王舉者

摘 要：三角函數(shù)是高中數(shù)學(xué)的重點(diǎn)和難點(diǎn)，貫穿整個(gè)高中數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)過(guò)程。學(xué)好三角函數(shù)，會(huì)解三角函數(shù)相關(guān)試題，一方面有助于提高學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的積極性，另一方面還能樹立學(xué)生在作答數(shù)學(xué)試卷時(shí)的解題信心。本文結(jié)合自身在三角函數(shù)的學(xué)習(xí)過(guò)程中遇到的問(wèn)題和困難，總結(jié)和歸納相關(guān)學(xué)習(xí)和解題經(jīng)驗(yàn)，以期為大家提供三角函數(shù)的學(xué)習(xí)參考。

關(guān)鍵詞：高中數(shù)學(xué);三角函數(shù);問(wèn)題;方法

一、高中數(shù)學(xué)三角函數(shù)學(xué)習(xí)過(guò)程中的困難

三角函數(shù)的學(xué)習(xí)主要是對(duì)三角函數(shù)的公式及性質(zhì)的學(xué)習(xí)。但由于各種公式變換以及每個(gè)公式中自變量取值范圍的不同，在應(yīng)用三角函數(shù)時(shí)容易出現(xiàn)混淆公式的情況，主要表現(xiàn)在以下幾點(diǎn)。一是三角函數(shù)圖像與性質(zhì)相結(jié)合的問(wèn)題，包括正弦余弦圖像的區(qū)別及聯(lián)系、相位的變化、圖像上各個(gè)特殊點(diǎn)與解析式的聯(lián)系等。二是三角函數(shù)公式及其變形式的相互轉(zhuǎn)換應(yīng)用，比如通過(guò)運(yùn)用三角函數(shù)的基本恒等式，例如、、等等對(duì)問(wèn)題的化簡(jiǎn)。三是三角函數(shù)的多組誘導(dǎo)公式、積化和差、和差化積、半角公式和萬(wàn)能公式，這些公式看上去復(fù)雜難記，但通過(guò)基本公式以及函數(shù)的性質(zhì)也可以自行推導(dǎo)得出。四是三角函數(shù)的函數(shù)性質(zhì)，單調(diào)性、奇偶性、周期性以及圖像的對(duì)稱性，結(jié)合圖像來(lái)看這些性質(zhì)相對(duì)來(lái)說(shuō)更加簡(jiǎn)便，因此在解決問(wèn)題過(guò)程中運(yùn)用三角函數(shù)的圖像及單位圓是十分快速的方法。

二、三角函數(shù)解題易錯(cuò)點(diǎn)

在進(jìn)行三角函數(shù)習(xí)題求解過(guò)程中，可能會(huì)遇到很多“陷阱”。結(jié)合筆者的錯(cuò)題集，挑選出幾道典型的三角函數(shù)易錯(cuò)題，將易錯(cuò)點(diǎn)進(jìn)行分類。

（一）單位圓與任意角問(wèn)題：

例1.下列命題正確的是（）

A.α、β都是第二象限角，若sinα>sinβ，則tanα>tanβ

B.α、β都是第三象限角，若cosα>cosβ，則sinα>sinβ

C.α、β都是第四象限角，若sinα>sinβ，則tanα>tanβ

D.α、β都是第一象限角，若cosα>cosβ，則sinα>sinβ

解析：在此題中解題思維應(yīng)利用三角函數(shù)的單調(diào)性，可充分利用單位圓畫圖來(lái)對(duì)應(yīng)三角函數(shù)的數(shù)值大小，通過(guò)數(shù)形結(jié)合解出此題。筆者當(dāng)時(shí)所犯錯(cuò)誤是將角的三角函數(shù)值所對(duì)應(yīng)的三角函數(shù)線簡(jiǎn)單的看做了線段的長(zhǎng)度，概念不清。當(dāng)弄清概念，畫出正確的圖像后，不難發(fā)現(xiàn)此題正確答案是C選項(xiàng)。

（二）圖像變換中周期變換和相位變換易混淆問(wèn)題：

例2.要得到函數(shù)y=sin（3x-π/4）的圖像，需將函數(shù)y=sin（x/3）的圖像做怎樣的變換？

解析：y=sin（x/3）變換成y=sin3x是把每個(gè)x值縮小到原來(lái)的1/9倍，易錯(cuò)認(rèn)為是擴(kuò)大到原來(lái)的9倍，再將y=sin3x平移到y(tǒng)=sin（3x-π/4）時(shí)的方向也易出錯(cuò)，這里還需注意平移的單位。在此題中變換有兩種形式，其一是先進(jìn)行周期變換即將y=sin（x/3）的圖像上各點(diǎn)縱坐標(biāo)不變，橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉?lái)的1/9倍得到y(tǒng)=sin3x的圖像，再保持縱坐標(biāo)不變，橫坐標(biāo)向右平移π/12單位得到目標(biāo)函數(shù)。其二是先進(jìn)行相位變換，即先平移圖像再縮小橫坐標(biāo)。

（三）關(guān)于多個(gè)輔助公式的應(yīng)用中角的取值范圍：

例3.若，，且α、β均為銳角，求α+β的值。

解析：若在此題中用α+β的正弦計(jì)算，由于正弦函數(shù)在（0，π）區(qū)間的不單調(diào)會(huì)使結(jié)果出現(xiàn)兩個(gè)，但余弦就不會(huì)出現(xiàn)此類問(wèn)題。因此，可以通過(guò)計(jì)算，由兩者均為銳角可得，，則運(yùn)用cos（α+β）的展開公式可得結(jié)果為，，且（α+β）∈（0，π），故α+β=4/π。

三、三角函數(shù)學(xué)習(xí)方法和解題經(jīng)驗(yàn)

三角函數(shù)的學(xué)習(xí)總是緊緊圍繞著幾個(gè)中心公式，適當(dāng)采取一些口訣幫助記憶，例如“奇變偶不變，符號(hào)看象限”，可以有效的幫助分清在單位圓中正余弦函數(shù)的不同。不過(guò)，僅僅靠死記硬背還是欠缺火候，理解三角函數(shù)各公式的內(nèi)涵才能在解題過(guò)程中對(duì)公式靈活運(yùn)用。

首先要了解三角函數(shù)的整個(gè)知識(shí)框架。理清每個(gè)知識(shí)點(diǎn)之間的聯(lián)系和區(qū)別十分必要，尤其在面對(duì)綜合性比較強(qiáng)的問(wèn)題時(shí)，能夠快速找到各個(gè)條件之間的關(guān)聯(lián)并合理運(yùn)用時(shí)，解出該題就已經(jīng)成功了一大半。

其次，關(guān)于與的應(yīng)用與推廣。，因此我們可以得到，從而可以推出。同時(shí)還有tanα·cotα=1;sinα·cscα=1，cosα·secα=1，記住這幾個(gè)倒數(shù)公式也有助于我們推導(dǎo)其他公式。

最后，幾類常見(jiàn)三角函數(shù)求解問(wèn)題可用如下小技巧：見(jiàn)“知1求5”問(wèn)題，構(gòu)造，用勾股定理;見(jiàn)“切割”問(wèn)題，轉(zhuǎn)換成“弦”的問(wèn)題;見(jiàn)齊次弦，“化弦為一”;見(jiàn)“正弦值或角的平方差”形式，啟用“平方差”公式;見(jiàn)“求最值、值域”問(wèn)題，啟用有界性，或者輔助角公式;見(jiàn)“高次”，用降冪，見(jiàn)“復(fù)角”，用轉(zhuǎn)化。

四、總結(jié)

其實(shí)當(dāng)掌握了三角函數(shù)的學(xué)習(xí)方法，熟悉了三角函數(shù)正確的解題技巧，就會(huì)發(fā)現(xiàn)三角函數(shù)并沒(méi)有想象中那么難。總之，在學(xué)習(xí)三角函數(shù)過(guò)程中，要善于總結(jié)，學(xué)會(huì)舉一反三。尤其是三角函數(shù)中幾個(gè)重要的公式，不僅要時(shí)刻牢記在心，還要學(xué)會(huì)靈活應(yīng)用，找到解題的關(guān)鍵，明確其考點(diǎn)，拿到該得的分，取得理想的成績(jī)。

參考文獻(xiàn)

[1]魏大錚.淺析高中數(shù)學(xué)三角函數(shù)解析技巧[J].科技風(fēng)，2017（3）：241-241.

[2]徐靖鴻.高中階段數(shù)學(xué)三角函數(shù)學(xué)習(xí)心得的幾點(diǎn)體會(huì)[J].高中生學(xué)習(xí)，2017（12）：195-196.

[3]劉博，鄭利雙.高中數(shù)學(xué)三角函數(shù)的學(xué)習(xí)心得[J].高考，2015（12）.