王偉群

基本的數(shù)學(xué)思想有數(shù)學(xué)抽象、數(shù)學(xué)推理和數(shù)學(xué)模型。由這些基本思想演變、派生、發(fā)展出來(lái)的數(shù)學(xué)思想有很多，其中分類思想就是數(shù)學(xué)抽象派生而來(lái)。在教學(xué)中，我們應(yīng)有效滲透分類思想，促進(jìn)學(xué)生“數(shù)學(xué)地思維”。

在一堂關(guān)于“100以內(nèi)加減法”的練習(xí)課中，一位教師將“分類”活動(dòng)有意識(shí)地穿插到教學(xué)內(nèi)容之中。他的目的是引導(dǎo)學(xué)生從不同的角度來(lái)分析問題——進(jìn)行合理的分類，從中感受到分類結(jié)果再不同標(biāo)準(zhǔn)下的多樣性，感受到不同標(biāo)準(zhǔn)的分類有著不同的意義和作用，從而使學(xué)生的思維得到發(fā)展，使不同思想方法得到充分有效的交流。

師：剛才全體小朋友認(rèn)真地做好了六道100以內(nèi)的加減計(jì)算題，并且做得很對(duì)。現(xiàn)在我們?cè)賮?lái)仔細(xì)觀察這6道題（指34+42=76，37+17=54，69-15=54，59+17=76，91-15=76，83-29=54），如果我們把它們分成兩類。你有什么好辦法？為什么這樣分？

生：我把34+42=76，59+17=76，91-15=76分為一組;把37+17=54，69-15=54，83-29=54分為另一組。

師：你為什么這樣分？

生：因?yàn)榈谝唤M的結(jié)果都是76，第二組的結(jié)果都是54，所以要這樣分。

師：想得很好，你是按照什么標(biāo)準(zhǔn)來(lái)分的？

生：按照得數(shù)相同來(lái)分的。

師：說(shuō)得對(duì)，還有其他辦法嗎？

生：按照加法和減法來(lái)分。34+42=76，37+17=54，59+17=76都是加法，剩下都是減法。

師：你們說(shuō)?？梢詥?？

生：可以。

生：我把34+42=76，69-15=54分為一組，其他算式分為另一組。

師：你為什么要這樣分？

生：34+42=76。69-15=54是不進(jìn)位加法和不退位減法，其他都是進(jìn)位加法和退位減法。

師：你真會(huì)觀察，也很會(huì)動(dòng)腦筋。

生：我把37+17=54，59+17=76分成一組，其他的分成另一組。

師：你為什么要這樣分呢？

生：因?yàn)檫@兩個(gè)算式里都有加數(shù)17，其他的沒有。

師：也是一種分類方法。

生：老師，我有另外一種分法。我把34+42=76分成一組。其他的為另一組。

師：這就奇怪了，為什么呢？

生：因?yàn)檫@個(gè)算式里面的加數(shù)都是雙數(shù)，其他的數(shù)都是單數(shù)。

師：小朋友真是太厲害了！老師都沒有想到過(guò)也可以這樣。

這樣的教學(xué)活動(dòng)主要集中于分類方法的“多元化”，然而數(shù)學(xué)中的分類并不是為了分類而進(jìn)行分類，而是具有明確的目的性，即分類是為了建立一定的序。所以不應(yīng)該去追求所謂的“與眾不同”，更不應(yīng)該主張“分類是非常重要的，標(biāo)準(zhǔn)可以讓學(xué)生自己定”，而應(yīng)當(dāng)提倡對(duì)各種分類方法做出必要的優(yōu)化，進(jìn)而建立起一定的序。

對(duì)于數(shù)學(xué)中的分類，不僅要弄清楚為什么要進(jìn)行分類，還要把握分類的原則，即不重復(fù)、不遺漏。例如，在“三角形分類”一課中可以如下開展教學(xué)。

師：我?guī)?lái)一個(gè)信封，里面裝著什么圖形呢？請(qǐng)喊出他們的名字。（拿出一個(gè)又一個(gè)三角形，分別貼在黑板上）

生：三角形。三角形……

師：好多啊，怎么辦？

生：給它們?nèi)∶?，給它們分類。

師：請(qǐng)取出信封里的三角形?？梢韵朐趺捶志驮趺捶?，但是要思考為什么這么分。

生：按角來(lái)分，都有一個(gè)鈍角的分成一類，都有一個(gè)直角的分成一類，既沒有鈍角又沒有直角的分成一類。

師：有一類三角形既有鈍角又有銳角，為什么按鈍角來(lái)分呢？

生：因?yàn)檫@一類三角形里面有獨(dú)一無(wú)二的特征——鈍角，而另外兩類沒有鈍角。

師：有沒有不同的分法？

生：可以按邊來(lái)分，等邊的三角形為一類，等腰的三角形為一類。

師：信封里接下來(lái)的三角形的三個(gè)角有可能分別是什么角？

生：可能是一個(gè)直角、兩個(gè)銳角。

生：可能是一個(gè)鈍角、兩個(gè)銳角。

生：可能三個(gè)都是銳角。

師：這些三角形黑板上都有，還有呢？

生：可能是一個(gè)直角、一個(gè)鈍角、一個(gè)銳角。

師：好，大家閉起眼睛想象一下，這個(gè)三角形是什么樣子，黑板上有沒有這樣的三角形？能不能嘗試畫一個(gè)這樣的三角形出來(lái)。

生：這個(gè)三角形不可能能畫出來(lái)。因?yàn)橐粋€(gè)三角形三個(gè)角的度數(shù)是180度，一個(gè)直角是90度，一個(gè)鈍角起碼有91度，加在一起就已經(jīng)有181度了，還有一個(gè)銳角沒有算進(jìn)去呢！所以，不可能有這樣的三角形。

師：他用三角形的內(nèi)角和來(lái)解釋，不存在一個(gè)直角、一個(gè)鈍角、一個(gè)銳角三角形，太棒了！

師：那就是只有黑板上的三種情況，還有第四種嗎？

生：沒有了。

師：看來(lái)在分類的時(shí)候我們一定不能遺漏了某個(gè)三角形。

師：

（從信封里抽出一個(gè)三角形，露出一個(gè)直角）這個(gè)是什么三角形？

生：直角三角形。

師：確定嗎？好，繼續(xù)（從信封里抽出一個(gè)三角形，露出一個(gè)鈍角）

生：鈍角三角形。

師：好，繼續(xù)（從信封里抽出一個(gè)三角形，露出一個(gè)銳角）

生：銳角三角形。

生：無(wú)法確定。

師：剛才前面看到一個(gè)直角或者鈍角就可以確定了，現(xiàn)在為什么無(wú)法確定了？

生：因?yàn)樗械娜切味贾辽儆袃蓚€(gè)銳角。

師：那有沒有一個(gè)三角形既是直角三角形又是銳角三角形呢？

生：不可能。因?yàn)橹苯侨切卫锩嬉欢ㄓ幸粋€(gè)是直角，而銳角三角形里面根本沒有直角。

生：是的一個(gè)三角形不可能有兩個(gè)名字的，它只有一個(gè)名字。

這樣，通過(guò)師生之間的交流，學(xué)生感受到了分類的必要性，同時(shí)，學(xué)生通過(guò)個(gè)性化的分類，領(lǐng)悟到了分類要有標(biāo)準(zhǔn)。在此基礎(chǔ)上，讓學(xué)生把握特征、合理命名，他們就能夠在內(nèi)心深處領(lǐng)晤到不重復(fù)、不遺漏這個(gè)重要的原則。

“四邊形分類”一課在北師大版《義務(wù)教育教科書。數(shù)學(xué)》上是安排在三角形分類之后的一節(jié)內(nèi)容，上課之前，我一直研讀教材并思考這樣的問題：教材在三角形的分類中是從邊和角兩個(gè)角度進(jìn)行分類的，為什么四邊形只從邊的角度進(jìn)行分類？圖形分類的思想是什么？在不斷的實(shí)踐與反思中，我發(fā)現(xiàn)三角形在角和邊上都存在特殊性，而四邊形中角沒有顯著特點(diǎn)，而邊的特點(diǎn)更為突出，繼而才有了四邊形分類從邊的特點(diǎn)研究。我從四邊形有無(wú)平行邊的特征作為切人點(diǎn)，發(fā)現(xiàn)四邊形的分類是可以從一般和特殊進(jìn)行不斷地分類。

師：觀察這八個(gè)圖形（如圖1），說(shuō)一說(shuō)有什么樣的特點(diǎn)？

生：全都是四條邊;因?yàn)橛兴臈l邊，所以都是四邊形。

師：現(xiàn)在請(qǐng)拿出剪好的八個(gè)四邊形來(lái)分分類。想想你要按照什么樣的分類標(biāo)準(zhǔn)，把你的分類標(biāo)準(zhǔn)和結(jié)果寫在草稿本上。

師：數(shù)學(xué)上將沒有對(duì)邊平行的四邊形稱為一般四邊形，就是普通的四邊形，除了四個(gè)角、四條邊、內(nèi)角和是3600之外沒有什么其他的特點(diǎn)。相對(duì)于一般的四邊形來(lái)說(shuō)，這類圖形在數(shù)學(xué)上又稱為特殊的四邊形。這類四邊形特殊在哪里？

生：特殊在對(duì)邊平行。

師：誰(shuí)來(lái)指一指這些對(duì)邊平行在哪里？

生：①有兩組對(duì)邊平行，分別是上下兩組。左右兩組;②只有一組上下對(duì)邊平行;③有兩組對(duì)邊平行;④只有一組對(duì)邊平行;⑥有兩組對(duì)邊平行;⑦也只有一組對(duì)邊平行。（生上臺(tái)邊指邊說(shuō)）

師：什么樣的四邊形叫梯形？什么樣的四邊形叫平行四邊形？

師：能不能將“只有一組對(duì)邊平行的四邊形叫梯形”這句話中的“只”去掉？

生：不能，去掉“只”的話，平行四邊形也可以叫梯形了，因?yàn)槠叫兴倪呅斡袃山M對(duì)邊平行，其中就就包括一組對(duì)邊平行了。

師：梯形和平行四邊形又可以按照一般和特殊進(jìn)行再分類，梯形可以分為一般梯形和特殊梯形，平行四邊形可以分為一般平行四邊形和特殊平行四邊形。能不能按照這個(gè)標(biāo)準(zhǔn)對(duì)這些圖形進(jìn)行再分類？

生：我是將①和⑥歸為一般四邊形。③歸為特殊四邊形，因?yàn)棰俸廷蕹藘山M對(duì)邊分別平行之外，沒有其他特殊的特征，而③除了兩組對(duì)邊分別平行之外，還有四條邊都相等。

生：你是怎么知道這四條邊都相等的？

生：通過(guò)對(duì)折可以得到這四條邊相等。（邊說(shuō)邊對(duì)折）

師：通過(guò)剛剛才的分析，我們可以知道③號(hào)圖形是特殊平行四邊形，它特殊在不僅四條邊相等，而且還有兩條對(duì)稱軸，是軸對(duì)稱圖形。

師：你們知道這個(gè)圖形叫什么嗎？

生：菱形。

師：誰(shuí)來(lái)講一講梯形的分類？

生：我是將②歸為一般梯形，④和⑦歸為特殊梯形。

師：你的分類依據(jù)是什么？

生：②很普通，除了一組對(duì)邊平行之外，沒有其他特征了，而④有兩個(gè)直角，⑦有兩腰相等。

師：數(shù)學(xué)上將④叫直角梯形，它的特殊在角上，將⑦叫直角梯形。

通過(guò)以上分析表明，只有以數(shù)學(xué)思想的具體分析來(lái)帶動(dòng)具體知識(shí)的教學(xué)，才能使學(xué)生真正感受到數(shù)學(xué)思維的力量，而不至于將數(shù)學(xué)思想看成純粹的紙上談兵、空中樓閣，只有將數(shù)學(xué)思想明確化、具體化，才能真正地發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)思維。

（責(zé)任編輯：楊強(qiáng)）