張瓊 杜永峰 程選生

摘? 要：彈性力學是高校本科教育中工程科專業(yè)的一門較復雜的專業(yè)基礎理論力學課程，由于引入了大量的數(shù)學理論，特別是偏微分方程的邊值問題，學生普遍反映該門課程枯燥難學。基于可視化教學的特點，以孔邊應力集中為例，利用Matlab數(shù)學計算軟件把抽象彈性力學問題以圖像形式直觀化，探討可視化教學方法在彈性力學教學中的應用，以激起學生學習興趣，培養(yǎng)學生創(chuàng)新能力。

關鍵詞：彈性力學;偏微分方程;可視化;學習興趣

中圖分類號：G642 文獻標識碼：A 文章編號：2096-000X（2019）18-0061-03

Abstract： Elastic mechanics is a more complex professional basic course of theory mechanics in the undergraduate education. Due to the introduction of a large number of mathematical theories， in particular differential equations with boundary value problems， students generally reflect that the course is boring and difficult. Based on the characteristics of visual teaching， taking the stress concentration at the hole edge as an example， the abstract elasticity problems are visualized in the form of images by using MATLAB mathematical calculation software. The application of visual teaching method in the teaching of Elastic mechanics is discussed in order to arouse students' interest in learning and cultivate students' innovative ability.

Keywords： elastic mechanics; partial differential equations; visualization; learning interest

彈性力學是固體力學的一個分支，致力于解決彈性體由于外力作用、邊界約束或溫度改變等原因而發(fā)生的應力、形變和位移，是土木工程專業(yè)的一門理論性與應用性都很強的基礎課程[1-2]。通過該課程的學習能夠培養(yǎng)學生邏輯思維及分析和解決工程實際問題的能力。由于彈性力學課程引入了大量的數(shù)學理論，使該課程具有理論性強、概念抽象、邏輯嚴謹、直觀性差、公式推導多及對數(shù)學基礎知識要求較高等明顯特點[3-4]。而在彈性力學課程學習和講授過程中，學生普遍反映該門課程枯燥難學，知識點復雜、抽象、難以理解，提不起學習興趣，是公認的是學生難學、老師難教的課程[5-6]。本文利用MATLAB強大的數(shù)值計算和圖形顯示功能特點[7]，將其引入到彈性力學的教學實踐中，可以很方便地繪制出彈性體的應力、形變和位移分布圖，將理論知識直觀地呈現(xiàn)出來，實現(xiàn)可視化教學，便于學生理解并加深認識，增強教學效果。

一、彈性力學教學現(xiàn)狀及存在的問題

彈性力學致力于尋求構(gòu)件和結(jié)構(gòu)在彈性變形階段的位移、應變和應力分布，是“材料力學”和“結(jié)構(gòu)力學”中桿件基本變形和受力分析理論的推廣及一般化，研究也由單一的桿件擴展到了桿件、板殼和實體。當前，我國高等工科院校的主流彈性力學教材是徐芝綸教授編著的《彈性力學》和《彈性力學簡明教程》，以此為基礎的彈性力學教學內(nèi)容和組織體系主要包括彈性力學的基本概念和基本假設、平面問題的基本理論、直角坐標解法和極坐標解法、空間問題的基本理論和解答、薄板彎曲問題以及差分法、變分法和有限元法介紹等。教學從靜力學、幾何學和物理學三個方面考慮，經(jīng)過嚴密的數(shù)學推導，建立微分方程和邊界條件，把問題歸結(jié)為偏微分方程組邊值問題。

由于偏微分方程邊值問題的復雜性，能直接求出解析解的問題非常有限，而教學內(nèi)容則著重于求解簡單典型彈性力學問題的解析解[8-9]。解析解的求解讓學生對所研究對象的彈性力學特性有更加全面的認識，對于人們認識問題的本質(zhì)，發(fā)現(xiàn)事物的原理仍起著不可替代的作用，是科學理論進步的一項重要工具。但是這些解析解大多采用逆解法或半逆解法求得，其中應力或位移函數(shù)的選取往往比較抽象，技巧性強。教師在彈性力學解析解的講解中有大量的數(shù)學推導和驗算，涉及到微積分和與之相關的微分方程等知識，導致學生需要花費大量時間與精力來接受數(shù)學推導，使得學生在學習過程中往往迷失在數(shù)學推導中，找不到重點，甚至等到課程結(jié)束，以至于很多學生學完整門課程都弄不清幾個應力分量之間存在什么樣的關系，更難以將抽象的力學計算模型與工程實際構(gòu)件聯(lián)系起來，進而認為彈性力學理論抽象，數(shù)學推導麻煩，課程枯燥乏味。另外，土木類專業(yè)所面臨的現(xiàn)代工程結(jié)構(gòu)問題大多為復雜的結(jié)構(gòu)體系，求解域的幾何形狀，邊界條件和荷載形式都比較復雜，彈性力學經(jīng)典解析解法存在很大的局限性，從而使學生普遍認為彈性力學解決實際工程的能力遠不如材料力學和結(jié)構(gòu)力學。以上導致學生學習彈性力學的熱情不高，學習效果不理想，綜合分析解決工程實際問題或從事科研活動的能力不足。

二、可視化在彈性力學教學中的探討

如何把抽象的彈性力學問題直觀化，從復雜而且繁瑣的公式推導中走出來，調(diào)動學生學習彈性力學課程的興趣和熱情，使學生能夠深刻認識彈性力學在工程應用領域的重要性顯得尤為重要。彈性力學問題是數(shù)學物理方程的邊值問題，盡管數(shù)學物理方法的公式通常都有明確的物理意義，可是怎么能夠使學生從讓人眼花繚亂的數(shù)學表達式中看出其中所表達的物理圖像，恐怕學生會感覺困惑，教師也難免覺得棘手。由此不難理解，為什么許多學生都覺得彈性力學太枯燥乏味了。如何讓這些公式中的物理圖像展現(xiàn)出來，讓這些無言的公式“開口說話”，這正是應關注的問題。顯然，這個問題離不開數(shù)值計算及其可視化，利用可視化技術可以把抽象的彈性力學問題直觀化，進而增加學生對理論的感性認識，提高學生學習的興趣。

在教學過程中利用有限元軟件進行數(shù)值計算，通過圖表的形式可以直觀地展現(xiàn)彈性力學問題的理論解答，學生在聽取了基本理論的講解后能夠看到生動形象的圖表演示，從而直觀地看到理論的表現(xiàn)，既能加深對理論的理解，又能提高其學習的積極性。但常用的大型有限元軟件安裝以及計算過程對電腦硬件要求比較高，不利于學生課下操作練習。更重要是，多數(shù)大型有限元軟件開放性不好，學生一般只能看到建模過程和計算結(jié)果，而計算過程則是“黑匣子”，導致學生很難深入理解其原理。MATLAB是美國MathWorks公司出品的數(shù)學軟件，用于算法開發(fā)、數(shù)據(jù)可視化、數(shù)據(jù)分析以及數(shù)值計算的高級技術計算語言和交互式環(huán)境，具有高效的數(shù)值計算及符號計算功能，能使用戶從繁雜的數(shù)學運算分析中解脫出來，同時具有完備的圖形處理功能，實現(xiàn)計算結(jié)果和編程的可視化。英美大多數(shù)高校都將其引入到本科教學，幾乎所有公共機房的計算機都裝有該軟件。筆者團隊成員訪學的英國?？巳卮髮W，無論是教工、學生還是訪問人員，只要用該校郵箱在MathWorks公司網(wǎng)站注冊，就可以非常方面地下載安裝MATLAB正版軟件，教室里經(jīng)?？梢钥吹奖究粕肕ATLAB處理課后作業(yè)。MATLAB軟件包含有各種工具箱，特別是PDE工具箱中的“Structural Mechanics”模塊，可以提供偏微分方程的數(shù)值解，從而能夠快速求得彈性力學問題的解答，提供直觀二維或三維空間的可視化圖形，與其它有限元軟件相比，還能讓學生了解其中的計算過程及其原理，特別方便于彈性力學的本科教學。

三、可視化在彈性力學教學中的實踐

由于MATLAB的通用性與開放性，彈性力學本科教學中幾乎所有的典型問題，如圣維南原理、簡支梁受均布荷載、圓環(huán)或圓筒受均布壓力、小孔應力集中、等截面直桿的扭轉(zhuǎn)、半空間體受重力及均布壓力、薄板橫截面上的內(nèi)力等，都可以利用MATLAB對其進行數(shù)值計算，并用彩色圖表展示節(jié)點位移、應變、應力結(jié)果。限于篇幅，筆者以“圓孔的孔邊應力集中”一節(jié)為例[1，10]，展示可視化的教學方案。在正式講解新內(nèi)容前首先以筆者承擔的一個實際工程作為案例，引出孔應力集中問題。案例是一座大型體育場館的懸挑大跨度樓板，為了保證其在施工過程的安全以及運營期的振動舒適度，需要對方鋼管柱打孔引出傳感器導線，這就帶來開什么性狀的孔、開多大的孔、開孔后柱的力學性能有何變化等一系列問題。把案例抽象為兩對邊受均勻壓力的鋼板如圖1所示。鋼板為單位厚度，長為800mm，寬為200mm，在長對邊兩側(cè)受到均勻壓應力q=100N/mm，彈性模型為210GPa，泊松比為0.3，探討在鋼板中間開不同性狀、不同孔徑的空口附件的應力分布情況。假定在鋼板中間部位開直徑為10mm的圓孔，通過MATLAB軟件可方便計算并繪制出孔口附件以及沿指定路徑的VonMises應力分布，如圖2所示。讓學生觀察應力分布情況并總結(jié)應力分布特點。

學生通過對彩色應力分布圖的觀察和討論，加之老師適時引導，可以較快地總結(jié)出圓孔孔邊應力集中的概念與特點。即開孔后應力顯著增大，截面尺寸的一個微小變化可導致的應力成倍的增加;應力增大是局部的，應力集中所導致的應力增大效應只表現(xiàn)在截面尺寸突變的附近區(qū)域內(nèi)遠離這個區(qū)域其應力不受影響。然后再引導學生，如果開孔的直徑變化呢，是不是還有同樣的規(guī)律呢。通過MATLAB軟件再展現(xiàn)孔徑為15mm、20mm的應力分布圖如3所示，學生自然可以得出相同的結(jié)論。最后再引導學生，如果不是圓孔，是方孔呢？通過MATLAB軟件再展現(xiàn)開孔邊長為10mm、20mm應力分布圖如圖4所示。

教師最后根據(jù)小孔受力特點，就可以把帶圓孔平板的均勻拉伸問題轉(zhuǎn)化為圓環(huán)承受壓力的問題，進而通過半逆解法，給出齊爾西解答。利用MATLAB進行數(shù)值計算，并用彩色圖形展示應力分布情況、應力集中的概念、應力集中的特點以及孔的形狀和大少對應力分布的影響。從而能夠形象且更具說服力地表現(xiàn)孔邊應力集中的概念與特點，同時加之相應的理論分析和推導，使學生留下全方位深刻的印象。從理論到實際工程應用，結(jié)合感性和理性的認識形成日后解決工程實際問題或從事科研活動的能力。

四、教學效果分析

在彈性力學的教學實踐中，利用可提供簡便的建模方法、高速的求解過程的MATLAB，彈性體的應力、應變、位移等結(jié)果為彩色可視化圖形，吸引了絕大多數(shù)學生的注意力，課堂氣氛得到改善，討論比較熱烈，有利于學生學習理論知識，得到了不錯的教學效果;課后調(diào)查和學生的反饋顯示，學生對本門課程的興趣有所提高，同時對可能的性質(zhì)和意義也有了新的認識，認為所學的理論和推導和工程實踐有了聯(lián)系，認識到了課程的重要性，學習態(tài)度有了顯著改善;同時也訓練了學生發(fā)現(xiàn)問題，利用所學基本理論解決實際工程問題的能力。

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