林 健，謝高碩，萬 其，施昕昕，周 磊，劉 晗，王通通

(南京工程學(xué)院，南京 211100)

0 引 言

與旋轉(zhuǎn)電機加滾珠絲桿所構(gòu)成的直線運動機構(gòu)相比，永磁同步直線電動機(以下簡稱PMSLM)具有高加速度、高精度和快響應(yīng)速度等優(yōu)點，很多學(xué)者對直線電動機的控制與應(yīng)用做了深入的研究[1-2]。由于取消了機械傳動環(huán)節(jié)，外界的干擾以及電機內(nèi)部存在的推力波動更容易對電機的性能造成影響，會使電機運行時出現(xiàn)振動和噪聲。PMSLM控制系統(tǒng)包括位置環(huán)、速度環(huán)和電流環(huán)，速度控制器根據(jù)實際速度與期望速度輸出期望電流。為保證直線電動機能在某一速度下平穩(wěn)運行，電流環(huán)需要較高的跟蹤與調(diào)節(jié)能力，以保證能夠時刻追蹤期望電流，抑制各種擾動[3]。電流環(huán)的控制方法有：直接推力控制[4-5]，比例積分(PI)控制[6]和模型預(yù)測控制。直接推力控制利用滯環(huán)控制，魯棒性強，響應(yīng)迅速，但電流脈動較大；PI控制在穩(wěn)態(tài)下可實現(xiàn)電流無靜差，控制精度高，但需整定參數(shù)，系統(tǒng)的動態(tài)性能受帶寬限制；模型預(yù)測控制(以下簡稱MPC)[6-8]是利用當(dāng)前的狀態(tài)、控制量和模型計算系統(tǒng)將來的狀態(tài)，再利用價值函數(shù)與期望值進(jìn)行滾動優(yōu)化的算法。MPC電流控制動態(tài)響應(yīng)快、電流脈動小、無需參數(shù)整定，理論上能在2個采樣周期內(nèi)追蹤到期望電流值，但在線計算量較大。

MPC電流控制方法常用的是單矢量MPC、占空比MPC兩種方法。三相兩電平電壓逆變器共有8種開關(guān)狀態(tài)，能產(chǎn)生6個有效矢量和2個零矢量，即逆變器共能產(chǎn)生7種電壓矢量。單矢量MPC在一個采樣周期中僅作用一個最優(yōu)電壓矢量，算法簡單、響應(yīng)速度快[9-10]，但由于僅能在7種電壓矢量中選擇控制量，電流跟蹤精度較差。為此，文獻(xiàn)[11-12]提出了占空比MPC，由于占空比是在最優(yōu)電壓矢量確定之后再計算，因而不能保證最優(yōu)電壓矢量在加入占空比后仍為最優(yōu)。文獻(xiàn)[13]提出最優(yōu)占空比直接轉(zhuǎn)矩控制，即基于李雅普諾夫函數(shù)的占空比計算，保證了最優(yōu)電壓矢量的全局性，但作用的電壓矢量僅為一個有效矢量與一個零矢量，限制了系統(tǒng)高速運行時電流的穩(wěn)定性。文獻(xiàn)[14]提出同步電機廣義雙矢量MPC控制策略，減小了d，q軸電流波動，但電壓矢量選擇次數(shù)多，計算量大，對系統(tǒng)的硬件要求較高。

本文提出改進(jìn)的雙矢量MPC控制策略，通過減小2個電壓矢量的選擇范圍來簡化電壓矢量的選擇過程，大幅減輕系統(tǒng)運行負(fù)擔(dān)，有效提高電流環(huán)調(diào)節(jié)的實時性與跟蹤精度。

1 PMSLM電流預(yù)測模型

PMSLM在d，q坐標(biāo)系下初級電流的狀態(tài)方程：

(1)

(2)

式中：L為初級電感；R為初級電阻；τ為次級極距；ψf為次級永磁體磁鏈；ud，uq為初級d，q軸電壓；id，iq為初級d，q軸電流；v為初級運動速度。

設(shè)采樣周期為T，用前向歐拉法對式(1)、式(2)離散化，可得PMSLM電流預(yù)測模型:

(3)

式中：id(k)，iq(k)為kT時刻初級繞組中電流采樣值的d，q軸分量；ud(k)，uq(k)為kT時刻初級繞組中施加電壓的d，q軸分量；id(k+1)，iq(k+1)為(k+1)T時刻初級繞組中電流d，q軸分量的預(yù)測值。

2 MPC電流控制算法

2.1 單矢量MPC

7種電壓矢量對應(yīng)7組ud(k)，uq(k)。單矢量MPC是將7組ud(k)，uq(k)分別代入PMSLM數(shù)學(xué)模型中進(jìn)行運算，得到7組下一時刻的電流id(k+1)，iq(k+1)。再將7組id(k+1)，iq(k+1)分別代入到價值函數(shù)gi中，求出使gi最小的id(k+1)，iq(k+1)，進(jìn)而可以得到系統(tǒng)下一時刻最優(yōu)的開關(guān)狀態(tài)。為精確跟蹤期望電流，同時避免出現(xiàn)電流過流，選取價值函數(shù)：

(5)

(6)

單矢量MPC電流控制具體步驟：

1)k時刻測量v，id，iq，根據(jù)式(3)、式(4)計算在7個電壓矢量作用下產(chǎn)生的id(k+1)，iq(k+1)。

2) 根據(jù)式(5)選出使gi最小的一組id(k+1)，iq(k+1)，對應(yīng)的電壓矢量即為最優(yōu)電壓矢量。

3) 將最優(yōu)電壓矢量轉(zhuǎn)換為對應(yīng)的開關(guān)信號，同時更新開關(guān)狀態(tài)。

4)k+1時刻返回步驟(1)進(jìn)入下一個采樣周期。

2.2 占空比MPC

占空比MPC是在單矢量MPC的基礎(chǔ)上引入占空比，即在一個采樣周期內(nèi)逆變器產(chǎn)生1個最優(yōu)電壓矢量Vs和1個零電壓矢量V0。最優(yōu)電壓矢量選擇的方法與單矢量MPC相同。

(7)

t0+ts=T

(8)

式中：ss為Vs作用時iq的斜率；ts為Vs的作用時間；s0為V0作用時iq的斜率；t0為V0的作用時間。

由式(2)可得s0和ss的計算公式:

(9)

(10)

式中：usq為Vs的q軸分量。將式(8)～式(10)代入式(7)，可求出Vs與V0的作用時間：

(11)

(12)

占空比MPC電流控制具體步驟：

1)k時刻測量v，id，iq，根據(jù)式(3)、式(4)計算在7個電壓矢量作用下產(chǎn)生的id(k+1)，iq(k+1)。

2) 根據(jù)式(5)選出使gi最小的一組id(k+1)，iq(k+1)，對應(yīng)的電壓矢量即為最優(yōu)電壓矢量。

3) 根據(jù)式(8)～式(12)計算最優(yōu)電壓矢量及零矢量的作用時間并轉(zhuǎn)換為對應(yīng)的開關(guān)信號，同時更新開關(guān)狀態(tài)。

4)k+1時刻返回步驟(1)進(jìn)入下一個采樣周期。

3 改進(jìn)雙矢量MPC算法

在占空比MPC中，根據(jù)整個采樣周期作用的電壓矢量來預(yù)測下一時刻的電流值并通過價值函數(shù)選擇最優(yōu)電壓矢量。加入零矢量后，最優(yōu)電壓矢量作用的時間不再是整個采樣周期，因此不能保證選擇的最優(yōu)電壓矢量作用效果仍為最優(yōu)。雙矢量MPC針對上述問題做出改進(jìn)，在選出最優(yōu)電壓矢量Vs1后，第二個作用的電壓矢量Vs2不再局限于零電壓矢量，而是擴展到7個電壓矢量。此外，雙矢量MPC根據(jù)2個矢量作用的總時間為整個采樣周期來預(yù)測下一時刻電流并根據(jù)價值函數(shù)選擇Vs2，保證了選擇的電壓矢量的作用效果最優(yōu)，因而有更好的控制效果。但是該算法需要遍歷14次電壓矢量選擇，計算量大，為此本文對電壓矢量的選擇方法加以改進(jìn)。

3.1 Vs1選擇方法改進(jìn)

圖1 改進(jìn)電壓矢量選擇方式

圖2為忽略初級繞組電阻壓降的PMSLM空間矢量圖。圖2中，φ為功率因數(shù)角，Φ為內(nèi)功率因數(shù)角，δ為功角，θe為初級電角度，ωe為電角頻率。初級磁鏈ψs與初級繞組上的電壓矢量us相角相差π/2。

圖2 PMSLM空間矢量圖

根據(jù)圖2，可得us的矢量角：

θv=θe+δ+π/2

(13)

式中：δ=arctan(ψq/ψd)；θe在很短的時間內(nèi)可視作常數(shù)。

θref=θe+δ*+π/2

(14)

3.2 Vs2選擇方法改進(jìn)

在雙矢量MPC算法中選擇Vs2，以預(yù)測值與期望值誤差最小為原則。為簡化計算，在選擇Vs2時，先進(jìn)行以下判斷。不妨假設(shè)kT時刻采樣電流iq(k)小于期望電流iq*。

1) 若∣iq*-is1q(k+1)∣=0，則表示該采樣周期內(nèi)僅有Vs1作用時，q軸電流能追蹤到期望值，is1q(k+1)為在Vs1作用下(k+1)T時刻的q軸電流預(yù)測值；若所有電壓矢量在(k+1)T時刻產(chǎn)生的q軸電流預(yù)測值均小于或均大于iq*，則表示在該周期內(nèi)不能通過雙矢量調(diào)制追蹤到iq*。

出現(xiàn)以上情況則不再進(jìn)行第二次電壓矢量選擇，該周期內(nèi)只作用Vs1。

2) 否則從余下6種電壓矢量中選擇Vs2。

根據(jù)上述方法，將Vs1與Vi組合，可得各自的作用時間，Vi表示一種基本電壓矢量，i∈{0,1,…,7}。

(15)

16)

式中：ss1為Vs1作用時iq的斜率；ts1為Vs1的作用時間；si為Vi作用時iq的斜率；ti為Vi的作用時間。那么k時刻施加的ud，uq可表示：

ud=ts1us1d+tiuid

(17)

uq=ts1us1q+tiuiq

(18)

式中：us1d和us1q分別為Vs1對應(yīng)的d，q軸分量，uid和uiq分別為Vi對應(yīng)的d，q軸分量。

將6種電壓矢量分別與Vs1組合，根據(jù)式(15)、式(16)分配作用時間，根據(jù)式(17)、式(18)得到最終作用的電壓矢量，分別代入式(3)、式(4)可得到6個電流預(yù)測值，利用式(5)選擇出使gi最小的一組電壓矢量組合。

改進(jìn)雙矢量MPC電流控制的系統(tǒng)框圖如圖3所示，速度控制器采用PI控制器。

圖3 改進(jìn)雙矢量MPC電流控制的系統(tǒng)框圖

綜上所述，改進(jìn)雙矢量MPC電流控制具體步驟：

1)k時刻測量v，id，iq，根據(jù)上述方法，通過計算us*的矢量角判斷us*所處扇區(qū)，遍歷3種電壓矢量，選取最優(yōu)電壓矢量Vs1。

2) 根據(jù)上述方法列舉6種組合，分配2個電壓矢量的作用時間，通過價值函數(shù)選擇Vs2。

3) 將Vs1，Vs2和對應(yīng)的作用時間轉(zhuǎn)換為對應(yīng)的開關(guān)信號，同時更新開關(guān)狀態(tài)。

4)k+1時刻，返回到步驟(1)進(jìn)入下一個采樣周期。

4 算法比較

圖4 單矢量MPC預(yù)測電流軌跡圖

圖5 占空比MPC預(yù)測電流軌跡圖

(a) 選擇Vs1

(b) 選擇Vs2

圖6改進(jìn)雙矢量MPC預(yù)測電流軌跡圖

圖7～圖9為單矢量MPC、占空比MPC和改進(jìn)雙矢量MPC的調(diào)制輸出電壓矢量圖。單矢量MPC只能輸出7種電壓矢量。占空比MPC在單矢量MPC中加入占空比調(diào)制，可輸出零矢量與6個方向固定，任意大小的電壓矢量。改進(jìn)雙矢量MPC能將任意2個基本電壓矢量實行調(diào)制，不僅可輸出占空比MPC生成的所有電壓矢量，還可生成末端在虛線上的電壓矢量，因此可輸出的電壓矢量范圍更大，控制效果更好。

圖7 單矢量MPC輸出電壓矢量圖

圖8 占空比MPC調(diào)制輸出電壓矢量圖

圖9 改進(jìn)雙矢量MPC調(diào)制輸出電壓矢量圖

5 實驗研究

實驗使用Kollmergen公司的PMSLM，使用德國HEIDEHAIN公司生產(chǎn)的LIDA485型直線光柵尺，測量長度1 840 mm。采樣周期T取100 μs。整個永磁同步直驅(qū)電機伺服系統(tǒng)平臺如圖10所示。電機主要參數(shù)如表1所示。

圖10 直線伺服系統(tǒng)試驗臺

參數(shù)數(shù)值參數(shù)數(shù)值電阻R/Ω1.3峰值電流Ip/A22電感L/mH13.4持續(xù)電流I/A8.7峰值推力Fp/N1250反電動勢常數(shù)KE/(V·m-1·s-1)51.4持續(xù)推力F/N548推力常數(shù)KF/(N·A-1)63

實驗在直線電動機從空載階躍起動至穩(wěn)定運行在100 mm/s速度下，對單矢量MPC、占空比MPC和改進(jìn)雙矢量MPC分別進(jìn)行實驗并分析各自的控制效果。圖11、圖12分別為三種控制策略下直線電動機從起動到穩(wěn)定運行狀態(tài)下的q軸電流波形與速度曲線。

起動階段，比較三種控制策略下的電流響應(yīng)時間，改進(jìn)雙矢量MPC控制下的電流起動更快、更平穩(wěn)。比較三種控制策略下的速度響應(yīng)時間，改進(jìn)雙矢量MPC控制下電機起動速度更快、更平穩(wěn)，電機速度達(dá)到100 mm/s的時間約為0.06 s，單矢量MPC和占空比MPC控制下電機起動時間分別約為0.1 s和0.08 s。

穩(wěn)定運行階段，改進(jìn)雙矢量MPC控制下的電流調(diào)節(jié)優(yōu)于另外兩種控制策略，表明對于內(nèi)部干擾如推力波動等，有更好的抑制作用，如圖11所示。其控制下的電機速度運行更穩(wěn)定，最大速度波動范圍約為5%，單矢量MPC、占空比MPC控制下最大速度波動范圍約為6%與8%，如圖12所示。

(a) 單矢量MPC

(b) 占空比MPC

(c) 改進(jìn)雙矢量MPC

(a) 單矢量MPC

(b) 占空比MPC

(c) 改進(jìn)雙矢量MPC

6 結(jié) 語

針對單矢量MPC與占空比MPC在電壓矢量選擇上的局限，提出改進(jìn)雙矢量MPC電流控制策略，結(jié)論如下：

1)選擇電壓矢量時，分別通過預(yù)先判斷其所處扇區(qū)和預(yù)測誤差，將遍歷電壓矢量次數(shù)從14次減小至9次，理想情況下最少只需3次，大幅降低了算法的計算量，提高了系統(tǒng)運行的實時性。

2)該控制策略下，電壓矢量選擇范圍增大，因而選擇的電壓矢量更準(zhǔn)確。實驗結(jié)果表明，電機起動速度快且平穩(wěn)，穩(wěn)定運行時速度波動小，表明在系統(tǒng)面對推力波動等干擾時，電流環(huán)有更好的調(diào)節(jié)能力和跟蹤性能。