毛正燕

我國大數(shù)學(xué)家華羅庚先生曾說：“數(shù)無形時少直覺，形少數(shù)時難入微。數(shù)形結(jié)合百般好，隔離分家萬事非?！贝搜砸会樢娧攸c出了“數(shù)形結(jié)合”的重要性，也簡明而深刻地闡釋了“數(shù)”與“形”的內(nèi)在關(guān)系。作為高中數(shù)學(xué)中最基本的數(shù)學(xué)思想之一，數(shù)形結(jié)合在很多高考真題中有著重要應(yīng)用。本文擬先對高中階段數(shù)學(xué)結(jié)合思想作簡要概述，而后結(jié)合2018貴州省考卷（即2018全國卷3）中的典型題例探討數(shù)學(xué)結(jié)合思想的具體應(yīng)用，希望對相關(guān)教學(xué)工作者有所啟示。

一、 高中數(shù)學(xué)數(shù)形結(jié)合思想簡述

所謂數(shù)形結(jié)合，概括來說即為按照數(shù)與形之間的對應(yīng)關(guān)系，通過數(shù)與形的相互轉(zhuǎn)化來順利解決問題，其作用和優(yōu)勢主要是在于通過“以形助數(shù)，以數(shù)解形”簡化較為復(fù)雜的思維量和運(yùn)算量較大的問題，從而大大提高解題效率和正確率。通常來說，在高中數(shù)學(xué)解題中涉及數(shù)形結(jié)合的情形主要包括：包含實數(shù)與數(shù)軸上的點的對應(yīng)關(guān)系；包含函數(shù)與圖像的對應(yīng)關(guān)系；包含曲線與方程的對應(yīng)關(guān)系；以幾何元素和幾何條件為背景建立起來的概念如復(fù)數(shù)、三角函數(shù)等；所給的等式或代數(shù)式的結(jié)構(gòu)含有明顯意義。在日常教學(xué)中，教師要注重培養(yǎng)學(xué)生靈活應(yīng)用數(shù)形結(jié)合思想的能力，在解題過程中做到“胸中有圖，見數(shù)想圖”，最終順利而高效地得到正確答案。以下我們結(jié)合高考題例對此進(jìn)行較為具體的探討。

二、例談數(shù)形結(jié)合思想高考真題解題中的應(yīng)用

例1：函數(shù)f（x）=cos（3x+π/6）在[0，π]的零點個數(shù)為（ ）。

該題為2018理科全國卷3中的第15題，難度不大，但較具典型性，主要考察三角函數(shù)圖像性質(zhì)與函數(shù)零點問題的結(jié)合。在不同的解法中，除了數(shù)形結(jié)合思想外，也體現(xiàn)了方程思想、換元轉(zhuǎn)化思想、方程思想。我們先來看該題的三種基本解法：

解法一：取點作圖，畫出函數(shù)f（x）=cos（3x+π/6）的圖像然后觀察和分析[0，π]的零點個數(shù)，該解法突出體現(xiàn)數(shù)形結(jié)合思想，也是最容易想到的方法。根據(jù)下圖可以很容易得出[0，π]的零點個數(shù)為3個。

解法二：先換元，設(shè)3x+π/6=t，由x∈[0，π]得到t∈[π/6，3π+π/6]，然后通過y=cost的圖像易知，當(dāng)t=π/2，3π/2，5π/2時，cost=0，即f（x）有三個零點。該解法通過換元轉(zhuǎn)化的方式利用了基本三角函數(shù)y=cost的圖像，思路上有一定的技巧性，運(yùn)算量與解法一中的取點作圖相比大致相當(dāng)。

解法三：根據(jù)題意，可由cos（3x+π/6）=0得到3x+π/6=π/2+kπ（k∈Z）。故x=π/9+kπ/3（k∈Z），當(dāng)k=0時，x=π/9；當(dāng)k=1時，x=4π/9；當(dāng)k=2時，x=7π/9，均滿足題意，故函數(shù)f（x）在[0，π]上的有三個零點。該解法運(yùn)用了方程思想，直接求出函數(shù)在定義域內(nèi)的零點，而后在[0，π]上確定零點的個數(shù)。

縱觀上述三種解法，解法一和解法二均是以數(shù)形結(jié)合思想為基礎(chǔ)，解法三更側(cè)重于方程思想和數(shù)據(jù)運(yùn)算，但從根本上仍不脫數(shù)形結(jié)合之藩籬，這是題目本身的特征決定的。綜合來說，三種解法都屬于較有代表性的解法，在講解該題時，教師要注重剖析數(shù)形結(jié)合思想在解題中所起的關(guān)鍵性作用，并強(qiáng)調(diào)相關(guān)的易錯點，即取點作圖技能掌握不到位，不能正確畫出函數(shù)的圖像；對基本余弦函數(shù)的圖像及性質(zhì)掌握不熟悉。不知道如何確定其零點。

此外，要注意函數(shù)零點問題的總結(jié)。函數(shù)零點是溝通函數(shù)、方程、圖像的常見媒介，以其交匯點的問題往往需要合理地應(yīng)用數(shù)形結(jié)合思想才能順利解答，再有就是正余弦函數(shù)及y=Asin（ωx+ψ）+k的圖像及性質(zhì)，要求學(xué)生熟練掌握，這是在相關(guān)題目中運(yùn)用數(shù)形結(jié)合思想的基礎(chǔ)條件。

題例2：設(shè)函數(shù)f（x）=|2x+1|+|x-1|.

（1）畫出y=f（x）的圖像；

（2）當(dāng)x∈[0，+∞），f（x）≤ax+b，求a+b的最小值。

該題是選考題中的第二道題即23題，實際上難度較小屬于中檔題，該題第二問的解答是基于第一問中畫出的圖像，較為突出體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合思想的運(yùn)用。值得一提的是，第一問運(yùn)用了基本的分類討論思想（對定義域進(jìn)行分類討論），其設(shè)計實際上降低了該題的綜合難度，因為該問構(gòu)成解答第二問的基礎(chǔ)，相當(dāng)于一個明確的指引。這也啟示我們，在解答類似題目時，即使題目的設(shè)問沒有明確的指引，亦應(yīng)當(dāng)首先根據(jù)題意深入分析，若有需要即畫出函數(shù)的圖像，事實上，這也是運(yùn)用數(shù)形結(jié)合的必要和常用手段之一。該題的具體解答過程如下：

解答：（1）f（x）=|2x+1|+|x-1|可變形為：f（x）=-3x（x<-1/2）；x+2（-1/2≤x<1）；3x（x≥1）。其圖像如右圖所示。

（2）根據(jù)第一問可知，y=f（x）的圖像與y軸交點的縱坐標(biāo)為2，且各段圖像所在直線的斜率的最大值為3，故當(dāng)且僅當(dāng)a≥3且b≥2時，f（x）≤ax+b在[0，+∞）成立，因此a+b的最小值為5。

三、結(jié)語

本文首先簡要介紹了高中數(shù)學(xué)數(shù)形結(jié)合思想，而后結(jié)合高考典型題例探討了其具體應(yīng)用。鑒于數(shù)形結(jié)合思想在高中數(shù)學(xué)解題中的重要應(yīng)用，教師應(yīng)給予其足夠重視，并在日常教學(xué)中有意識地培養(yǎng)學(xué)生靈活運(yùn)用該思想解題的能力，在使學(xué)生切實掌握其內(nèi)涵和運(yùn)用方式的基礎(chǔ)上多引入一些較為典型的高考真題，使學(xué)生在有效的練習(xí)過程中獲得感悟，實現(xiàn)質(zhì)的升華。當(dāng)然，數(shù)形結(jié)合思想在高考真題解題教學(xué)中的研究與實踐是一個兼具深度和廣度的課題，需要一線教師在教學(xué)實踐中不斷積極探索和總結(jié)，本文拋磚引玉，尚盼方家指教。

注：本文為安順市教育科學(xué)規(guī)劃一般課題“農(nóng)村高中校本課程的開發(fā)與實踐研究——以安順市西秀區(qū)高級中學(xué)‘高中數(shù)形結(jié)合’為例”（課題編號：AS2017B017）成果。

（責(zé)編 孟 飛）