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        向量在立體幾何解題中的妙用

        2019-09-10 04:13:24謝紫霞
        高考·中 2019年5期
        關(guān)鍵詞:解題

        謝紫霞

        摘 要:向量是數(shù)學(xué)中一個非常重要的量,向量在不同的數(shù)學(xué)問題中有著不同的用法和作用,在解決幾何問題中展示出了特殊的妙用。向量在幾何中的應(yīng)用由點(diǎn)線面,再到立體幾何,其中有著多種存在的意義,了解向量在立體幾何中的用法及意義有助于將較為復(fù)雜的幾何問題轉(zhuǎn)化為簡單的問題,對于解決復(fù)雜的立體幾何有著重要的存在意義。本文就來探討向量在立體幾何中的妙用。

        關(guān)鍵詞:向量;立體幾何;解題;妙用

        引言:立體幾何是由點(diǎn)、線、面構(gòu)成的幾何形體,我們生活中隨處可見各種各樣的立體幾何。立體幾何同樣是數(shù)學(xué)學(xué)科中的重要知識,巧妙的解決立體幾何問題是靈活應(yīng)用數(shù)學(xué)知識的表現(xiàn)。通過立體幾何的構(gòu)成,我們認(rèn)識到立體幾何中存在著較多的向量。不管它是圓柱、棱柱,還是圓錐、棱錐,我們都可以通過尋找立體幾何中存在的向量關(guān)系,找到計(jì)算和證明立體幾何的方式。并且,通過尋找有效的向量關(guān)系,還能夠簡化問題的思路,將復(fù)雜的問題簡單化,從而巧妙靈活的解決數(shù)學(xué)問題。

        一、立體幾何中常見的向量類型

        (一)直線的方向向量

        與經(jīng)過已知點(diǎn)直線平行的直線的非零向量就叫做直線的方向向量,表示為=。

        (二)平面的法向量

        在同一空間,如果直線l垂直于平面a,直線l的方向向量為,向量交租平面a的法向量,表示為·=0[1]。

        二、利用向量解決立體幾何問題的優(yōu)點(diǎn)

        (一)解題思路清晰化

        立體幾何的難點(diǎn)在于沒有具體的數(shù)據(jù),因此最簡單的方法就是將立體幾何代數(shù)化。立體幾何代數(shù)化使點(diǎn)、線、面之間的關(guān)系清晰化,解題思路自然也就清晰化了。而向量關(guān)系就是解決立體幾何非代數(shù)化的關(guān)鍵,因此,向量也是使立體幾何解題思路清晰化的關(guān)鍵。

        (二)簡化運(yùn)算過程

        立體幾何中的很多關(guān)系往往需要較長的推理才能得出,借助向量法解決一些需要推理的立體幾何問題,可以直接通過向量為立體幾何建立關(guān)系,使得立體幾何的解題思路直觀明了,簡化了推理點(diǎn)、線、面關(guān)系的過程。因此,巧用向量解決立體和問題可以簡化運(yùn)算過程。

        (三)復(fù)雜問題簡單化

        不少立體幾何問題的證明看似復(fù)雜,實(shí)則存在著很多直線、平面以及角度之間的關(guān)系,此時借助輔助線可以為尋找立體幾何直線、平面以及角度之間的關(guān)系搭建橋梁,通過向量來順利的找到其中的關(guān)系,從而確立解題思路。簡而言之,向量的引入可以使較為抽象的立體幾何空間關(guān)系有了明確的坐標(biāo)、代數(shù)關(guān)系等,同時使立體幾何的空間關(guān)系具體化,使簡單的問題復(fù)雜化。

        三、立體幾何中常見向量妙用

        向量在立體幾何中的妙用主要是借助平行關(guān)系、垂直關(guān)系、夾角問題以及距離問題體現(xiàn),還經(jīng)常會借助輔助線、坐標(biāo)系、假設(shè)代數(shù)關(guān)系等完成,巧妙之處在與為看似復(fù)雜的幾何空間創(chuàng)建解決實(shí)際幾何問題需要的關(guān)系,并通過各種相關(guān)關(guān)系之間的聯(lián)系來相互轉(zhuǎn)化和推理。以下是常見的向量在幾何問題中的妙用。

        (一)平行關(guān)系

        如下圖1正方體所示,長房體的棱長為1,M和N分別為A1B1和BB1的中點(diǎn),求直線AM和CN所成角的余弦值。解題思路如下:

        先使兩條異面直線的平行線相交,確定目標(biāo)三角形,然后用余弦定理來計(jì)算三角形的夾角,從而求出異面直線所成的角的角度。在利用平行關(guān)系解此題是需要分別作出B1E、NF、FC3條輔助線,以直觀的觀察該正方體中的平行關(guān)系。

        (二)垂直關(guān)系

        如下圖2正方體所示,E點(diǎn)和F點(diǎn)分別是BB1和CD的中點(diǎn)。求證D1F⊥平面ADE。由于在該正方體問題中沒有明確的代數(shù)關(guān)系,因此首先應(yīng)該假設(shè)一個明確的代數(shù)關(guān)系,然后應(yīng)用向量正交基底解決該問題[2]。解題思路如下:

        設(shè)正方體棱長為1,以,,為單位正交基底,并以建立D為頂點(diǎn)建立坐標(biāo)系

        (1,0,0),=(1,1,),=(0,,-1)

        所以·=0,·=0

        所以,⊥

        又因?yàn)镈A與DE相交形成D點(diǎn)

        所以⊥平面ADF

        結(jié)語:綜上所述,立體幾何問題都可以通過尋找平行關(guān)系、垂直關(guān)系、夾角問題、距離問題等向量關(guān)系來實(shí)現(xiàn)。向量在立體幾何中的應(yīng)用可以使立體幾何相對簡單化,同時找到解決問題的對應(yīng)關(guān)系,是巧妙解決立體幾何的有效途徑。因此建議教師在教授立體幾何時重點(diǎn)引導(dǎo)學(xué)生探索向量關(guān)系,主動思考向量與立體幾何之間的關(guān)系,這有助于學(xué)生加深對于立體幾何的理解問題。

        參考文獻(xiàn)

        [1]王博文.向量在立體幾何解題中的妙用[J].中學(xué)課程資源,2012(09):55-57.

        [2]劉福亮.向量法在立體幾何解題中的妙用[J].數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)與研究,2015(13):83.

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