福建省閩侯縣上街實(shí)驗(yàn)學(xué)校 (350100)

黃銀珠

最近，筆者重新翻閱了《中國初等數(shù)學(xué)研究》，受益匪淺.其中楊志明老師于2016年發(fā)表的一文[1]引起筆者關(guān)注，經(jīng)過探究，在文[1]的基礎(chǔ)上，本文建立了兩個(gè)涉及旁切圓與半外切圓半徑的平方型雙邊不等式.

約定ΔABC三邊長(zhǎng)為a,b,c，其對(duì)應(yīng)的旁切圓半徑分別為ra,rb,rc，R、r與s分別為ΔABC的外接圓半徑、內(nèi)切圓半徑及半周長(zhǎng).Σ表示輪換對(duì)稱求和.

定義[2]與三角形兩邊延長(zhǎng)線及其外接圓相切的圓，叫做三角形的半外切圓(即“遠(yuǎn)切圓”).ΔABC三邊a,b,c對(duì)應(yīng)的半外切圓半徑分別記為Ra、Rb、Rc.其中Ra表示與AB,AC延長(zhǎng)線及外接圓相切的圓半徑；Rb表示與BC,BA延長(zhǎng)線及外接圓相切的圓半徑；Rc表示與CA,CB延長(zhǎng)線及外接圓相切的圓半徑.

引理在ΔABC中有如下結(jié)論成立：

(1)R≥2r(歐拉不等式)；

定理1證明：由文[1]可得恒等式

定理2證明：由文[1]得恒等式