張定梅

摘要：建立了一維振子運(yùn)動(dòng)的牛頓運(yùn)動(dòng)學(xué)方程，利用MATLAB軟件數(shù)值研究了振子的動(dòng)力學(xué)特性.通過(guò)調(diào)節(jié)參數(shù)實(shí)現(xiàn)了簡(jiǎn)諧振動(dòng)、阻尼振動(dòng)、受迫振動(dòng)及復(fù)雜非線性振動(dòng).給出了各種振動(dòng)的運(yùn)動(dòng)時(shí)間序列，討論了參數(shù)對(duì)振子的振動(dòng)周期及振幅的影響，并使用功率譜和吸引子圖分析了振子產(chǎn)生的混沌的特性.與傳統(tǒng)的解析求解方法相比，數(shù)值求解方法更加快捷、直觀，避免了復(fù)雜的數(shù)學(xué)積分運(yùn)算，并且通過(guò)運(yùn)動(dòng)軌跡圖可快速掌握振子的運(yùn)動(dòng)規(guī)律.

關(guān)鍵詞：一維振子;MATLAB;Runge-Kutta算法;混沌

中圖分類號(hào)：O322? 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A? 文章編號(hào)：1673-260X（2019）09-0019-03

1 引言

機(jī)械振動(dòng)是自然界中普遍存在的運(yùn)動(dòng)形式，也是大學(xué)物理課程中一項(xiàng)重要的教學(xué)內(nèi)容.對(duì)于簡(jiǎn)單的簡(jiǎn)諧振動(dòng)可以利用數(shù)學(xué)積分的方法給出解析解[1]，但對(duì)于存在復(fù)雜外部擾動(dòng)的非線性振動(dòng)系統(tǒng)，解析求解將變得非常困難，因此數(shù)值求解將是一種好的替代方式.關(guān)于振動(dòng)問(wèn)題數(shù)值求解的研究已見(jiàn)有關(guān)報(bào)道[2-4]，例如，文獻(xiàn)[2]利用拉格朗日方法建立了復(fù)雜的六彈性振子的二維運(yùn)動(dòng)方程，并用maple軟件進(jìn)行了數(shù)值求解，給出振子運(yùn)動(dòng)時(shí)間序列圖.文獻(xiàn)[3]研究了各種組合彈簧振子中的非線性振動(dòng)問(wèn)題，給出了數(shù)值解和解析解并進(jìn)行了對(duì)比.文獻(xiàn)[4]研究了Duffing振子和Van der Pol振子耦合之后的非線性的動(dòng)力學(xué)行為，利用Simulink仿真給出了不同頻率及耦合系數(shù)下耦合振子的相圖和龐加萊截面圖.在大學(xué)物理教學(xué)中，一維振子運(yùn)動(dòng)是一種最基本的教學(xué)內(nèi)容，為了能夠系統(tǒng)的、直觀的研究一維振子在各種外部擾動(dòng)下的動(dòng)力學(xué)特性，本文建立了一維振子的牛頓運(yùn)動(dòng)學(xué)方程，采用四階Runge-Kutta算法并利用MATLAB軟件進(jìn)行數(shù)值求解，通過(guò)合理調(diào)節(jié)參數(shù)，實(shí)現(xiàn)了簡(jiǎn)諧振動(dòng)、阻尼振動(dòng)、受迫振動(dòng)及復(fù)雜非線性振動(dòng)，給出了振子的運(yùn)動(dòng)時(shí)間序列圖，并且得到了有趣的混沌現(xiàn)象.

2 四階Runge-Kutta算法

四階Runge-Kutta算法是求解常微分方程及方程組常用的數(shù)值解法，它基于Taylor展開(kāi)，要求被求解的函數(shù)具有較好的光滑性，并且其截?cái)嗾`差為o（h5），具有較高的求解精度.四階Runge-Kutta公式的一般表達(dá)形式為：

其中：

3 一維振子運(yùn)動(dòng)學(xué)方程

在實(shí)際生活中，一維振子除了受到回復(fù)力作用以外，往往還受到阻力和外部擾動(dòng)，為了全面的描述一維振子的運(yùn)動(dòng)情況，本文建立的一維振子運(yùn)動(dòng)學(xué)方程如下[5-7]：

其中，m為振子的質(zhì)量，-k1x為線性回復(fù)力， 為與速度成正比的阻力，-k3x3為與位移有關(guān)的三階非線性阻力項(xiàng)，F(xiàn)1cos1t+F2sin2t為周期性的外力.為簡(jiǎn)化運(yùn)算，m取1kg，并且將二階常微分方程化為一階微分方程組求解，具體表達(dá)式如下：

4 仿真結(jié)果及結(jié)果

本文采用四階Runge-Kutta算法對(duì)方程（4）進(jìn)行數(shù)值求解，求解步長(zhǎng)為0.01s，采用MATLAB軟件進(jìn)行仿真.

4.1 簡(jiǎn)諧振動(dòng)

簡(jiǎn)諧振動(dòng)是振子最簡(jiǎn)單的運(yùn)動(dòng)形式，此時(shí)的振子只受到回復(fù)力的作用，方程（4）的參數(shù)取值情況如圖題所示.圖1給出了振子在不同的回復(fù)系數(shù)下的振動(dòng)曲線，如圖1（a）所示，當(dāng)A=1s-2時(shí)，此時(shí)振子的運(yùn)動(dòng)軌跡為一規(guī)則正弦曲線，振幅為0.110m，振動(dòng)頻率為0.16Hz.當(dāng)A=3s-2時(shí)（圖1（b）），由于回復(fù)力的增大，振幅變?yōu)?.063m，振動(dòng)頻率變?yōu)?.28Hz.當(dāng)A=6s-2時(shí)（圖1（c）），振幅減小為0.045m，振動(dòng)頻率增大為0.39Hz.從圖中可以直觀地看出隨著回復(fù)系數(shù)的增大，振子的振動(dòng)振幅慢慢縮小，同時(shí)振動(dòng)頻率慢慢變大.

4.2 阻尼振動(dòng)

阻尼振動(dòng)是指振子受到外界阻力下的運(yùn)動(dòng)，本文中考慮阻力與振子的運(yùn)動(dòng)速度成正比的情況.在阻尼振蕩下，方程（4）的參數(shù)取值情況如圖題所示.圖2（a）給出了阻尼系數(shù)B=0.01s-1時(shí)振子振動(dòng)的時(shí)間序列，可以看出，由于此時(shí)阻尼系數(shù)較小，振子的振幅衰減較慢.當(dāng)繼續(xù)增加阻尼系數(shù)到0.03s-1，如圖2（b）所示，振子振動(dòng)到200s時(shí)振幅幾乎為零.繼續(xù)增大阻尼系數(shù)到0.06s-1（圖2（c）），振子到150s就幾乎停止振動(dòng)了.因此，從圖中可以直觀地看出，隨著阻尼系數(shù)的增大，振子的振幅衰減的越來(lái)越快.

4.3 受迫振動(dòng)

受迫振動(dòng)指的是振子在外部周期力作用下的運(yùn)動(dòng)，振子在不受外力作用時(shí)，由于自身恢復(fù)力的作用會(huì)產(chǎn)生一個(gè)固有振蕩頻率，此頻率與回復(fù)系數(shù)有關(guān)，本文中回復(fù)系數(shù)A取2s-2，相應(yīng)的本征角頻率為1.414Hz.圖3考慮了三種不同的外部擾動(dòng)頻率下振子的運(yùn)動(dòng)情況.圖3（a）為D=0.5ms-2，ω1=1Hz情況下的受迫振動(dòng)振動(dòng)曲線，此時(shí)外部擾動(dòng)頻率與振子的固有頻率不相同，但差距較小，振子在72s后趨于規(guī)則振蕩，振蕩幅度為0.52m.當(dāng)D=0.5ms-2，ω1=1.414Hz時(shí)（圖3（b）），此時(shí)外部擾動(dòng)頻率與振子的固有頻率相同，出現(xiàn)了共振，振子的振蕩幅度在規(guī)則振蕩后達(dá)到了4.2m.當(dāng)D=0.5ms-2，ω1=3Hz時(shí)（圖3（c）），此時(shí)外部擾動(dòng)頻率與振子的固有頻率差距較大，穩(wěn)定后的振蕩幅度只有0.07m，未形成共振.從圖中可以清楚地看出在不同的外部擾動(dòng)頻率下振子振幅及頻率的變化.

4.4 非線性振動(dòng)

圖4給出了振子在非線性力作用情況下的振動(dòng)曲線圖及功率譜圖.其中功率譜指的是將時(shí)域中的時(shí)間序列通過(guò)傅里葉變換轉(zhuǎn)換到頻域進(jìn)行觀察，它代表了該時(shí)間序列中某一頻率間隔內(nèi)的功率占總功率的比例，能夠直觀地看出時(shí)間序列中所包含的頻率成分.如圖4（a）所示，振子的運(yùn)動(dòng)軌跡為規(guī)則的脈沖包，時(shí)間序列（圖4（a））中雖然有多個(gè)峰值，但整體的振動(dòng)是重復(fù)的，功率譜（圖4（a1））中可以看出多個(gè)頻率成分，其中最強(qiáng)的峰值為振動(dòng)的主頻率（約為0.2GHz），主頻率前面的峰值為次諧波.圖4（b）所示，此時(shí)振子的運(yùn)動(dòng)出現(xiàn)混沌行為，時(shí)間序列（圖4（b））無(wú)明顯周期行為，并且出現(xiàn)了隨機(jī)的振動(dòng)，功率譜（圖4（b1））出現(xiàn)了展寬并無(wú)明顯的峰值.

混沌是一種有趣的物理的現(xiàn)象，它具有自相似性、初值敏感性和內(nèi)在隨機(jī)性等特性.為了進(jìn)一步研究所產(chǎn)生的混沌的性質(zhì)，圖5（a）給出了不同初始條件下的振子的運(yùn)動(dòng)軌跡，從圖中可以看出，即使所有參數(shù)都一樣，當(dāng)初始條件不同，兩條軌跡在27s的時(shí)候出現(xiàn)了偏離，而且隨著時(shí)間的增加，偏離越來(lái)越大，最后軌跡完全不相同，這就證明了混沌具有初值敏感性.圖5（b）給出了該參數(shù)情況下的時(shí)間序列的吸引子圖，圖中有多個(gè)環(huán)路纏繞在一起，并且具有一定的自相似性，表現(xiàn)為奇怪吸引子.

5 總結(jié)

本文采用四階Runge-Kutta算法數(shù)值研究了一維振子的運(yùn)動(dòng)問(wèn)題，利用MATLAB軟件進(jìn)行了仿真模擬，通過(guò)調(diào)節(jié)參數(shù)實(shí)現(xiàn)了簡(jiǎn)諧振動(dòng)、阻尼振動(dòng)、受迫振動(dòng)及復(fù)雜非線性振動(dòng)，給出了各種振動(dòng)的運(yùn)動(dòng)時(shí)間序列圖.從圖中可以直觀地看出，對(duì)于簡(jiǎn)諧振動(dòng)，回復(fù)系數(shù)越大，振子運(yùn)動(dòng)的振幅越小.對(duì)于阻尼振動(dòng)，隨著阻尼系數(shù)的增大，振子的振幅衰減的越來(lái)越快.

對(duì)于受迫振動(dòng)，當(dāng)外部擾動(dòng)的頻率與振子本征頻率相同時(shí)，振子的振幅將大幅度增加.最后對(duì)于非線性振動(dòng)情況，適當(dāng)調(diào)節(jié)參數(shù)可實(shí)現(xiàn)混沌振動(dòng).本文簡(jiǎn)單直觀地展示了振子在各種情況下的運(yùn)動(dòng)規(guī)律，可作為大學(xué)物理教學(xué)內(nèi)容的有效補(bǔ)充.

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