摘 要：概率公理化方法是研究概率的重要思想方法，如何正確認(rèn)識(shí)它，不僅對(duì)概率論這門學(xué)科的自身發(fā)展提供堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ)，而且對(duì)于高中概率教學(xué)也有所幫助.筆者在對(duì)概率公理化方法的發(fā)展歷史進(jìn)行回顧的基礎(chǔ)上，論述了公理化方法的意義，分析現(xiàn)在高中概率教學(xué)所出現(xiàn)的相關(guān)問(wèn)題，并據(jù)此探討了概率公理化方法對(duì)高中概率教學(xué)的啟示.

關(guān)鍵詞：概率論;高中概率;問(wèn)題;啟示

一、概率論公理化的提出

概率論起源于博弈問(wèn)題[1].15至16世紀(jì)意大利數(shù)學(xué)家帕喬利、塔塔利亞和卡爾丹的著作中曾討論過(guò)“如果兩人賭博提前結(jié)束，該如何分配賭金”等概率問(wèn)題，但是到了19世紀(jì)，由于獲得新的研究動(dòng)機(jī)以及分析方法的引入，使得概率論獲得了重要進(jìn)展.可是在發(fā)展過(guò)程中，歷史上出現(xiàn)了對(duì)概率的各種認(rèn)識(shí)，既有實(shí)體概率——概率局限于實(shí)在的物質(zhì)世界，也有主觀概率——反映了人們對(duì)某些事物的一種信任程度，是對(duì)事物的不確定性的一種主觀判斷[2].因此概率論沒(méi)能演繹成一門邏輯上完美的數(shù)學(xué)學(xué)科，它的基礎(chǔ)存在著缺陷，具體將有以下幾點(diǎn)：

1、概率論的分析方法本身沒(méi)有嚴(yán)格化

2、人們對(duì)概率這一基本概念的認(rèn)識(shí)不明確

3、頻率和概率的認(rèn)識(shí)模糊

上述這些概率的局限使得那時(shí)的人們對(duì)當(dāng)時(shí)的概率論中的一些概念和方法產(chǎn)生了疑問(wèn)，認(rèn)為概率論不是一門合理的科學(xué).于是，數(shù)學(xué)家們逐步探討解決的辦法，而數(shù)學(xué)家們總結(jié)出的解決辦法就是完善概率論自身的理論基礎(chǔ).于是，1900年希爾伯特在巴黎國(guó)際數(shù)學(xué)家大會(huì)上所作的著名的報(bào)告中的第6問(wèn)題，就呼吁把概率論公理化[3].由此，概率論公理化正式登上歷史的舞臺(tái)，并將概率論逐步變成一門嚴(yán)謹(jǐn)?shù)目茖W(xué).

二、概率論公理化的發(fā)展

最早對(duì)概率論進(jìn)行嚴(yán)格化嘗試的是俄國(guó)數(shù)學(xué)家伯恩斯坦（ C.H.Bernstein，1880-1968）和奧地利數(shù)學(xué)家米澤斯（R.vonMises，1883-1953 ）.他假定我們?cè)谧匀豢茖W(xué)中的推理是基于以往的經(jīng)驗(yàn)，只要給定的條件集合α實(shí)現(xiàn)，屬于已知類A的一個(gè)事件必然發(fā)生，這和其他因素?zé)o關(guān).然而，一般而言，一個(gè)事件不可能絕對(duì)出現(xiàn).人們不能完全確切地預(yù)言真實(shí)現(xiàn)象的行為.只有當(dāng)條件集合α不太大，而且易于觀測(cè)時(shí)，把α和A聯(lián)系起來(lái)的規(guī)律才有實(shí)際意義.如果這個(gè)條件不成立，事件A就叫做隨機(jī)事件.然后他試著引進(jìn)一個(gè)簡(jiǎn)單點(diǎn)的條件集合β來(lái)代替α，它（至少在理論上）可以重復(fù)實(shí)現(xiàn)無(wú)限多次，當(dāng)β存在時(shí)，給定試驗(yàn)中事件A以一個(gè)明確的概率發(fā)生，而且這個(gè)概率可以用數(shù)值表示.如果也定義了事件B的概率，那么下面三個(gè)關(guān)系必有一個(gè)成立：

然后，伯恩斯坦引進(jìn)了三個(gè)公理：（1）概率的可比較性公理;（2）不相容事件公理;（3）事件組合公理.前兩個(gè)公理考慮了條件集合β固定的情況.第三個(gè)公理把條件α下A的概率與不同的條件集合β下同一個(gè)事件的概率聯(lián)系起來(lái)[4].

在1933年，原蘇聯(lián)數(shù)學(xué)家柯?tīng)柲曷宸蛞缘挛某霭媪怂慕?jīng)典性著作《概率論基礎(chǔ)》.這本書中建立起了集合測(cè)度與事件概率的類比，積分與數(shù)學(xué)期望的類比，函數(shù)正交性與隨機(jī)變量獨(dú)立性的類比等等.這種廣泛的類比終于賦予了概率論以演繹數(shù)學(xué)的特征[5].

以下是概率論公理化定義：

設(shè)隨機(jī)實(shí)驗(yàn)E的樣本空間為Ω.若按照某種方法，對(duì)E的每一事件A賦于一個(gè)實(shí)數(shù)P（A），且滿足以下公理：

（1）非負(fù)性：P（A）≥0;

（2）規(guī)范性：P（Ω）=1;

（3）可列（完全）可加性：對(duì)于兩兩互不相容的可列無(wú)窮多個(gè)事件A1，A2，……，An，……，有

則稱實(shí)數(shù)P（A）為事件A的概率[6].

至此概率論就從半物理性質(zhì)的科學(xué)變成嚴(yán)格的數(shù)學(xué)分支，和所有其他數(shù)學(xué)分支一樣建立在同樣的邏輯基礎(chǔ)之上[7].

三、概率論公理化方法的意義

一是概率公理化方法具有分析、總結(jié)概率知識(shí)的作用.眾所周知當(dāng)一門科學(xué)積累了相當(dāng)豐富的經(jīng)驗(yàn)知識(shí)，需要按照邏輯順序加以綜合整理，使之條理化、系統(tǒng)化，上升到理性認(rèn)識(shí)的時(shí)候，公理化方法便是一種有效的手段.如幾何學(xué)的歷史發(fā)展，便經(jīng)歷了一個(gè)公理化的過(guò)程.

二是概率公理化方法不但對(duì)建立概率論理論體系，訓(xùn)練人的邏輯推理能力，系統(tǒng)地傳授概率知識(shí)，以及推廣概率理論的應(yīng)用等方面起到有益的作用，而且對(duì)于進(jìn)一步發(fā)展概率理論也有獨(dú)特的作用.例如在描述概率方面，在概率公理化概念提出以后，人們?cè)趯?duì)于概率的古典定義、幾何定義、頻率定義和主觀定義時(shí)，不像以前都只能在一定的場(chǎng)合下才能給出各自的確定概率的方法，現(xiàn)在就能給出準(zhǔn)確的概率定義.

三是概率公理化方法在科學(xué)方法論上具有示范作用.任何一門科學(xué)都不僅僅是搜集資料，也決不是一大堆事實(shí)及材料的簡(jiǎn)單積累，而都是有其自身的出發(fā)點(diǎn)和符合一定規(guī)則的邏輯體系.概率公理化方法對(duì)現(xiàn)代概率論及現(xiàn)實(shí)生活中的實(shí)際問(wèn)題都起到了積極的借鑒作用.在日常生活中，概率公理化的應(yīng)用也深入其中，例如車站的設(shè)立、天橋的設(shè)立以及評(píng)估產(chǎn)品質(zhì)量等等.

四是概率公理化方法在形式上所顯現(xiàn)出的簡(jiǎn)潔性、條理性以及結(jié)構(gòu)的和諧性確實(shí)符合美學(xué)上的要求，因而為數(shù)學(xué)活動(dòng)中貫徹審美原則提供了范例.學(xué)生在參與學(xué)習(xí)概率公理化方法的活動(dòng)中，不僅要讓他們接受美的熏陶，從中陶冶性格，豐富精神生活.

四、高中概率教學(xué)

4.1高中概率教學(xué)的內(nèi)容

以普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)實(shí)驗(yàn)教科書人教A版為例，高中階段學(xué)習(xí)的概率知識(shí)總體概括一下可以分為以下兩個(gè)部分：

第一部分為必修部分：概率的定義，頻率與概率的區(qū)別，互斥事件與對(duì)立事件的區(qū)別，加法公式與乘法公式，古典概型，幾何概型，隨機(jī)數(shù)的產(chǎn)生，隨機(jī)模擬方法估計(jì)概率.

第二部分選修部分：分步計(jì)數(shù)原理，排列與組合，二項(xiàng)式定理概率，超幾何分布，二項(xiàng)分布，離散型隨機(jī)變量的期望、方差.

4.2 高中概率教學(xué)中存在的問(wèn)題

在知網(wǎng)當(dāng)中，通過(guò)對(duì)“概率教學(xué)問(wèn)題”進(jìn)行文獻(xiàn)檢索，共檢索出247篇相關(guān)文獻(xiàn)，其中碩士論文為27篇，期刊為220篇.對(duì)其中提出的概率教學(xué)中存在的問(wèn)題進(jìn)行總結(jié)，大致可以分為：教師問(wèn)題、學(xué)生問(wèn)題、教材問(wèn)題三個(gè)方面.現(xiàn)總結(jié)如下：

4.2.1 教師中存在的問(wèn)題

一是教師對(duì)概率和假設(shè)邏輯檢驗(yàn)觀念不明確

在實(shí)際教學(xué)中，由于教師對(duì)概率論公理化的方法認(rèn)識(shí)不清，無(wú)法明確概率論中無(wú)異現(xiàn)象與假設(shè)邏輯檢驗(yàn)觀念，并且很多教師對(duì)假設(shè)邏輯檢驗(yàn)理解不深刻，缺乏統(tǒng)計(jì)概率的觀念，僅是主觀的想法，缺乏對(duì)學(xué)生客觀想法的認(rèn)識(shí).

二是過(guò)多采用排列組合來(lái)計(jì)算概率

大部分的教師還利用課程改革以前的授課模式，先講排列組合，再講古典概型，通過(guò)求解樣本空間總數(shù)來(lái)求概率，這樣使許多學(xué)生產(chǎn)生了固定思維方式，即求概率就是用排列組合求樣本空間，而忽略對(duì)隨機(jī)思想的理解，也缺乏對(duì)概率公理化的認(rèn)識(shí)，也就是單純的應(yīng)試教育思想，沒(méi)能真正實(shí)現(xiàn)向素質(zhì)教育思想的轉(zhuǎn)化.

三是對(duì)學(xué)生錯(cuò)誤的概率的認(rèn)識(shí)缺乏深入解釋

由于教師本身對(duì)概率的隨機(jī)性研究不夠深刻，也不能很好地向?qū)W生解釋隨機(jī)事件發(fā)生的不確定性與頻率相對(duì)穩(wěn)定性的重要性，從而使學(xué)生對(duì)隨機(jī)事件產(chǎn)生錯(cuò)誤的認(rèn)識(shí)，而這種認(rèn)識(shí)將使得他們?cè)诮鉀Q問(wèn)題過(guò)程當(dāng)中無(wú)法很好地運(yùn)用所學(xué)過(guò)的概率論知識(shí)去解答，憑借自己的主動(dòng)思維去解決問(wèn)題.

四是對(duì)概率知識(shí)結(jié)構(gòu)體系不夠明確

由于個(gè)別教師對(duì)概率論公理化的形成與發(fā)展不夠熟悉，又只是按照課本設(shè)計(jì)的內(nèi)容進(jìn)行教學(xué)，這就使得學(xué)生在學(xué)習(xí)概率知識(shí)時(shí)，弄不弄清楚來(lái)龍去脈，對(duì)概率知識(shí)沒(méi)有一個(gè)系統(tǒng)的了解，概率知識(shí)比較零散，這樣也會(huì)使得學(xué)生在遇到問(wèn)題時(shí)，不知道該怎么求解，從而造成學(xué)生的學(xué)習(xí)障礙.

4.2.2 學(xué)生中存在的問(wèn)題

一是對(duì)隨機(jī)概念的理解存在問(wèn)題

由于學(xué)生對(duì)不清楚概率的由來(lái)，所以往往在處理隨機(jī)問(wèn)題時(shí)以主觀代替客觀，常常以公平、可能性等詞語(yǔ)來(lái)表達(dá)隨機(jī)的意思，不能正確理解隨機(jī)事件的不確定性與頻率發(fā)生的穩(wěn)定性，從而在解決問(wèn)題中產(chǎn)生錯(cuò)誤的想法.

二是對(duì)概率當(dāng)中為0和1的事件理解不夠準(zhǔn)確

“概率為零的事件一定為不可能事件，概率為一的事件一定是必然事件”，這是在實(shí)際調(diào)查當(dāng)中所遇到的最多的錯(cuò)誤認(rèn)識(shí)，不可能事件概率一定為零，必然事件的概率一定為一，反之并不一定成立，我們不妨通過(guò)這樣去理解：比如一顆豆子掉在操場(chǎng)的某處A，由于坐標(biāo)是某一個(gè)點(diǎn)A，而全集是一個(gè)面積，所以概率就為零，但并非不可能事件.還有比如一個(gè)點(diǎn)隨機(jī)落在一個(gè)圓中，這個(gè)點(diǎn)落不到圓心的概率為：出去圓心外圓的面積比上整個(gè)圓的面積等于1，但是這個(gè)點(diǎn)有可能剛好落在圓心，并且概率為零.

三是在隨機(jī)事件中，對(duì)基本事件的取法唯一

在學(xué)習(xí)過(guò)程中，學(xué)生對(duì)基本事件當(dāng)中“基本”的含義理解不深刻，基本二字是針對(duì)具體的實(shí)驗(yàn)要求與目標(biāo)而言的，而不是具體不變的，任何一個(gè)事件按不同的要求都可以劃分為不同的基本事件，這也是概率論公理化所解釋的問(wèn)題之一，然而學(xué)生在剛學(xué)習(xí)基本事件這一概念的時(shí)候，由于對(duì)概率論公理化不夠了解，解題的思路又有所局限，加之教師沒(méi)有講解公理化的由來(lái)，就會(huì)使得學(xué)生認(rèn)為選取基本事件是唯一不變的.

四是混用概率當(dāng)中的加法與乘法公式

相互獨(dú)立事件與互斥事件是是學(xué)生最容易搞混的知識(shí)點(diǎn)之一，由于對(duì)公理化的描述不夠重視，理解不夠深入，學(xué)生極易將兩者混淆，因此學(xué)生在解決問(wèn)題時(shí)一味的套用公式計(jì)算去判斷或者憑借自己的主觀想法去判斷.

五是忽略條件概率

在計(jì)算概率時(shí)，學(xué)生最容易忽略的一個(gè)問(wèn)題就是審題不清，在題目中往往設(shè)置陷阱——條件概率.條件概率是指事件A在另外一個(gè)事件B已經(jīng)發(fā)生條件下的發(fā)生概率.條件概率表示為：，讀作 “在B條件下A的概率”.（條件概率就是概率公理化的形成公式之一）例如：一對(duì)夫妻有兩個(gè)小孩，已知其中一個(gè)是女孩，則另一個(gè)是女孩子的概率是多少？解：，夫妻有兩個(gè)小孩，那么它的樣本空間為女女，男女，女男，男男，則為1/4，=1-=3/4，所以最后等于1/3.

4.2.3 課程本身的缺陷

雖然在新課程改革后對(duì)課程標(biāo)準(zhǔn)對(duì)概率的要求進(jìn)行了修改和完善，但是具體的要求還是比較抽象，缺乏具體的教學(xué)指導(dǎo)，例如在新課程中要求教師對(duì)概率教學(xué)要重視概率的實(shí)際應(yīng)用，要求學(xué)生在實(shí)踐中明白概率的思想及教育價(jià)值，但是首先在課程中并沒(méi)有安排具體的課時(shí)，其次在課本中也沒(méi)有有關(guān)概率思想這一內(nèi)容作為補(bǔ)充，所以就會(huì)導(dǎo)致許多老師不重視概率論的形成與發(fā)展，依然保持著講概念再練題的模式.

通過(guò)對(duì)上述三個(gè)方面存在的問(wèn)題進(jìn)行總結(jié)概括可以發(fā)現(xiàn)，絕大部分的問(wèn)題都是出現(xiàn)在對(duì)于概率相關(guān)概念認(rèn)識(shí)不清所造成的，又由于概率公理化的意義就在于理清概率的相關(guān)概念，所以在此基礎(chǔ)上筆者認(rèn)為利用概率公理化的方法對(duì)概率相關(guān)概念進(jìn)行解釋，可以有效解決有關(guān)概念不清所導(dǎo)致的問(wèn)題，讓教師和學(xué)生能夠更好地進(jìn)行概率的教與學(xué).

五、概率論公理化對(duì)高中概率教學(xué)的啟示

5.1 對(duì)教師的啟示

隨著課程的不斷改革，教師也需要改變傳統(tǒng)的概率教學(xué)觀念，明確概率教學(xué)的目標(biāo)與要求，著重培養(yǎng)學(xué)生公理化思想.在此針對(duì)高中概率教學(xué)中存在的誤區(qū)，給出了以下建議：

一是加強(qiáng)概念的教學(xué)，并在其中引公理化的思想

高中概率的學(xué)習(xí)其本身就存在抽象性，除此之外概率的概念也不容易理解，所以這一點(diǎn)上讓很多學(xué)生和老師頭疼，所以教師更應(yīng)該加強(qiáng)概率論中有關(guān)概念的學(xué)習(xí)，對(duì)概念進(jìn)行新的詮釋，讓學(xué)生能夠更好地理解以及應(yīng)用.概念的充分理解是學(xué)生處理概率問(wèn)題的基礎(chǔ)，同時(shí)也對(duì)養(yǎng)成好的學(xué)習(xí)習(xí)慣起了鋪墊作用，所以教師應(yīng)該在上課過(guò)程中詳細(xì)的向?qū)W生解釋概率論中相關(guān)概念的意義.比如：必然事件、不可能事件、互斥事件、對(duì)立事件等等，但是如何更好地解釋相關(guān)概念呢？在此，教師可以利用概率公理化的思想，利用學(xué)生已熟知的公理，去理解相關(guān)概念.例如：理解必然事件的概率為1.就可以利用公理化的思想進(jìn)行轉(zhuǎn)換，設(shè)隨機(jī)實(shí)驗(yàn)E的樣本空間為Ω，則P（Ω）=1;通過(guò)公理化的方法也能夠讓學(xué)生對(duì)概念有更深的理解，也能夠利用代數(shù)的方法解釋相關(guān)概念，而不是一味的死記硬背.

二是重視知識(shí)系統(tǒng)化、全面化

要想讓學(xué)生對(duì)概率知識(shí)有深層的理解就必須把知識(shí)系統(tǒng)化，而不是零零散散，只有將知識(shí)系統(tǒng)化學(xué)生才會(huì)學(xué)著輕松，對(duì)整個(gè)概率知識(shí)結(jié)構(gòu)一目了然.在整理概率的知識(shí)系統(tǒng)時(shí)，應(yīng)該講公理化的方法融入其中，因?yàn)楦怕使砘男纬芍v概率變成了一門科學(xué)的學(xué)科，也正因?yàn)橛辛斯砘怕什庞辛搜芯糠椒?，正確的定義.教師決不能抱有概率的學(xué)習(xí)很簡(jiǎn)單，概率的發(fā)展史考試又不考，只要會(huì)做題就可以的心態(tài)，教師必須要改變傳統(tǒng)的教學(xué)模式，學(xué)習(xí)一個(gè)知識(shí)就要搞清知識(shí)的來(lái)龍去脈，這樣不能能夠提高學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，而且更能讓學(xué)生加深對(duì)概率的認(rèn)識(shí)，能夠更好地運(yùn)用在實(shí)際生活當(dāng)中.

5.2 對(duì)學(xué)生的啟示

一是整體理解概率，完善認(rèn)知結(jié)構(gòu)

在概率知識(shí)學(xué)習(xí)的過(guò)程中，學(xué)生要對(duì)自身的知識(shí)做出及時(shí)的評(píng)價(jià)和必要的調(diào)整.認(rèn)知結(jié)構(gòu)是學(xué)生在認(rèn)識(shí)客觀事物和掌握知識(shí)的過(guò)程中逐步形成的整體結(jié)構(gòu)，是學(xué)生的認(rèn)識(shí)活動(dòng)順利進(jìn)行的心理機(jī)制，一般來(lái)說(shuō)，它是由教材中的知識(shí)結(jié)構(gòu)內(nèi)化而形成的.概率知識(shí)結(jié)構(gòu)是概率學(xué)習(xí)內(nèi)容中的基本概念、基本公式、基本觀念和基本方法的組織形式和相互聯(lián)系.學(xué)習(xí)任何知識(shí)，都不能將知識(shí)孤立的隔裂開(kāi)來(lái)，尤其是概率知識(shí)十分講究?jī)?nèi)在邏輯性和整體性，要求學(xué)生應(yīng)該從概率論公理化的發(fā)展著手，利用公理化的方法研究概率的相關(guān)問(wèn)題.

二是更多地訓(xùn)練利用概率論公理化的方法解決概率問(wèn)題

由于初中教材設(shè)計(jì)概率的相關(guān)知識(shí)與運(yùn)算，而且初中的概率問(wèn)題所涉及的實(shí)驗(yàn)結(jié)果也比較少，導(dǎo)致大部分的學(xué)生習(xí)慣利用樹(shù)狀圖和列表的方法來(lái)解決概率的相關(guān)問(wèn)題，但是進(jìn)入高中以后，概率問(wèn)題的實(shí)驗(yàn)結(jié)果數(shù)目比較多，致使大部分的學(xué)生無(wú)法列出表格或者畫出樹(shù)狀圖，從而造成學(xué)習(xí)概率知識(shí)的困難.由于高中已經(jīng)涉及概率公理化的知識(shí)，并且概率論公理化的方法也是解決概率問(wèn)題的根本方法，所以學(xué)生應(yīng)該更多地利用概率公理化的方法解決概率問(wèn)題.比如：某袋中有大小相同的紅球2個(gè)，白球4個(gè)，求甲一次取兩個(gè)同色的概率？公式法：一次性取出兩個(gè)球，可以看作先拿出一個(gè)，不放回再拿一個(gè)，所以第一次拿出白球的概率為，第二次拿出白球的概率為，第一次拿出紅球的概率為，第二次拿出紅球的概率為，所以兩次取出同色的概率為

通過(guò)對(duì)上述兩個(gè)方法進(jìn)行比較，可以看出公理化的簡(jiǎn)單明確，列表法雖然可以清楚的看出數(shù)量關(guān)系，但是如果數(shù)據(jù)一多就很不容易列表，至此也希望高中學(xué)生在解決概率問(wèn)題時(shí)，多利用概率論公理化的方法.

5.3 對(duì)教材的啟示

教材是學(xué)生學(xué)習(xí)知識(shí)的來(lái)源之一，教材也是以課程標(biāo)準(zhǔn)為基礎(chǔ)，鑒于上述的分析，筆者認(rèn)為在教材的編寫上應(yīng)該適當(dāng)增加概率論公理化及其性質(zhì)推導(dǎo)的部分，可以利用文氏圖展現(xiàn)的方式，讓學(xué)生能夠像學(xué)習(xí)幾何那樣，能夠直觀的理解概率公理化的內(nèi)容與性質(zhì)，也可以讓學(xué)生在學(xué)習(xí)概率知識(shí)時(shí)有跡可循，在引言中提及概率公理化思想，淡化學(xué)生傳統(tǒng)的計(jì)算思想，多增加一些關(guān)于發(fā)散思維的趣味知識(shí)，增強(qiáng)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，緩解課堂氛圍，或是多增加一些概率論公理化的史學(xué)知識(shí)等，讓學(xué)生親自去體會(huì)概率論公理化的發(fā)生和發(fā)展過(guò)程，逐步提升學(xué)生學(xué)習(xí)概率知識(shí)的興趣和解決概率問(wèn)題的能力.

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作者簡(jiǎn)介：杜劍南，甘肅蘭州人，西北師范大學(xué)教育學(xué)院碩士研究生，研究方向?yàn)椋簲?shù)學(xué)教學(xué)論.