浙江寧波市奉化區(qū)松岙鎮(zhèn)中心小學(xué) 汪 杰

概念教學(xué)是數(shù)學(xué)教學(xué)的一項(xiàng)重要內(nèi)容，因此數(shù)學(xué)概念的掌握不只是簡(jiǎn)單的記住文本定義，而是要形成與概念直接聯(lián)系的“整體性”的認(rèn)知結(jié)構(gòu)，包括相應(yīng)的心智圖像、對(duì)概念性質(zhì)的辨認(rèn)、對(duì)直觀操作過(guò)程的識(shí)記、相應(yīng)的范例重現(xiàn)等，這些就是被稱之為數(shù)學(xué)概念的心理表征。其中“周長(zhǎng)”是小學(xué)“圖形與幾何”領(lǐng)域的一個(gè)重要概念，筆者教學(xué)完“圓的認(rèn)識(shí)”單元后，在周長(zhǎng)的應(yīng)用練習(xí)中發(fā)現(xiàn)了這樣的問(wèn)題。

一、錯(cuò)例描述

一個(gè)運(yùn)動(dòng)場(chǎng)（下圖），兩端是半圓形，中間是長(zhǎng)方形。這個(gè)運(yùn)動(dòng)場(chǎng)的周長(zhǎng)是多少？

在解決本題之前，學(xué)生已經(jīng)會(huì)比較熟練地求一個(gè)圓的周長(zhǎng)，而且本題的素材來(lái)源于學(xué)生的生活實(shí)際，對(duì)于六年級(jí)的學(xué)生來(lái)說(shuō)并不難。然而反饋情況大出意外，學(xué)生普遍呈現(xiàn)了兩種錯(cuò)例。

課后與其他年段的教師交流居然深有同感，雖然平時(shí)教學(xué)都很注重周長(zhǎng)與面積的比較，如反復(fù)講解兩者的區(qū)別；講解公式的含義；求同一個(gè)圖形面積與周長(zhǎng)練習(xí)；隔三岔五地解決問(wèn)題，有一定的效果，但卻不能徹底消除“病癥”，而且達(dá)成一個(gè)共識(shí)：求組合圖形周長(zhǎng)的出錯(cuò)率明顯高于求面積，“簡(jiǎn)單的周長(zhǎng)”并沒(méi)有想象中的簡(jiǎn)單。

二、概念解讀

那么造成求組合圖形周長(zhǎng)困難的原因到底在哪里呢？筆者為此展開多個(gè)維度的周長(zhǎng)概念解讀，以期獲得新的認(rèn)識(shí)。

1.上位數(shù)學(xué)知識(shí)解讀

在小學(xué)階段，人教版數(shù)學(xué)對(duì)周長(zhǎng)的定義是這樣的：“封閉圖形一周的長(zhǎng)度，就是它的周長(zhǎng)?！倍诟叩葦?shù)學(xué)中比較精確的周長(zhǎng)定義為：“環(huán)繞有限面積的區(qū)域邊緣的長(zhǎng)度積分，叫作周長(zhǎng)?！眱烧叨x中都包含了相同的要素“度量的對(duì)象——封閉圖形的一周”“度量的結(jié)果——長(zhǎng)度和”，但選用的描述用詞卻大不相同，兩者相比我們可以發(fā)現(xiàn)：

其一，高數(shù)版定義中的“環(huán)繞”“邊緣”兩詞很生動(dòng)，形象地說(shuō)明了從某一點(diǎn)出發(fā)，沿著周界回到起點(diǎn)，從而形成一條封閉的邊線，其動(dòng)態(tài)的過(guò)程便于學(xué)生描述，同時(shí)滲透判斷一周的好辦法——“跑一跑”；其二，“長(zhǎng)度積分”比“長(zhǎng)度”多了“積分”兩字，凸顯了周長(zhǎng)不但需要度量長(zhǎng)度，更要對(duì)度量結(jié)果進(jìn)行累加。例如，三角形的周長(zhǎng)就是圍成三角形三條線段的長(zhǎng)度總和，又如圓的周長(zhǎng)其實(shí)是許多圓弧累加的長(zhǎng)度總和；其三，“有限面積”與“封閉圖形”兩詞雖然不同，但指明了周長(zhǎng)與面積都依存于封閉圖形中，有面積就一定有周長(zhǎng)，兩者相互依存，學(xué)習(xí)時(shí)人為割裂反而造成面積與周長(zhǎng)概念互相混淆。

由此可見，從高位的視角來(lái)看待小學(xué)數(shù)學(xué)的概念定義，可以發(fā)現(xiàn)許多新的理解。

同時(shí)為了更好地抓住概念的本質(zhì)，我們還可以從概念的特點(diǎn)來(lái)分析。通常在生活中我們都會(huì)碰到求籬笆總長(zhǎng)等問(wèn)題，這時(shí)需要一個(gè)固定的唯一的值來(lái)量化，這個(gè)具體的“數(shù)”就是周長(zhǎng)。而這個(gè)“數(shù)”的獲得，經(jīng)歷了“找一周”“度量”“求和”等一系列活動(dòng)，具有清晰的“過(guò)程”性。因此，周長(zhǎng)概念從“為了得到一個(gè)數(shù)表達(dá)周長(zhǎng)”的結(jié)果需求出發(fā)，到經(jīng)歷“如何得到這個(gè)數(shù)”的操作過(guò)程，最終是“過(guò)程”和“結(jié)果”的共同體。

事實(shí)上，面積、體積等概念也具有“過(guò)程”與“結(jié)果”的兩重特性，而周長(zhǎng)作為“度量類”概念的起始學(xué)習(xí)內(nèi)容，其過(guò)程性經(jīng)驗(yàn)的積累就顯得非常關(guān)鍵。

2.概念學(xué)習(xí)材料解讀

在三年級(jí)周長(zhǎng)概念形成階段，教材提供了圖1作為學(xué)生學(xué)習(xí)的材料，在概念的應(yīng)用環(huán)節(jié)中又設(shè)計(jì)了圖2作為鞏固習(xí)題。

圖1

做一做：

先量一量，再算出下面每個(gè)圖形的周長(zhǎng)各是多少。

圖2

我們先來(lái)看圖1的素材，涉及各種物體表面與平面圖形，涵蓋了直邊、曲邊與不規(guī)則的一周邊線，為學(xué)生感知周長(zhǎng)提供了豐富的活動(dòng)材料。那為什么要呈現(xiàn)各種不同的物體表面呢？一方面教材清晰地表達(dá)了數(shù)學(xué)的知識(shí)來(lái)源于生活，學(xué)習(xí)周長(zhǎng)需要基于學(xué)生的生活經(jīng)驗(yàn)來(lái)展開；另一方面物體表面中有許多的干擾元素，如樹葉內(nèi)部有許多葉脈，鐘面有數(shù)字、刻度，等等，學(xué)生在辨析“一周是什么”的過(guò)程中，逐步感悟到一周是一條“從起點(diǎn)回到起點(diǎn)的封閉邊線”，這種過(guò)程性經(jīng)驗(yàn)的積累，有助于學(xué)生形成“一周”清晰而又穩(wěn)固的心智圖像。

然而書本中的學(xué)材雖然豐富，但作為研究周長(zhǎng)的典型正例卻都不適宜。以教學(xué)中教師采用最多的樹葉素材為例，其具有“一周邊線”與“內(nèi)線”的對(duì)比功能，但缺失的是感知“長(zhǎng)度累加”的功效，因?yàn)閷W(xué)生既沒(méi)有測(cè)量樹葉邊線的經(jīng)驗(yàn)，也不具備準(zhǔn)確測(cè)量的技能與方法，更遺憾的是沒(méi)有測(cè)量長(zhǎng)度的“真”需求。

再來(lái)看圖2的鞏固習(xí)題，三個(gè)圖形的一周邊線簡(jiǎn)單明了，學(xué)生無(wú)須“找一周”，憑借測(cè)量長(zhǎng)度與計(jì)算求和就能獲得周長(zhǎng)，這樣的過(guò)程性體驗(yàn)是不完整的，到后續(xù)求復(fù)雜組合圖形的周長(zhǎng)時(shí)，只懂“計(jì)算求和”，無(wú)視“一周在哪”的先天不足就會(huì)顯現(xiàn)。

3.教材知識(shí)體系解讀

為了更好地理清小學(xué)階段周長(zhǎng)概念的生長(zhǎng)邏輯，筆者還整理出人教版數(shù)學(xué)有關(guān)周長(zhǎng)知識(shí)體系表。

從整個(gè)體系來(lái)看，周長(zhǎng)的概念形成階段在三年級(jí)。首先讓學(xué)生感悟到周長(zhǎng)的研究對(duì)象和基本要素后，組織學(xué)生探究長(zhǎng)正方形的周長(zhǎng)，在概念應(yīng)用中實(shí)現(xiàn)算法的優(yōu)化，并建立公式模型；最后通過(guò)求圖形拼組、分割后新圖形的周長(zhǎng)等綜合性較強(qiáng)習(xí)題的操練，明晰面積與周長(zhǎng)之間的區(qū)別，進(jìn)一步凸顯概念的本質(zhì)。

周長(zhǎng)概念的綜合應(yīng)用期在六年級(jí)，教材中設(shè)計(jì)了不少求圓周長(zhǎng)與面積的生活實(shí)例，先讓學(xué)生經(jīng)歷數(shù)學(xué)抽象的過(guò)程，再進(jìn)行圖形轉(zhuǎn)化或直接運(yùn)用公式解決問(wèn)題。到這一階段時(shí)，顯然目標(biāo)定位在數(shù)學(xué)抽象與策略優(yōu)化。

比較尷尬的是四五年級(jí)，存在著一個(gè)較長(zhǎng)時(shí)間的知識(shí)“斷層期”，特別是在五年級(jí)研究多邊形的面積時(shí)，整個(gè)單元注重的是面積公式的推導(dǎo)過(guò)程，教材既沒(méi)有周長(zhǎng)與面積公式的比較，也沒(méi)有出現(xiàn)求組合圖形周長(zhǎng)的習(xí)題。由此經(jīng)歷一定量的練習(xí)后，學(xué)生自然看到組合圖形就運(yùn)用面積公式求值，而這種慣性思維對(duì)周長(zhǎng)的過(guò)程性經(jīng)驗(yàn)會(huì)產(chǎn)生強(qiáng)烈干擾。

三、歸因分析

鑒于以上三個(gè)維度的概念再解讀，我們不難找到錯(cuò)例的原因何在。

第一個(gè)錯(cuò)例的主因是學(xué)生對(duì)周長(zhǎng)概念的意象不清。筆者課后與部分學(xué)生進(jìn)行了訪談，學(xué)生們指著面積的區(qū)域說(shuō)“一個(gè)圓的周長(zhǎng)加上長(zhǎng)方形的周長(zhǎng)就可以了”，當(dāng)筆者追問(wèn)“那一周在哪里呢？”，學(xué)生才認(rèn)識(shí)到自己錯(cuò)了。顯然這部分學(xué)生對(duì)周長(zhǎng)的核心要素“一周邊線”“長(zhǎng)度”心智圖像模糊，導(dǎo)致與面積的概念表象互相干擾，對(duì)概念的辨別主要依靠觀察文字描述，如看單位，找問(wèn)題中的關(guān)鍵詞“一周”“長(zhǎng)多少”。

第二個(gè)錯(cuò)例的主因是學(xué)生求周長(zhǎng)的過(guò)程性經(jīng)驗(yàn)不足?！跋日乙恢苓吘€”→“測(cè)量累加求和”求周長(zhǎng)的過(guò)程，在實(shí)際解決問(wèn)題的過(guò)程中往往變成了應(yīng)用公式求值的過(guò)程，這也側(cè)面反映了我們教師在教學(xué)過(guò)程可能更注重周長(zhǎng)值的獲得，忽視了對(duì)于求周長(zhǎng)過(guò)程性經(jīng)驗(yàn)的整理回顧，由此學(xué)生頭腦中形成的獲得周長(zhǎng)的過(guò)程記憶往往是零散的、片面的、不完整的。

綜上所述，在概念教學(xué)之前，我們不妨先解讀相關(guān)概念的上位數(shù)學(xué)知識(shí)，從而對(duì)其內(nèi)涵有更加清晰的理解，更容易抓住本質(zhì)；還可以仔細(xì)研究教材提供的學(xué)習(xí)材料，從其功能性、適切性等角度進(jìn)行思辨，便于選材時(shí)揚(yáng)長(zhǎng)避短；也需要站在整個(gè)體系來(lái)看待概念的生長(zhǎng)過(guò)程，進(jìn)一步理清不同階段所需達(dá)到的目標(biāo)，由此進(jìn)行適時(shí)的強(qiáng)化、比較、聯(lián)結(jié)等，最終讓概念實(shí)現(xiàn)穩(wěn)固而又深刻的建構(gòu)。