佘丹

在小學(xué)階段，關(guān)于除法和分?jǐn)?shù)的教學(xué)中，我們最常用的情境就是“平均分物”，

例如：（1）把12個(gè)竹筍平均放在4個(gè)盤子里，每盤放幾個(gè)？

列式為 12÷4=3（個(gè)）

（2）把12個(gè)竹筍分給一些人，每人分3個(gè)，可以分給幾個(gè)人？

列式為 12÷3=4（個(gè)）

這兩道題是不同意義的除法，在總數(shù)是12的前提下，問題1是知道平均放在4個(gè)盤子里，即知道分的份數(shù)，用除法計(jì)算出每份是多少，我們稱之為“等分除”;問題2則是知道每份是多少以后，求平均分到了幾個(gè)盤子里，即總數(shù)里包含了多少份，我們稱之為“包含除”。這兩種除法是同一個(gè)“平均分物”數(shù)學(xué)模型所產(chǎn)生的，地位平等。

而所謂除法，是乘法的逆運(yùn)算，是指“已知兩個(gè)因數(shù)的積和其中一個(gè)因數(shù)，求另一個(gè)因數(shù)的運(yùn)算?！蔽覀冊倩仡^看分竹筍的情境中，竹筍總數(shù)=份額×盤數(shù)。參與平均分的盤數(shù)和每盤的數(shù)量，是構(gòu)成竹筍總數(shù)這一乘積的兩個(gè)平等因數(shù)。這樣一來，從除法意義上來講，等分除和包含除，是同一個(gè)情境里的兩類互相依存的除法問題，或者說他們是一對(duì)雙胞胎，關(guān)系密不可分。

又例如四年級(jí)數(shù)學(xué)教材中所學(xué)的的這個(gè)數(shù)量關(guān)系式：

總價(jià)=單價(jià)×數(shù)量

這兩個(gè)基本關(guān)系都涉及到兩個(gè)平等的因數(shù)相乘，兩個(gè)基本關(guān)系式的變化形式有

單價(jià)=總價(jià)÷數(shù)量

數(shù)量=總價(jià)÷單價(jià)

這兩個(gè)變式就是等分除和包含除，可以看出兩類除法在解決問題中的應(yīng)用也是均衡的。

首先，等分除和包含除在數(shù)學(xué)教材和教學(xué)中的地位是平等的。

以下是等分除和包含除在人教版教材中的編排，我將教材中的例題進(jìn)行了歸類，總結(jié)起來，7道例題9個(gè)問題中有4個(gè)等分除和5個(gè)包含除。

基本上兩種除法在除法的運(yùn)用中，地位是平等的。我認(rèn)為我們現(xiàn)在使用的這套人教版教材對(duì)于兩類除法的處理就很好，如二年級(jí)下冊教材23頁中的例題，將兩種除法編排在同一頁，進(jìn)行對(duì)比區(qū)分，并發(fā)現(xiàn)他們之間的聯(lián)系，這樣處理就很好地幫學(xué)生理解兩者。

當(dāng)然，我們課堂上問學(xué)生：“什么時(shí)候要用除法？”時(shí)，學(xué)生多半會(huì)回答把一些蘋果平均分給幾個(gè)小朋友，一個(gè)小朋友分幾個(gè)？學(xué)生在初學(xué)除法時(shí)，先入為主地將平均分定義為除法。而我的學(xué)生出現(xiàn)這種現(xiàn)象的原因是，我沒有在課堂上著重的強(qiáng)調(diào)除法分為等分除和包含除，當(dāng)然，我在之后的課堂里，我還是做了很多補(bǔ)救，比如：在四年級(jí)上冊的《除數(shù)是兩位數(shù)的除法》教學(xué)中，像“有80面彩旗，每班分20面，可以分給幾個(gè)班？”中，我會(huì)有意識(shí)地引導(dǎo)學(xué)生，將應(yīng)用題轉(zhuǎn)化成文字題，80里面有幾個(gè)20，再到80里面包含了幾個(gè)20。效果還是不錯(cuò)的！

后來，我查閱了很多資料，仔細(xì)地研究了等分除和包含除的涵義和關(guān)系，還發(fā)現(xiàn)當(dāng)學(xué)生說出包含除的含義之后，可以引導(dǎo)學(xué)生的思維從列式計(jì)算轉(zhuǎn)向?qū)λ憷淼乃伎?，這一發(fā)現(xiàn)對(duì)于我今后的教學(xué)也是很有幫助。

第二，部分到整體的包含除關(guān)系，是理解分?jǐn)?shù)的一把鑰匙。

再看下面兩個(gè)問題，

（1）4支鉛筆平均分給12個(gè)小朋友，每人分得幾支鉛筆？

（2）一盒鉛筆12支，4支鉛筆是多少盒？

這兩題的列式都是4÷12，可同一個(gè)式子表示的意義卻不同，（1）題中，依據(jù)平均分的數(shù)學(xué)意義得出，每人分得1/3支，（2）題中，問4支鉛筆是多少盒，實(shí)際也就是問4支鉛筆包含了一盒鉛筆（12支）的多大一部分，從除法意義上來講，就是包含除，問4含有多少個(gè)12？

于是，同一個(gè)算式4÷12=1/3，它既可以從等分除的角度提問，也可以從包含除的角度提問。只是需要在教學(xué)中強(qiáng)化訓(xùn)練，為了使學(xué)生容易理解，也可以提一些學(xué)生容易理解的問題加以輔助。

綜上所述，整數(shù)除法中經(jīng)常問整體中包含了多少個(gè)部分，而提問部分中包含了多少個(gè)整體時(shí)，我們都會(huì)用分?jǐn)?shù)表示。實(shí)際上這種一個(gè)量占另一個(gè)量多大份額的問題，是分?jǐn)?shù)單元的核心問題，學(xué)生一旦掌握，受用匪淺。

第三，先用圖形分析，再用包含除解說，得出分?jǐn)?shù)除法的方法----顛倒相乘。

請(qǐng)看下面兩道題，

（1）4/5÷2

（2）4÷1/2

第（1）題中， 4/5÷2，我們可以理解成將4/5平均分成2份，一份是多少？這種很明顯是等分除，比較簡單。4個(gè)1/5平均分成2份，每份是2個(gè)1/5，即2/5。而第（2）題4÷1/2，我們不能說成將4平均分成1/2份，但可以問4里面包含了幾個(gè)1/2，然后通過畫圖一看，就知道1里面有2個(gè)1/2，則4里面有8個(gè)1/2。得，

4÷1/2=4×2=8，顛倒相乘法則很容易看出來。

再看我們?nèi)私贪娼滩牧昙?jí)上冊“分?jǐn)?shù)除法”單元中的31頁，先是用畫圖的方法進(jìn)行數(shù)量的分析，再用包含除的觀點(diǎn)進(jìn)行講解計(jì)算，而后得出顛倒相乘的方法。這樣既直接，學(xué)生又容易接受。而著名的美國數(shù)學(xué)家芒福德也主張用圖形的包含關(guān)系來獲得顛倒相乘的證明。在小學(xué)階段，通過一個(gè)實(shí)例，觀察一個(gè)圖形，再導(dǎo)出一個(gè)解釋，比那些生硬的形式化證明更好，學(xué)生也更容易接受。

學(xué)習(xí)了除法以后，到分?jǐn)?shù)，再到分?jǐn)?shù)的除法，以及后面的比與比例，我們一直都會(huì)用包含除來解決一些問題，由此可見，包含除在小學(xué)數(shù)學(xué)階段的教學(xué)中，尤為重要。但我們也不能因此而忽視等分除，他們是相輔相成的，二者缺一不可。