，為數(shù)量關(guān)系的研究提高了有效的參考，它是解答函數(shù)問題的重要手段和工具。

例1:求函數(shù)y=x2-2x-3,xE(-1,2)的值域。

解析：所求函數(shù)為二次函數(shù)，由于函數(shù)具有非單調(diào)的特性，所以并不能代端點(diǎn)值去求值域，最好的解決方法就是借助圖像來觀察，如右圖：

通過圖像可以直觀的看出，具有區(qū)間范圍的該二次函數(shù)的圖像應(yīng)為黃色區(qū)域部分，此函數(shù)的最小值是在對稱軸處取得，即當(dāng)x=1時，y=-4。從而該函數(shù)的值域?yàn)椋?0,-4)。

此類問題是學(xué)生易錯類型之一，學(xué)生們習(xí)慣于直接將端點(diǎn)值帶入得出其值域，因此對于解決給定區(qū)間上的二次函數(shù)值域問題，最重要的就是培養(yǎng)學(xué)生數(shù)形結(jié)合的思想，掌握解題的技巧。

（二）應(yīng)用“數(shù)形結(jié)合”思想解決方程問題

方程是數(shù)學(xué)中最常見的形式，在解方程的過程中，我們可以利用數(shù)形結(jié)合的思想將問題簡化，或可以通過此方法來檢驗(yàn)答案的正確性。

例2：設(shè)方程|x2-1|=k+1，試討論k取不同范圍值時其不同解的個數(shù)的情況。

分析：我們把所求問題換個說法，也就是求函數(shù)y1=|x2-1|與y2=k+1圖像交點(diǎn)個數(shù)的情況，從圖像可以直觀看出:①當(dāng)k<-1時，y1與y2沒有交點(diǎn)，這時原方程無解；②當(dāng)k=-1時，y1與y2有兩個交點(diǎn),原方程有兩個不同的解；③當(dāng)-10時y1與y2有兩個交點(diǎn)，原方程不同解的個數(shù)有二個。

（三）應(yīng)用“數(shù)形結(jié)合”思想解決集合問題

集合的重要表示法之一就是圖示法，對一些比較抽象的集合問題，在解題時若用數(shù)軸、圖像或借助韋恩圖等數(shù)形結(jié)合的思想解題，往往可以使問題直觀化、簡單化，從而簡捷、直觀、靈活、準(zhǔn)確地解答集合問題。

例3：某班共有30人，其中15人喜愛籃球運(yùn)動，10人喜愛乒乓球運(yùn)動，8人對這兩項(xiàng)運(yùn)動都不喜愛，求喜愛籃球運(yùn)動但不喜愛乒乓球運(yùn)動的人數(shù)。

分析：先將文字語言轉(zhuǎn)化為集合語言，設(shè)U為全班學(xué)生組成的集合，A，B分別表示喜愛籃球運(yùn)動、乒乓球運(yùn)動的學(xué)生組成的集合，再利用Venn圖可直觀得出答案。

解答有關(guān)集合的實(shí)際應(yīng)用題時，首先需要將文字語言轉(zhuǎn)化為集合語言，然后借助Venn圖分析，結(jié)合集合的交、并、補(bǔ)運(yùn)算處理，體現(xiàn)Venn圖的簡明、直觀。

四、結(jié)論

高中數(shù)學(xué)作為高中課程的重要組成部分，在高考命運(yùn)的安排中起著決定性的作用。在高中數(shù)學(xué)解題過程中，數(shù)形結(jié)合思想作為一種重要的方法，是幾何問題和代數(shù)問題相互轉(zhuǎn)換和聯(lián)系的橋梁。教師在教學(xué)的過程中，應(yīng)該不斷的滲透和引導(dǎo)學(xué)生運(yùn)用數(shù)形結(jié)合思想，讓學(xué)生掌握數(shù)形結(jié)合的本質(zhì)，幫助學(xué)生在解題的過程中能夠靈活自覺的運(yùn)用數(shù)形結(jié)合思想，提高解題的速度和能力。