黃嬌艷

摘要：教學蘇教版小學數(shù)學五年級下冊《圓的認識》一課，基于學生認知，組織課前自學;立足數(shù)學本質，開展課堂教學。先前，學生是從生活的角度感性地認識圓的特征，這節(jié)課，應該引導學生從數(shù)學的角度更加理性地認識圓的本質，從而真正地體會到圓的美。具體地，在三次“畫圖”中體驗數(shù)學中的圓，在三次“追問”中深化圓的認識，在兩次“想象”中建構圓的概念。

關鍵詞：學生認知數(shù)學本質圓的認識課堂教學

一、教前思考

“圓的認識”是蘇教版小學數(shù)學五年級下冊的內容，是在學生認識了長方形、正方形、三角形等多種平面圖形的基礎上開展教學的。教材的編排思路是，先借助實物揭示圓的概念，讓學生感受圓與現(xiàn)實的密切聯(lián)系;再引導學生借助實物、圓規(guī)等多種工具畫圓，初步感受圓的特征，并掌握圓的畫法;最后引導學生通過折一折、畫一畫、比一比等活動，掌握圓的基本特征。

（一）基于學生認知，組織課前自學

學生對圓并不陌生，一是因為在生活中常見到圓形表面的物體，二是因為在低年級已經(jīng)接觸過圓這個平面圖形。此外，現(xiàn)在信息資訊豐富、獲取手段多元，有的學生對圓早就有了更多的了解。鑒于此，筆者做了一個課前調研，讓學生說說“我眼中的圓”。調研結果正如筆者所預想的，學生對圓有很多了解。比如，學生知道圓是“封閉圖形”“曲線圖形”“軸對稱圖形”等，還有不少學生知道“半徑”“直徑”“圓心”等名稱并且會用圓規(guī)畫圓?；诖?，筆者讓學生課前自學教材內容，了解圓的各部分名稱、畫圓的方法等基礎知識和基本技能。

（二）立足數(shù)學本質，開展課堂教學

圓的特征主要包括同一個圓的半徑和直徑各自的特點、半徑和直徑的關系等。教學中通常是讓學生通過測量、折圓形紙片等操作了解這些特征。但是這樣是不是就夠了呢？筆者認為，這樣的教學缺少了思維的深度，沒有讓學生認識到數(shù)學的本質。實際上，圓所有的特征都是由它的本質——在同一平面內，到定點的距離等于定長的點的集合——決定的。所以，在教學中完全可以讓學生結合用圓規(guī)畫圓的感受，體會圓為什么會有這些特征，從而感悟圓的本質。

如果先前學生是從生活的角度感性地認識圓的特征的話，那么這節(jié)課，應該引導學生從數(shù)學的角度更加理性地認識圓的本質，從而真正地體會到圓的美。基于此，筆者制定了如下教學目標：（1）通過自學、交流、反思等多種學習方式，知道什么是圓心、半徑、直徑，能夠借助工具畫圓，學會利用圓規(guī)畫指定大小的圓，感受并發(fā)現(xiàn)圓的本質屬性;（2）在多次操作活動中，慢慢抽象出圓的概念，發(fā)展理性思維，增強空間觀念;（3）進一步體驗圖形與生活的聯(lián)系，體驗數(shù)學的美與應用，提高數(shù)學學習的興趣，增強學好數(shù)學的信心。

二、教學過程

（一）從“預習反饋”中引出

師同學們，今天這節(jié)課我們一起來認識圓。當然，我們對圓并不陌生。（出示圖1、圖2）看，這是同學們眼中的圓。

師課前，老師還做了一個調查。（出示圖3）關于圓，同學們還有很多好奇的地方。

（二）在“交流碰撞”中感受

師昨天我們對書本上的相關內容已經(jīng)進行了預習。通過預習，你能解決上述哪些問題呢？下面請大家在小組里交流一下你的預習收獲。

（學生小組交流。）

師通過看書，你又知道了什么？

生我知道了如何畫一個圓。我們可以借助圓規(guī)來畫。

（該生板演畫圓方法。）

生我還認識了半徑、直徑、圓心。

（該生結合黑板上的圓依次介紹。）

師半徑是一條怎樣的線段？

生從圓心到圓上任意一點的線段。

師（用兩個手指比畫出一條半徑）這任意一點，怎么體現(xiàn)啊？

生（指圖）這兒、這兒……

師指得完嗎？

生指不完，所以說半徑有無數(shù)條。

師你看，不知不覺中，我們發(fā)現(xiàn)了半徑的一個重要的特點。（板書：無數(shù)條）那直徑呢？

（指名學生在黑板上的圓中畫出一條直徑。）

師關于這幾個名稱，還有什么想要說的嗎？

生半徑和直徑都有無數(shù)條;直徑是半徑的兩倍;所有半徑都相等，所有直徑也都相等。

師解釋一下。

生圓邊上有無數(shù)個點，這樣可以和圓心連出無數(shù)條半徑和直徑。

生直徑是半徑的兩倍，我可以畫給大家看。

（該生上前在一條直徑上畫出兩條半徑。）

生我量了一個圓的好幾條半徑和直徑，發(fā)現(xiàn)這些半徑的長度都相等，直徑的長度也都相等。

生（立刻舉手）可是一個圓有無數(shù)條半徑和直徑，你只量了其中幾條，能說明所有半徑的長度都相等，直徑的長度也都相等嗎？

（其他學生紛紛點頭，之前回答的學生也一時不知道怎么回答。）

師不急，我們繼續(xù)往下研究，相信到時候這個問題就能迎刃而解了。不過，老師要對同學們剛才提出的這些結論補充一個條件，那就是“在同一個圓里”。不然，這些比較都是沒有意義的。（稍停）看來，大家對于書本上介紹的內容已經(jīng)基本明晰了，下面我們就用這些知識來解決一些問題。

（教師出示判斷半徑、直徑的問題，學生回答。）

（三）在“問題驅動”中深化

1.用圓規(guī)就一定能畫一個完美的圓嗎？

師剛才，同學們通過看書和小組討論，解決了兩個問題。不過，這還僅僅是大家自學以后最初的收獲和想法?？鬃佑幸痪湓挘骸皩W而不思則罔?！彼诟嬖V我們，除了要善于學習，更重要的是善于思考。下面，就讓我們帶上自己的思考再來看一看剛才的收獲。大家都已經(jīng)學會了用圓規(guī)畫圓，那么，用圓規(guī)就一定能畫一個完美的圓嗎？

（學生不置可否。）

師我們一起來畫一畫。請同學們任意畫出3個大小不等的圓。

（學生獨立畫圓。）

師哎，有意思了！老師發(fā)現(xiàn)，同樣在用圓規(guī)畫圓，同樣畫3個圓，同學們有快、有慢，有成功的、有不成功的。（展示一些作品）這是怎么回事？

生他們在畫圓的時候，固定的鐵針可能沒有扎緊，動了一下。

生也可能是圓規(guī)裝有鉛筆的那一頭動了一下。

生還可能是在畫的時候，圓規(guī)的兩條腿一直在動。我來演示一下。

（該生上前演示。）

師這么說來，要成功地畫出一個圓，有哪些關鍵的地方？

生固定一個點;保持兩腳之間的距離不變。

師是的，圓規(guī)一腳的針尖必須固定在一個點上，這是定點，其實就是圓的圓心;圓規(guī)兩腳之間的距離必須保持不變，這是定長，其實就是圓的半徑。（板書：定點、定長）然后旋轉一圈就能形成一個圓。（電腦展示畫圓過程）當然，在旋轉的時候，圓規(guī)如果傾斜一點，會更好畫。（稍停）剛才的要求是畫大小不等的圓，你是怎么做到的？

生使得圓規(guī)兩腳之間的距離不同。

師看來，圓的大小是由什么來決定的。

生定長、半徑。

師（出示一個同心圓）這3個圓有什么奇妙之處？

生位置相同。

生圓心相同。

師正因為圓心是同一個，畫的位置也就在同一個地方，所以說圓心決定了圓的位置。（稍停）就是為了滿足這些要求，才有了圓規(guī)這樣一個畫圓工具。讓我們繼續(xù)畫圓，再次感受一下圓規(guī)的奇妙之處。注意老師的要求。

（教師出示要求：1.半徑2.5厘米;2.直徑2.5厘米。學生畫圓。）

2.畫圓一定要用圓規(guī)嗎？

師剛才，大家通過觀察、操作，發(fā)現(xiàn)用圓規(guī)能方便地畫出一個圓。那么，畫圓一定要用圓規(guī)嗎？同桌交流一下。

（學生交流方法。教師指名學生在黑板上用一根線、粉筆、大頭釘畫圓。）

師掌聲給他們。為什么用這些道具也能畫出一個圓？

生因為它和圓規(guī)一樣，做到了“定點”和“定長”。

師（播放相應視頻）體育老師就是用這樣的方法在操場上畫出了一個大大的圓?？磥碇灰岸c”“定長”，即使不用圓規(guī)，也能畫出一個完美的圓。（稍停）剛才，我們利用工具畫出了看得見的圓，其實，在我們的生活中還有許多看不見的圓。（出示鐘面、機場雷達圖，指著鐘面圖）你能看到圓嗎？

生秒針繞著鐘面轉一圈，也能形成一個圓。

師這是一個怎樣的圓？能描述一下嗎？

生圓心是鐘面的中心，半徑是秒針的長度。

師還有圓嗎？

生分針和時針繞著鐘面轉一圈，都能形成一個圓。

師真棒?。▽⒂脠A規(guī)畫的圓、體育老師在操場上畫的圓、鐘面、機場雷達這四幅圖匯聚在一起）同學們看，剛才我們利用工具或者根據(jù)想象，都得到了一個圓。請大家想一想：為什么它們最終都能形成一個圓呢？

生因為都確定了一個中心點（定點）和定長。

師的確，正如同學們說的那樣，不管是圓規(guī)的鉛筆頭（在圖中標出相應點）、體育老師拿著的那個大勺子（在圖中標出相應點），還是鐘面上秒針的針尖（在圖中標出相應點），這些點在旋轉的過程中，與中間這個定點（在圖中標出中心點）之間的距離總是保持不變，所以最終都形成了圓。現(xiàn)在，讓我們拿掉圓規(guī)，拿掉繩子和體育老師手中的大勺子，拿掉秒針，就留下這兩個點。請大家閉上眼睛想象一下，讓其中一個點轉起來，轉一下，留下一個點，繼續(xù)轉，兩下、三下……就會留下無數(shù)個點，然后把這些點連起來，就成了一個——

生（齊）圓。

師是的，這就是圓。所以，數(shù)學家說——

（教師出示：平面上到定點的距離等于定長的點的集合叫圓。學生齊讀。）

3.在同一個圓內，為什么所有半徑都相等，所有直徑也都相等？

師我們再去看看一開始的收獲。現(xiàn)在，對于在同一個圓內半徑、直徑的特征，特別是半徑的長度都相等，你能解釋清楚了嗎？

生因為半徑的長度其實就是這個“定長”，所以在同一個圓內，所有的半徑都相等。因為直徑里包含了兩個半徑，所以在同一個圓內，所有的直徑也都相等。

師你看，同一個特點，對它的理解，和剛才相比，你感覺怎么樣？

生更清楚了。

（四）在“拓展延伸”中提升

師課的開始，我們都描述了自己心中圓的形象。現(xiàn)在，你是不是對圓又有了新的感受呢？讓我們再來說說圓。

生圓代表了完美、圓滿！

生我以前聽到過說“圓是最美的平面圖形”，今天感受到了。

師那你們覺得圓和其他平面圖形比起來，到底美在哪里？

生我覺得是圓看上去很光滑。

生只有圓的中心點到邊上的點的距離都相等，其他平面圖形都做不到。這可能就是圓的完美之處。

……

師同學們說了這么多，我想這句話最能體現(xiàn)大家此時此刻對圓的認識：“圓，一中同長?！边@是我國古代思想家墨子對圓的概括。一中即圓心，同長即半徑都一樣長。這短短四個字就是圓的精髓所在?，F(xiàn)在，如果讓你在黑板上找出最想留下的幾個字，你會找出哪幾個字？

生定點、定長。

師是的，定點、定長，決定了圓所有的特點，也決定了圓的美，圓的與眾不同。同學們，回顧今天的課堂，我們經(jīng)歷了從向書本學習、向同學學習到自己再思考、再收獲的過程，對圓的認識一步步從模糊走向清晰。就讓我們帶著這樣一種學習、思考的方式繼續(xù)去研究圓其他方面的知識吧！

三、教學立意的進一步闡釋

（一）在三次“畫圖”中體驗數(shù)學中的圓

著名教育家陶行知先生做過這樣一個比喻：我們要以自己的經(jīng)驗做“根”，以這經(jīng)驗所發(fā)生的知識做“枝”，然后別人的知識才能接得上去，成為我們知識的一個有機部分。因此，要讓學生在經(jīng)歷中體驗，在體驗中累積，這樣才能讓知識的“根”扎得更深。

生活中許多物體都有圓形的面，可以說學生對圓有著豐富的感性認識。引導學生從圓的生活表象進入圓的數(shù)學本質，是這節(jié)課教學的重點。圓的數(shù)學本質是“定點”“定長”。怎樣才能讓學生真正體會到呢？應該讓學生親身體驗數(shù)學上的圓的形成過程，在畫圖實踐中認知、明理和發(fā)展。

這節(jié)課中，筆者引導學生結合三次畫圓體驗，感悟圓的本質。第一次，在自學的基礎上用圓規(guī)畫圓，通過比較成功與不成功的體驗，體會到“定點”“定長”是決定畫圓成功的關鍵;第二次，畫出不同半徑、直徑的圓，感受到“定點”“定長”決定一個圓的位置和大小;第三次，用一根線、粉筆、大頭釘畫圓，體會到只要做到“定點”“定長”，即使沒有圓規(guī)，也能畫出一個圓。

（二）在三次“追問”中深化圓的認識

問題是打開思維的有效通道。何時提問、提問什么，是數(shù)學教學最需要研究的。

“圓的認識”的知識點很瑣碎，所以教學中經(jīng)常會出現(xiàn)“教師一直在提問，學生一直在回答”的現(xiàn)象，這樣表面上學生不斷地在思考，實際上學生的理解很淺薄。本節(jié)課中，筆者讓學生自學并交流淺表的非本質知識，然后圍繞有深度的本質知識“定點”和“定長”，設計了三個核心問題，對學生進行追問，引發(fā)學生的認知沖突，促進學生的認知深化。

問題1：用圓規(guī)就一定能畫一個完美的圓嗎？學生通過自學，知道了用圓規(guī)可以畫一個圓，雖然不是每次都能成功，但是通過不斷地嘗試，成功的概率會越來越高。教學如果滿足于學生會畫圓，顯然是不夠的。通過問題1，迫使學生反思畫圓的過程，從而發(fā)現(xiàn)成功畫圓的關鍵是圓規(guī)裝有鐵針的那只腳固定不動、圓規(guī)兩腳之間的距離保持不變，由此領會圓的本質“定點”“定長”。

問題2：畫圓一定要用圓規(guī)嗎？學生會用圓規(guī)畫圓后，容易認為圓規(guī)是畫圓的唯一工具。通過問題2，迫使學生反思畫圓的方法，從而發(fā)覺圓的本質“定點”“定長”，由此發(fā)散到其他工具，創(chuàng)造其他畫圓方法。

問題3：在同一個圓內，為什么所有半徑都相等，所有直徑也都相等？學生通過閱讀教材以及量一量、折一折等操作，知道了圓的一些特征，但這樣的發(fā)現(xiàn)還是淺層次的。而通過前面幾次畫圓和反思，學生對圓的本質“定點”“定長”已經(jīng)有了深入的體會。此時，讓學生思考問題3，學生不難發(fā)現(xiàn)圓的這些特征是由它的本質決定的，從而實現(xiàn)深層次的認識。

（三）在兩次“想象”中建構圓的概念

心理學認為，想象是人在頭腦里對已儲存的表象進行加工改造形成新形象的心理過程。想象是一種特殊的思維形式，數(shù)學中很多概念的建構都要基于想象，超越實物層面，進入心理層面，比如平行線的認識、圓柱的形成等等。

圓在數(shù)學中的定義（在同一平面內，到定點的距離等于定長的點的集合）是超越現(xiàn)實的（在現(xiàn)實中并不存在）。本節(jié)課中，為了讓學生認識到這一點，筆者設計了兩次想象活動。

第一次，在學生認識到只要做到“定點”“定長”，就能成功地畫出圓后，讓他們結合鐘面上的指針運動，想象所形成的圓?；趫A的本質的想象雖然是看不到的，但是又“真實”地反映在學生的腦海中的。它既是對圓的特征的一次應用，也反過來促進了對圓的認識，更使學生的思維得到了進一步提升。

第二次，在學生用想象“畫”出了看不見的圓，對“定點”“定長”有了深刻的認識后，讓他們基于呈現(xiàn)的兩個點，想象“讓其中一個點轉起來，轉一下，留下一個點，繼續(xù)轉，兩下、三下……就會留下無數(shù)個點，然后把這些點連起來，就成了一個圓”。學生最終建構了數(shù)學上完美（純粹）的圓。這時，讓他們再暢談“我眼中的圓”，理解“圓是最美的平面圖形”就是深刻而自然的了。