于靜 楊立敏 王晶晶

摘 要：為提高學(xué)生學(xué)習(xí)高等數(shù)學(xué)的興趣，加深對定積分定義的理解，文章為應(yīng)用型石油類高等學(xué)校的學(xué)生設(shè)計了一個教學(xué)案例。此案例將高數(shù)與專業(yè)課有機(jī)的結(jié)合在一起，提高了學(xué)生的學(xué)習(xí)動力。

關(guān)鍵詞：應(yīng)用型；高等數(shù)學(xué)；教學(xué)案例；定積分概念

中圖分類號：G642 文獻(xiàn)標(biāo)志碼：A 文章編號：2096-000X（2019）01-0091-03

Abstract： In order to enhance students' interest in learning advanced mathematics and deepen their understanding of the definition of definite integral， the article designed a teaching case for students of applied petroleum colleges. This case organically combines higher mathematics with specialized courses to improve their learning motivation.

Keywords： applied； higher mathematics； teaching case； definition of definite integral

一、概述

高等數(shù)學(xué)作為一門公共必修基礎(chǔ)課程在理工科類專業(yè)的教育中占有重要的地位。它不僅是學(xué)生學(xué)習(xí)專業(yè)課的重要工具，而且對于培養(yǎng)學(xué)生的邏輯思維能力、抽象思維能力、分析問題以及解決問題的能力都有不容忽視的作用[1]。可是由于其具有高度抽象、推理嚴(yán)密的特點(diǎn)，一直被非數(shù)學(xué)類專業(yè)的學(xué)生認(rèn)為是一門枯燥乏味、難以理解、學(xué)起來很吃力的一門課程。目前高等數(shù)學(xué)教學(xué)大都采用“概念定理講解—例題講解—課后練習(xí)—習(xí)題講解”這一傳統(tǒng)的數(shù)學(xué)教學(xué)模式。這一模式對于理解定義，提高計算能力有著不容忽視的作用。但是一般的高等數(shù)學(xué)教材上的例題都比較古老（例如，導(dǎo)數(shù)定義例子是變速直線運(yùn)動，定積分例子還是變速直線運(yùn)動）缺乏新意，與學(xué)生所學(xué)專業(yè)聯(lián)系不緊密，很難提高學(xué)生學(xué)習(xí)高等數(shù)學(xué)的興趣。如何尋找一系列跟學(xué)生專業(yè)、生活相關(guān)實(shí)例，讓學(xué)生直觀的意識到高等數(shù)學(xué)的作用，提高學(xué)生學(xué)習(xí)高等數(shù)學(xué)的興趣迫在眉睫。

二、“定積分”概念的教學(xué)案例

定積分是高等數(shù)學(xué)積分部分的基礎(chǔ)概念，它除了向?qū)W生介紹何為定積分更重要的是要向?qū)W生傳授積分重要的思想方法“元素法”，即“分割、近似代替、求和、取極限”[2]。學(xué)生如果將定積分的概念理解透徹了，在后續(xù)的二重積分、三重積分以及線面積分的理解上會達(dá)到事半功倍的效果。但是在一般的教材中，為簡單清晰描述這一思想方法，采用的例子均是“變速直線運(yùn)動求路程”以及“曲邊梯形求面積”。由于例子陳舊不新穎且沒有專業(yè)背景，學(xué)生學(xué)習(xí)起來會感覺到乏味，體會不到定積分在專業(yè)學(xué)習(xí)中的重要作用。因此，在學(xué)生理解了以上兩個經(jīng)典案例的基礎(chǔ)上，尋找一個具有學(xué)生所學(xué)專業(yè)背景相關(guān)的應(yīng)用實(shí)例，既可以加深學(xué)生對概念的理解又可以提高學(xué)生分析問題解決問題的能力，更能讓學(xué)生切身體會到“高等數(shù)學(xué)不是空洞的理論推導(dǎo)”，而是可以令他們專業(yè)學(xué)習(xí)更上一層樓的工具。因此，針對石油類院校的學(xué)生，筆者總結(jié)了一個具有石油勘探開發(fā)背景的實(shí)例——“上覆地層壓力的求取”。

（一）背景介紹

一般來講石油存在于地下巖石的孔隙中，這些孔隙有時是各自為營、不連通的，此時要獲得工業(yè)油流，需要對地層進(jìn)行人為干預(yù)改造，讓不連通的孔隙連通起來，即對地層進(jìn)行壓裂人為造縫。地層壓裂的方式和效果與地層的破裂壓力密切相關(guān)，所以在確定壓裂方式之前必須進(jìn)行破裂壓力分析。

迄今為止，計算地層的破裂壓力的主流方法都是根據(jù)上覆巖層壓力、地層孔隙壓力以及利用它們之間的關(guān)系計算得出的。這里主要講的就是上覆巖層壓力的計算。

上覆巖層壓力（overburden pressure）[3]，又稱積土壓力或地靜壓力，是指覆蓋在該地層以上的巖石骨架及其巖石的孔隙中流體的總重量造成的壓力，方向豎直向下。用P表示（實(shí)際上是壓強(qiáng)的概念）表示。具體的說就是，地下某一深處的上覆巖層壓力就是指該點(diǎn)以上至地面地層的重力施加于該點(diǎn)的壓力。若地層是均質(zhì)的、密度為？籽，則深度為H的點(diǎn)處上覆巖層壓力P的計算公式[4]為：

P=？籽×H×g （1）

其中g(shù)是重力加速度；H上覆巖層的垂直深度，單位 m；？籽是深度為H的點(diǎn)以上的地層的平均密度，單位為kg/m3。

實(shí)際上，我們知道深度不同構(gòu)成地層的巖石以及巖石孔隙里的流體也是不同的，即便是同一深度相隔一段距離的地層，其密度也是不同的，此時如何求上覆地層的壓力呢？

（二）解決問題

考慮到如果所求深度點(diǎn)上覆巖層的密度是均勻，那么此時上覆巖層壓力可以直接利用公式（1）計算。但是，若的地層密度為？籽（h）（h是深度單位米，？籽（h）可以通過測井儀器得到準(zhǔn)確值），那么求地層中某距地面深度為H的點(diǎn)的上覆巖層壓力P的難度就在于地層的密度不是均勻的，是變化的、非均勻的，甚至有的地方是突變的。假如，地層的密度變化是連續(xù)的此時受定積分定義的啟發(fā)，自然就可以考慮微元法。

具體步驟如下：

1. 分割

將所求的地層任意分成 n層，其中第i層厚度為？駐hi（i=1，2，3，…，n），上覆地層的壓力可以分解成n份，則P= ？駐Pi（其中第i份為？駐Pi）。

2. 近似代替

3. 求和

4. 取極限

其中？籽（h）在石油勘探中可以通過測井技術(shù)測得，如圖1中第三道曲線DEN即為？籽（h）。

上述分析中，我們假設(shè)地層密度變化總是連續(xù)的，可是如果地層中密度發(fā)生了突變，如圖2所示，密度在大約4282米處突然降低到1.95g/cm3以下，此時又怎么求上覆巖層壓力呢？

考慮到定積分的性質(zhì)區(qū)間可加性，即在發(fā)生突變的深度段拆分即可。

（三）實(shí)際應(yīng)用

油田現(xiàn)場應(yīng)用中，由于成本及技術(shù)原因，地表下幾百米，即表層部分一般不進(jìn)行測井，由于其厚度薄，對地層壓力貢獻(xiàn)小一般是直接利用？籽平均gh0（計算，h0是表層的厚度，？籽平均是表層的平均密度。

事實(shí)上，我們看到的圖1中的密度曲線是由深度間隔為0.125m的點(diǎn)用插值方法畫出的插值曲線，密度的實(shí)際測量數(shù)據(jù)如表1。

所以，在實(shí)際計算中可直接利用？駐x=0.125，這樣一個對深度區(qū)間均分的情況下的積分和進(jìn)行定積分的近似計算。

例如，某井區(qū)近地表地層厚度約600m，平均密度1.9g/cm3，測井密度從514m開始至3000m測井測量的密度數(shù)據(jù)（部分?jǐn)?shù)據(jù)）見表1，求深度3000m處，上覆巖層的壓力是多少？答案： 62.63762MP。

三、案例的教學(xué)反思

定積分的概念是整個積分學(xué)的基礎(chǔ)概念，學(xué)生需要透徹的理解并熟練的掌握這一概念，需要深刻的理解元素法。只有這樣，才能學(xué)會用元素法的思想將一個量表達(dá)成定積分的分析方法，才能為后續(xù)的二重積分三重積分甚至線面積分的概念打牢基礎(chǔ)。因此，學(xué)生不能僅僅被動的接受教材與老師的講解，要在理解教材及老師的講解的基礎(chǔ)上，緊密結(jié)合專業(yè)課，用所學(xué)的知識現(xiàn)場解決專業(yè)問題，將數(shù)學(xué)課程與專業(yè)課程緊密的聯(lián)系到一起，這樣既能加深概念的理解還能提高學(xué)生學(xué)習(xí)積極性，打破有些學(xué)生的認(rèn)為“只有需要考研深造的人才需要學(xué)好數(shù)學(xué)，其他的人只要及格就完事大吉”的思想誤區(qū)，讓絕大多數(shù)同學(xué)重視數(shù)學(xué)，喜歡數(shù)學(xué)，發(fā)現(xiàn)學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的樂趣。

需要注意的是，課堂上選擇的專業(yè)或生活實(shí)例不能過于復(fù)雜要簡單直觀，否則會適得其反。

參考文獻(xiàn)：

[1]劉庚.經(jīng)管類高等數(shù)學(xué)課堂教學(xué)的優(yōu)化[J].高教學(xué)刊，2017，6：96-99.

[2]同濟(jì)大學(xué)數(shù)學(xué)系.高等數(shù)學(xué)（第七版）[M].北京：高等教育出版社，2014：274.

[3]陳碧玨.油礦地質(zhì)學(xué)[M].北京：石油工業(yè)出版社，1987：277.

[4]紀(jì)友亮，張立強(qiáng).油氣田地下地質(zhì)學(xué)[M].同濟(jì)大學(xué)出版社，2007：204.