崔穎

摘要：研究了一類切換時滯神經(jīng)網(wǎng)絡的非脆弱狀態(tài)估計問題，其中估計器的增益矩陣具有不確定性.首先，通過構造模態(tài)依賴的Lyapunov泛函，并利用Jensen不等式和平均駐留時間技巧建立了非脆弱估計器存在的充分條件.接著，應用線性矩陣不等式的一組可行解表示了估計器的增益矩陣.

關鍵詞：切換神經(jīng)網(wǎng)絡;混合時滯;狀態(tài)估計;線性矩陣不等式

中圖分類號：O175.14? 文獻標識碼：A? 文章編號：1673-260X（2019）09-0004-04

1 引言

近年來，遞歸神經(jīng)網(wǎng)絡已被廣泛用于信號處理、優(yōu)化、模型識別、聯(lián)想記憶等方面[1-2].由于在生物網(wǎng)絡中信號傳播時間的有限性，或電子網(wǎng)絡中放大器切換速度的有限性等原因，各種神經(jīng)網(wǎng)絡常會出現(xiàn)時滯現(xiàn)象.目前，時滯神經(jīng)網(wǎng)絡模型的動力學行為得到了廣泛的研究，尤其是穩(wěn)定性分析.例如，文獻[3]運用Lyapunov泛函方法分析了混合時滯神經(jīng)網(wǎng)絡的穩(wěn)定性.文獻[4]針對具有時變離散時滯的神經(jīng)網(wǎng)絡，通過構造增廣的Lyapunov泛函，并結合參數(shù)依賴的矩陣不等式，建立了時滯依賴的穩(wěn)定性條件.

另一方面，神經(jīng)元的狀態(tài)難以通過網(wǎng)絡輸出獲得，所以，為了獲取神經(jīng)元的狀態(tài)，我們可以利用獲得的測量數(shù)據(jù)估計神經(jīng)元的狀態(tài).由此而形成的神經(jīng)網(wǎng)絡的狀態(tài)估計問題已經(jīng)引起了人們的廣泛關注.文獻[5]研究了具有模式依賴混合時滯的Markov切換神經(jīng)網(wǎng)絡的狀態(tài)估計問題.文獻[6]針對時變時滯的離散切換神經(jīng)網(wǎng)絡設計了非脆弱的濾波器，使得濾波器在參數(shù)不確定的情況下仍能保證狀態(tài)估計結果的精確性.

此外，神經(jīng)網(wǎng)絡的結構常會呈現(xiàn)切換現(xiàn)象.近來，平均駐留時間方法已被用于分析切換神經(jīng)網(wǎng)絡的穩(wěn)定性.例如，文獻[7]應用比較原理和平均駐留時間方法建立了切換基因調(diào)控網(wǎng)絡的指數(shù)穩(wěn)定性判據(jù).文獻[8]研究了具有無窮分布時滯的切換神經(jīng)網(wǎng)絡在任意切換信號下的魯棒指數(shù)穩(wěn)定性.然而，具有時變混合時滯的切換神經(jīng)網(wǎng)絡的狀態(tài)估計問題還有待進一步研究.

綜上所述，本文將考慮一類切換時滯神經(jīng)網(wǎng)絡的非脆弱狀態(tài)估計問題.所研究的狀態(tài)估計問題中，估計器的參數(shù)具有不確定性.首先，我們將運用平均駐留時間方法得到非脆弱估計器存在的充分條件.接著，應用線性矩陣不等式的一組可行解表示了估計器的增益矩陣.

2 模型的刻畫

我們考慮時滯切換神經(jīng)網(wǎng)絡如下：

x（k+1）=Ak）x（k）+Bk）f（x（k））+Ck）g（x（k-1（k）））

+Dk）h（x（k-i）），? （1a）

y（k）=Ek）x（k），? （1b）

x（l）=（l），k0-r≤l<k0，? （1c）

其中x（k）∈Rn，y（k）∈Rq分別表示狀態(tài)向量和輸出向量，1（k）和2（k）分別表示時變的離散時滯和分布時滯.記r=max{1，M，2，M}，其中1，m≤1（k）≤1，M，2，m≤2（k）≤2，M.矩陣Ak）x（k）=diag{a1，k），a2，k），…，an，k），}（|ai，k）|<1）表示神經(jīng)元的自反饋矩陣，矩陣Bk），Ck）和Dk）是連接加權矩陣.

f（x（k））=[f1（x1（k）），f2（x2（k）），…，fn（xn（k））]T，

g（x（k））=[g1（x1（k）），g2（x2（k）），…，gn（xn（k））]T，

和h（x（k））=[h1（x1（k）），h2（x2（k）），…，hn（xn（k））]T，表示神經(jīng)元的激勵函數(shù).

在系統(tǒng)（1）中，？滓.Z≥0→∏={1，2，…，m0}表示切換信號，其中m0為正整數(shù).記切換序列為

{（k0），k0），（k1），k1），…，（kt），kt），…，}.

假設1[3] 系統(tǒng)（1）中激勵函數(shù)f，g，h滿足

i-=≤i+，i-=≤i+

i-=≤i+，

其中i-，i+，i-，i+，i-，i+是常數(shù)，i∈{1，2，…，n}.

對于切換神經(jīng)網(wǎng)絡（1），我們考慮如下的非脆弱狀態(tài)估計器

（k+1）=Ak）（k）+Bk）f（（k））+Ck）g（（k-1（k）））

+Dk）h（（k-i））+（Kk）+Kk）（k））（y（k）-Ek）（k）），? （2）

其中Kk）為估計器的增益矩陣，增益矩陣的變化Kk）（k）滿足

Kk）（k）=Mk）F（k）Nk），? （3）

其中FT（k）F（k）≤I，？坌k∈N+.

定義誤差向量e（t）=（k）-x（k），再由（1）式與（2）式得到狀態(tài)估計誤差系統(tǒng)

e（k+1）=（Ak）-Kk）Ek）-Kk）（k）Ek））e（k）+Bk）（e（k））

+Ck）（e（k-1（k）））+Dk）（e（k-i）），? （4）

其中

（e（k））=[1（e1（k）） 2（e2（k）） … n（en（k））]T：=f（（k））-f（x（t））

（e（k））=[1（e1（k）） 2（e2（k）） … n（en（k））]T：=g（（k））-g（x（t））

（e（k））=[1（e1（k）） 2（e2（k）） … n（en（k））]T：=h（（k））-h（x（t））

定義1 若存在常數(shù)∈（0，1）和K>0，當增益矩陣的變化滿足條件（3）時，狀態(tài)估計誤差系統(tǒng)（4）的解都滿足

||e（k）||≤K||？漬（l）||（？坌k∈Z），

我們稱系統(tǒng)（4）是魯棒指數(shù)穩(wěn)定的.

定義2 如果狀態(tài)估計誤差系統(tǒng)（4）是魯棒指數(shù)穩(wěn)定的，那么稱系統(tǒng)（2）是切換神經(jīng)網(wǎng)絡（1）的非脆弱狀態(tài)估計器.

定義3 在區(qū)間[k0，k）上，切換信號？滓的切換次數(shù)記為Nk，k0）.如果存在常數(shù)N0≥0和T0>0，使得Nk，k0）.≤+N0成立，我們稱T0為平均駐留時間，N0為抖振界.為簡單起見，本文假設N0=0.

本文的目的是設計切換神經(jīng)網(wǎng)絡（1）的非脆弱狀態(tài)估計器（2）.我們將通過構造模式依賴的Lyapunov泛函，并應用線性矩陣不等性方法得到非脆弱估計器（2）存在的充分條件，進而求解狀態(tài)估計器的增益矩陣.

3 主要結果和證明

在這部分，我們將首先基于切換系統(tǒng)的魯棒穩(wěn)定性分析方法得到非脆弱估計器（2）存在的充分條件.為此，我們給出下面一些引理.

引理1[9] 設，和F是具有恰當維數(shù)的實矩陣，且F滿足FTF≤I，則對？坌？著>0，有

F+（F）T≤？著-1T+？著T

為了方便后面的表示，我們記

1=diag{1-1+，2-2+，…，n-n+}

2=diag{，，…，}

1=diag{1-1+，2-2+，…，n-n+}

2=diag{，，…，}

1=diag{1-1+，2-2+，…，n-n+}

2=diag{，，…，}

我們先考慮下面具有不確定參數(shù)的非線性系統(tǒng)

e（k+1）=（A-（K+K）E）e（k）+Bf（e（k））

+Cg（e（k-1（k）））+Dh（e（k-i）），

其中K（k）滿足K（k）=MF（k）N和FT（k）F（k）≤I，？坌k∈N+.

引理2 在假設1之下，若存在正定矩陣Q，R，S，對角矩陣∑，r，，和正常數(shù)？著使得對任給的∈（0，1），下面的線性矩陣不等式（5）成立，

=

<0， （5）

其中

Ak=A-KE，

11=-Q-∑1-r1-1，

33=（1+1，M-1，m）R-r，

55=[2，m+（2，M-2，m）（2，M+2，m-1）]S-，

則系統(tǒng)（4）是魯棒全局指數(shù)穩(wěn)定的.

證明 為表示方便，我們引入以下記號

Xk=[eT（k） eT（k-1） … eT（k-r）]T，

（k）=[eT（k） T（x（k）） T（x（k）） T（e（k-1（k）））

T（e（k））T（e（k-i））]T，

=[AK B 0 C 0 D}，

（k）=[-K（k）E 0 0 0 0 0}，

（k）=[AK-K（k）E B 0 C 0 D}，

我們構造如下的Lyapunov泛函：

V（Xk，k）=Vj（xk，k），? （6）

其中

V1（xk，k）=eT（k）Qe（k），

V1（xk，k）=k-1-iT（e（i））R（e（i）），

V3（Xk，k）=k-1-iT（e（i））R（e（i）），

V4（Xk，k）=k-1-iT（e（i））S（e（i）），

V5（Xk，k）=k-1-iT（e（i））S（e（i））.

沿著系統(tǒng)（3），可計算V（Xk，k）的差分，

V1（k+1）-V1（k）=T（k）T（k）Q（k）（k）-eT（k）Qe（k）? （7）

V2（k+1）-V2（k）≤T（e（k））R（e（k））-T（e（k-1（k）））

×R（e（k-1（k）））+k-iT（e（i））R（e（i））

-k-iT（e（i））R（e（i）），?? （8）

V3（k+1）-V3（k）=（1，M-1，m）T（e（k））R（e（k））

-dT（e（k-d））R（e（k-d）），? （9）

V4（k+1）-V4（k）≤2，MT（e（k））S（e（k））

-T（e（k-d））S（e（k-d）），? （10）

V5（k+1）-V5（k）≤（2，M-2，m）（2，M+2，m-1）（T（e（k））

×S（e（k））-dT（e（k-d））S（e（k-d））.? （11）

由假設1并應用文獻[5]中引理3得

T（e（k））∑（e（k））+eT（k）∑1e（k）-2eT（k）∑2（e（k））≤0， （12）

T（e（k））r（e（k））+eT（k）r1e（k）-2eT（k）r2（e（k））≤0， （13）

T（e（k））（e（k））+eT（k）1e（k）-2eT（k）2（e（k））≤0. （14）

同時，根據(jù)離散型Jensen不等式得

-T（e（k-d））S（e（k-d））

≤-T（e（k-d））×ST（e（k-d））. （15）

于是，由（7）-（15）式得到

V（Xk+1，k+1）-V（Xk，k）≤T（k）（1+T（k）Q（k））（k）， （16）

其中

1=

事實上，根據(jù)Schur complement引理知，

（k）=

<0. （17）

1+T（k）Q（k）<0成立當且僅當（17）式成立.

由于（k）+0+（k），其中

0= ，

（k）=.

記=[0 0 0 0 0 0 Q]T，

=[N 0 0 0 0 0 0].

由條件（3）式得到

（k）≤？著ETTE+？著-1MMTT.

于是，（k）≤0+？著ETTE+？著-1MMTT.故由Schur complement引理知，當<0時，1+T（k）Q（k）<0成立.因此，V（Xk+1，k+1）≤V（Xk，k），進而得到

V（Xk，k）≤V（X，k0），？坌k∈Z≥k0，? （18）

故由定義1知，系統(tǒng)（4）是魯棒全局指數(shù)穩(wěn)定.證畢.

基于引理2，我們將應用平均駐留時間方法得到狀態(tài)誤差系統(tǒng)（4）的魯棒穩(wěn)定性.

定理1 在假設1之下，若存在常數(shù)？著i>0，正定矩陣Qi，Ri，Si，（i∈∏），和對角矩陣∑，r，，使得對任給的？滋≥1，∈（0，1），下面的線性矩陣不等式成立

T0≥T0*=-，? （19）

Qi≤？滋Qj，Ri≤？滋Rj，Si≤？滋Sj，? （20）

i=

<0， （21）

其中

A=Ai-KiEi

11，i=-Qi-∑1-r1-1，

33，i=（1+1，M-1，m）R1-r，

55，i=[2，m+（2，M-2，m）（2，M+2，m-1）]Si-，

則狀態(tài)誤差系統(tǒng)（4）是魯棒指數(shù)穩(wěn)定的.

證明 構造如下的模式依賴Lyapunov泛函：

Vk）（k）：=Vk）（Xk，k）=Vj（Xk，k），

其中

V1，k）（Xk，k）=eT（k）Qk）e（k），

V2，k）（Xk，k）=k-1-iT（e（i））Rk）（e（i）），

V3，k）（Xk，k）=k-1-iT（e（i））Rk）（e（i）），

V4，k）（Xk，k）=k-1-iT（e（i））Sk）（e（i）），

V5，k）（Xk，k）=k-1-iT（e（i））Sk）（e（i））.

當k∈[kt，kt+1）時，由條件（21）并應用引理2中（18）式，及條件（20）式得，

Vk）（Xk，k）≤？滋V≤（？滋）V（k0）.

再由（19）式得0<？滋<1，故根據(jù)定義1得，狀態(tài)誤差系統(tǒng)（1）是魯棒指數(shù)穩(wěn)定的.證畢.

定理1建立了非脆弱狀態(tài)估計器（2）存在的充分條件. 接下來，我們將應用線性矩陣不等式技巧得到估計器的增益矩陣.

定理2 在假設1之下，若存在常數(shù)？著i>0，正定矩陣Qi，Ri，Si（i∈∏），矩陣Pi和對角矩陣∑，r，，使得對任給的？滋≥1，∈（0，1），下面的線性矩陣不等式成立

T0≥T0*=-，? （22）

Qi≤？滋Qj，Ri≤？滋Rj，Si≤？滋Sj，? （23）

i=

其中

11，i=-Qi-∑1-r1-1，

33，i=（1+1，M-1，m）R1-r，

55，i=[2，m+（2，M-2，m）（2，M+2，m-1）]Si-，

則系統(tǒng)（1）是切換時滯神經(jīng)網(wǎng)絡（1）的非脆弱狀態(tài)估計器，其中Ki=Qi-1Pi，i∈∏.

證明 令Pi=QiKi，由（24）式可得（21）式成立，故由定理1知此定理成立.證畢.

4 數(shù)值舉例

考慮具有兩種模式的切換神經(jīng)網(wǎng)絡（1），系統(tǒng)參數(shù)如下：

A1=，B1=，C1=，

D1=，E1=[1 0]，E2=[0 1]，

A2=，B2=，C2=，

D2=，

Mi=diag{0.1，0.1}，Ni=[0.1 0.1]T，i=1，2.

6≤1（k）≤8，1≤2（k）≤2，？滋=1.2.

取激勵函數(shù)為

f（u）=g（u）=h（u）=

由上面的參數(shù)，我們可得

1=1=1=0，2=2=2=.

應用Matlab軟件，我們得到線性矩陣不等式（22）-（24）的一組可行解

Q1=，R1=，

S1=，？著1=0.5569，？著2=0.5593，

Q2=，R2=，

S2=，∑=diag{0.6886，1.1149}，

r=diag{1.9342，2.4710}，=diag{1.6072，2.0936}，

P1=[0.0279 -0.0890]T，P2=[0.0814 0.1471]T，

K1=[0.0125 -0.0874]T，K2=[0.0863 0.1608]T.

于是，由定理2可知，具有上述參數(shù)的系統(tǒng)（2）是切換神經(jīng)網(wǎng)絡（1）的非脆弱狀態(tài)估計器.

5 結論

本文研究了一類時滯切換神經(jīng)網(wǎng)絡的非脆弱狀態(tài)估計問題，其中估計器的增益矩陣具有不確定性.我們通過構造模式依賴的Lyapunov泛函，并利用Jensen不等式和平均駐留時間技巧建立了非脆弱估計器存在的充分條件.接著，應用線性矩陣不等式的一組可行解表示了估計器的增益矩陣.

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