李越　戴長(zhǎng)婷　蘭曉巖　任恒峰　王清亮

摘要：以流體力學(xué)及液體熱學(xué)性質(zhì)為理論基礎(chǔ)，從噴水過(guò)程中流體的連續(xù)性定理以及功能原理出發(fā)，巧妙地避開(kāi)了使用伯努利方程時(shí)的限制條件，進(jìn)一步推導(dǎo)出了熱水噴泉噴射高度的理論公式，并據(jù)此關(guān)系式從理論上分析了影響最大噴射高度的因素.實(shí)驗(yàn)上研究了莫爾吸量管吸入部分熱水后產(chǎn)生噴泉的最大噴射高度與吸入熱水溫度、吸量管規(guī)格以及吸入熱水高度之間的作用關(guān)系，得出：莫爾吸量管產(chǎn)生噴泉的最大噴射高度隨熱水溫度的升高而增大，隨吸量管管身直徑的增大而增大，隨吸入熱水量的增加先減小后增大.

關(guān)鍵詞：熱水噴泉;莫爾吸量管;連續(xù)性定理;功能原理;最大噴射高度

中圖分類號(hào)：O4-33? 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A? 文章編號(hào)：1673-260X（2019）09-0015-04

目前，國(guó)內(nèi)外對(duì)熱水噴泉現(xiàn)象定量研究的報(bào)道較少，對(duì)熱水噴泉現(xiàn)象的研究大多集中在對(duì)實(shí)驗(yàn)現(xiàn)象的研究，而對(duì)其所適用的物理規(guī)律、物理公式的討論甚少，以致熱水噴泉現(xiàn)象的理論依據(jù)較為缺乏[1-3].有一些物理學(xué)家曾利用伯努利方程來(lái)討論該現(xiàn)象，但由于伯努利方程只適用于定常流動(dòng)問(wèn)題的處理，而熱水噴泉現(xiàn)象并非屬于理想的定常流動(dòng)，因此這樣處理問(wèn)題存在一定的不妥之處[4-8].最新的研究表明，從熱水噴泉噴水過(guò)程中的熱水量守恒以及動(dòng)能定理出發(fā)，可以建立一個(gè)既適用于定常流動(dòng)又適用于非定常流動(dòng)的更為普遍的理論模型，并且實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證得出，測(cè)量結(jié)果和理論模型的數(shù)值計(jì)算結(jié)果符合得較好[9，10].在此基礎(chǔ)上，我們將對(duì)理論進(jìn)行進(jìn)一步地分析，提出適用于“熱水噴泉”現(xiàn)象的新理論模型，即利用流體的連續(xù)性定理以及功能原理等理論分析此現(xiàn)象，在進(jìn)行具體實(shí)驗(yàn)之后，將實(shí)驗(yàn)與理論進(jìn)行對(duì)比，從而深入探討熱水噴泉的物理機(jī)制.

1 “熱水噴泉”現(xiàn)象

“熱水噴泉”現(xiàn)象是指在莫爾吸量管中吸入部分熱水，將其上端堵住并倒置，使吸量管小孔朝上，此時(shí)可以觀察到從小孔中噴出的水像噴泉一樣.產(chǎn)生“熱水噴泉”現(xiàn)象的理論基礎(chǔ)是：莫爾吸量管內(nèi)部空氣受熱膨脹，導(dǎo)致內(nèi)部大氣壓高于外界，從而使管內(nèi)的熱水噴出來(lái).在受熱時(shí)，物體會(huì)發(fā)生膨脹;受冷時(shí)，物體發(fā)生一定程度的收縮，這種現(xiàn)象被稱為熱脹冷縮.而產(chǎn)生這一現(xiàn)象的原因?yàn)椋航M成物質(zhì)的大量粒子，它們的運(yùn)動(dòng)情況隨所處環(huán)境的溫度而發(fā)生變化，當(dāng)環(huán)境溫度升高時(shí)，粒子的震動(dòng)程度變得較為劇烈，使得物體發(fā)生膨脹;但當(dāng)環(huán)境溫度降低時(shí)，粒子的震動(dòng)程度就會(huì)下降，從而使得物體發(fā)生一定程度的收縮.

“熱水噴泉”現(xiàn)象屬于非定常流動(dòng)現(xiàn)象[8-10]，若對(duì)熱水噴泉現(xiàn)象使用伯努利方程進(jìn)行討論，則是過(guò)于粗糙和理想化的處理，因?yàn)椴匠讨贿m合定常流動(dòng)問(wèn)題的研究.為了較為精確地解釋該現(xiàn)象，我們將噴水過(guò)程中流體的連續(xù)性定理以及功能原理相結(jié)合，建立起一個(gè)既適用于定常流動(dòng)又適用于非定常流動(dòng)的普適理論模型.

2 “熱水噴泉”的理論機(jī)制

建立如圖1所示的熱水噴泉裝置的示意圖，莫爾吸量管全長(zhǎng)為L(zhǎng)，小孔口徑的一半為r，面積為S1;管身口徑的一半為R，面積為S2;起初加入熱水的高度為L(zhǎng)0，熱水的溫度為T，熱水的密度為？籽.封閉在莫爾吸量管中的氣體在被熱水充分預(yù)熱后的平衡溫度為T1，壓強(qiáng)為P1.外界大氣壓為P0，外界環(huán)境的溫度為T0.

由于實(shí)驗(yàn)時(shí)只在莫爾吸量管中吸入了部分熱水，所以管中會(huì)密閉有一部分的氣體，在吸量管未倒置之前并不會(huì)出現(xiàn)噴泉現(xiàn)象;但將吸量管旋轉(zhuǎn) 即倒置后，便會(huì)產(chǎn)生噴泉現(xiàn)象.之所以如此，其原因是在未倒置時(shí)，熱水和管內(nèi)氣體的接觸面積只有管的一個(gè)切平面大小，熱量不能很好地傳遞給管內(nèi)空氣;而在旋轉(zhuǎn)180°的過(guò)程中，由于重力的作用，管內(nèi)熱水會(huì)沿著靠下的管壁迅速流下，這時(shí)管中氣體與熱水的接觸面積增加;在旋轉(zhuǎn)至180°時(shí)，熱水甚至?xí)刂肯碌墓鼙诹鞯焦艿牡撞?，這樣會(huì)使整個(gè)管中氣體與熱水的接觸面積大大增加，整個(gè)管內(nèi)氣體便會(huì)迅速膨脹，給在上面還未流下的水一股強(qiáng)大的向上推力，從而形成了噴泉現(xiàn)象.

整個(gè)噴泉過(guò)程中，氣體可當(dāng)作理想氣體來(lái)處理，滿足物態(tài)方程

在剛裝入熱水時(shí)與莫爾吸量管旋轉(zhuǎn)180°且氣體和熱水達(dá)到熱平衡時(shí)，兩種狀態(tài)下被密閉氣體的物態(tài)方程滿足關(guān)系式

在裝入熱水到發(fā)生噴泉現(xiàn)象前的這段過(guò)程中，密閉氣體的體積保持不變，即為等容過(guò)程.

現(xiàn)假設(shè)T1與熱水——環(huán)境溫差（T-T0）的關(guān)系為

式中，c是一個(gè)與初始時(shí)加入的熱水量、熱水——環(huán)境溫差（T-T0）以及吸量管規(guī)格有關(guān)的一個(gè)量[8].將式（3）代入式（2），并移項(xiàng)可得

選擇開(kāi)始發(fā)生噴泉現(xiàn)象的時(shí)刻為初始時(shí)刻，記為t0=0;此后在任意時(shí)刻t，各部分熱水柱的長(zhǎng)度分別為l（t）、L1（t），如圖1所示.

設(shè)P（t）、V（t）分別為發(fā)生噴泉現(xiàn)象時(shí)的任意時(shí)刻管中氣體的壓強(qiáng)和體積，由于噴射過(guò)程較為短暫，則可將此階段管中氣體經(jīng)歷的過(guò)程近似地視為絕熱過(guò)程，根據(jù)絕熱過(guò)程的物態(tài)方程可以得到，

進(jìn)而有

利用流體的連續(xù)性定理表明，當(dāng)流體連續(xù)不斷而穩(wěn)定地流過(guò)一個(gè)粗細(xì)不等的管子時(shí)，由于管中任何一部分的流體都不能中斷或擠壓起來(lái)，因此在同一時(shí)間內(nèi)，流進(jìn)任意切面的流體質(zhì)量和從另一切面流出的流體質(zhì)量應(yīng)該相等，從而可得

S1（L0+l（t））′=S2（L0-L1（t））′

即

S1l′（t）=-S2L1′（t）? ?（7）

根據(jù)噴水過(guò)程中的功能原理，可知在t～t+dt時(shí)間段內(nèi)，管中熱水柱重力勢(shì)能與動(dòng)能的增量等于管中氣柱對(duì)熱水柱的推力以及外界大氣壓對(duì)熱水柱的阻力所做的總功

且在噴水過(guò)程中有

L1（t）=L0-nl（t）? （9）

式中參量n為莫爾吸量管的小孔橫截面積與管身橫截面積之比，即n=，現(xiàn)將式（6）（7）和（9）代入式（8）中，并在兩邊同時(shí)除以dt，可得

由噴射過(guò)程中流體的連續(xù)性定理、功能原理、密閉氣體經(jīng)過(guò)等容和絕熱過(guò)程等理論公式推出“熱水噴泉”現(xiàn)象滿足（10）式，此式描述了熱水噴泉噴射高度與噴射時(shí)間之間所滿足的微分關(guān)系.

3 “熱水噴泉”的實(shí)驗(yàn)研究

3.1 參數(shù)c的測(cè)量

為了能用（10）式的理論結(jié)果與實(shí)驗(yàn)結(jié)果進(jìn)行比較，需知道參量c，而參量c是在理論建模過(guò)程中引入的一個(gè)與初始時(shí)加入的熱水量、熱水——環(huán)境溫差（T-T0）以及吸量管規(guī)格有關(guān)的量，這個(gè)量很難從理論上得出，但可以由多次實(shí)驗(yàn)測(cè)出c值：取兩根規(guī)格不一的莫爾吸量管，用其中一根莫爾吸量管在多組不同的熱水——環(huán)境溫差和吸水高度情況下，保證吸入熱水至將吸量管倒置的這一過(guò)程時(shí)間足夠長(zhǎng)，以致管中的氣體能被充分預(yù)熱并與熱水達(dá)到熱平衡，在氣體與熱水達(dá)到熱平衡后立即使用測(cè)量吸量管中氣體溫度的電子溫度計(jì)測(cè)出此時(shí)氣體的平衡溫度T1，將其代入式（3），從而計(jì)算出此種規(guī)格莫爾吸量管的c值，同理由可得另一種規(guī)格莫爾吸量管的c值，分別見(jiàn)表1和表2.

3.2 最大噴射高度與熱水溫度的關(guān)系

采用控制變量的方法，保持吸水高度、莫爾吸量管的規(guī)格不變，改變吸入熱水的溫度.取初始時(shí)規(guī)格1莫爾吸量管中吸入的熱水高度為10.9cm，測(cè)得外界環(huán)境溫度為24.5℃，根據(jù)實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)可得圖2.

由圖2可以看出，噴泉的最大噴射高度隨著熱水溫度的升高而快速的增大，由此易得吸入熱水的溫度是決定噴泉最大噴射高度的一個(gè)重要因素.產(chǎn)生這一現(xiàn)象的原因在于：一方面，當(dāng)填裝的熱水溫度升高時(shí)，被密閉氣體的溫度也會(huì)隨之升高到較高溫度，而溫度越高氣體分子的運(yùn)動(dòng)速度也就越快，即氣體的壓強(qiáng)越大或者說(shuō)氣體對(duì)熱水柱的推力越大，那么被加熱氣體對(duì)外做功的能力也就越強(qiáng)，噴射的水柱高度就越高.另一方面，通過(guò)傳熱學(xué)相關(guān)知識(shí)可知，隨著熱水溫度的升高，莫爾吸量管內(nèi)氣體與熱水的傳熱速度加快，傳熱效率提高，在相同時(shí)間內(nèi)，被加熱到可以噴射出吸量管的熱水量增多，噴泉到達(dá)吸量管管嘴處的初速度變大，因此，根據(jù)能量守恒定律，在忽略空氣阻力的情況下，噴泉所能達(dá)到的最大噴射高度也就隨之增大.

3.3 最大噴射高度與莫爾吸量管規(guī)格的關(guān)系

控制變量時(shí)，保持吸水高度、吸入熱水的溫度不變，改變莫爾吸量管的規(guī)格.取初始時(shí)規(guī)格1和規(guī)格2兩莫爾吸量管中吸入的熱水高度均為8.6cm，測(cè)得外界環(huán)境溫度為24.5℃，實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)如圖3所示，圖中藍(lán)色線為規(guī)格1莫爾吸量管產(chǎn)生噴泉的最大噴射高度隨熱水溫度變化的實(shí)驗(yàn)曲線;紅色線為規(guī)格2莫爾吸量管產(chǎn)生噴泉的最大噴射高度隨熱水溫度變化的實(shí)驗(yàn)曲線.

由圖3可知，莫爾吸量管直徑越大，產(chǎn)生噴泉的最大噴射高度就越高.在莫爾吸量管直徑保持不變的情況下，吸入熱水的溫度越高，產(chǎn)生噴泉的最大噴射高度也就越高;在吸入熱水溫度相同的情況下，莫爾吸量管的直徑越大，產(chǎn)生噴泉的最大噴射高度就會(huì)隨之變高.

3.4 最大噴射高度與吸入熱水高度的關(guān)系

保持莫爾吸量管規(guī)格、吸入熱水的溫度不變，改變吸入熱水的高度.取初始時(shí)規(guī)格2莫爾吸量管中吸入的熱水溫度恒為71℃，測(cè)得外界環(huán)境溫度為24.5℃，實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)及變化曲線如圖4所示.

從圖4可知，莫爾吸量管產(chǎn)生噴泉的最大噴射高度隨吸入熱水高度的增加先減小后增大.而產(chǎn)生這一現(xiàn)象的原因：一方面，當(dāng)吸入熱水量較少時(shí)，熱水與密封氣體的平衡溫度較低，以致氣體對(duì)外做功的能力較小;但同時(shí)熱水量較少時(shí)，其自身的重力也較小，從而對(duì)吸量管中氣體的阻力就較小.另一方面，當(dāng)吸入熱水量較多時(shí)，可以保證熱水與氣體快速地達(dá)到熱平衡，氣體在預(yù)熱結(jié)束后的溫度就會(huì)較高，對(duì)外做功的能力就較大;但熱水量多便會(huì)導(dǎo)致其自身重力大，使得吸量管中氣體受到的阻力增大.

4 結(jié)束語(yǔ)

本文先考慮到“熱水噴泉”現(xiàn)象屬于非定常流動(dòng)，繼而利用流體的連續(xù)性定理和功能原理建立一個(gè)既適用于定常流動(dòng)又適用于非定常流動(dòng)的理論模型.這樣的建模巧妙地避免了前人使用伯努利方程來(lái)解決此問(wèn)題的不合理之處，因?yàn)橹挥卸ǔＡ鲃?dòng)的問(wèn)題才能使用伯努利方程進(jìn)行分析，而針對(duì)“熱水噴泉”這種非定常流動(dòng)的問(wèn)題，應(yīng)該避免使用伯努利方程.通過(guò)多組實(shí)驗(yàn)探究莫爾吸量管產(chǎn)生噴泉的最大噴射高度與諸因素之間的關(guān)系，總結(jié)得出：莫爾吸量管產(chǎn)生噴泉的最大噴射高度隨吸入熱水溫度的升高而快速地增大，這說(shuō)明吸入熱水的溫度是決定噴射高度的關(guān)鍵性因素;在吸量管小孔直徑不變的情況下，最大噴射高度隨吸量管管身直徑的增大而增大;在一定的吸入熱水量范圍內(nèi)，吸量管產(chǎn)生噴泉的最大噴射高度隨吸入熱水量的增加先減小后增大.

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參考文獻(xiàn)：

〔1〕漆安慎，杜嬋英.力學(xué)[M].北京：高等教育出版社，2012.

〔2〕李復(fù).可壓縮流體的伯努利方程[J].大學(xué)物理，2008，27（8）：15-18.

〔3〕嚴(yán)導(dǎo)淦.流體力學(xué)中的總流伯努利方程[J].物理與工程，2014，24（4）：47-53.

〔4〕劉建曉，鄭永春，史宮會(huì)，等.熱水噴泉現(xiàn)象的理論研究[J].物理實(shí)驗(yàn)，2016，36（4）：23-26.

〔5〕付偉娟，聶云漢，房振全，等.莫爾吸量管熱水噴泉現(xiàn)象的研究[J].物理實(shí)驗(yàn)，2017，37（6）：38-42.

〔6〕李強(qiáng)，覃志遠(yuǎn)，陳聰，等.熱水噴泉現(xiàn)象及其理論研究[J].物理與工程，2017，27（6）：1-6.