廖慶洪 鄧偉燦 文健 周南潤 劉念華

1) (南昌大學電子信息工程系,南昌 330031)

2) (清華大學物理系,低維量子物理國家重點實驗室,北京 100084)

3) (南昌大學高等研究院,南昌 330031)

1 引 言

超導(dǎo)量子電路作為人工設(shè)計的量子力學系統(tǒng),顯示了宏觀的量子相干性,可以用來研究量子光學和原子物理的現(xiàn)象[1].在超導(dǎo)量子電路中,超導(dǎo)傳輸線諧振器代替?zhèn)鹘y(tǒng)的光學腔,超導(dǎo)量子比特扮演自然原子的角色.超導(dǎo)量子比特作為宏觀的人工原子,其他超導(dǎo)量子器件,例如超導(dǎo)傳輸線、機械納米振子等的強耦合,可以實現(xiàn)一種嶄新的全固態(tài)的腔量子電動力學(cavity quantum electrodynamics,C-QED)結(jié)構(gòu),而且這些人工的原子和光場,具有以前微腔QED沒有的可控性和可集成化的優(yōu)點.包含超導(dǎo)量子比特和納米機械振子的混合量子電路是另一種新興的混合量子系統(tǒng)[2].這種混合量子電路的有趣的理論研究和有實質(zhì)性進展的實驗結(jié)果,證明了該系統(tǒng)可以作為未來量子器件,并擁有廣泛的應(yīng)用[2?4].

2010年,加州大學O'Connell等[5]發(fā)現(xiàn)機械諧振器在超低溫(超導(dǎo))條件下的振動可以激發(fā)量子效應(yīng),產(chǎn)生單個量子(聲子).隨后,清華大學Liu等[6]根據(jù)這個實驗,研究了納米機械諧振器(nanomechanical resonator,NAMR)中的聲子阻塞效應(yīng).聲子阻塞,顧名思義,類似于光子阻塞[7],是一種純量子現(xiàn)象.這種現(xiàn)象是在非線性機械振蕩器[8]中,第一個聲子被外部驅(qū)動場激發(fā),第二個聲子被第一個聲子阻擋導(dǎo)致不能傳輸.光子阻塞效應(yīng)的一項重要應(yīng)用是可以用于實現(xiàn)理想的單光子源[9,10],而聲子阻塞效應(yīng)同樣可以作為實現(xiàn)單聲子源的機制之一[11,12].類比于產(chǎn)生光子阻塞的兩種機制,聲子阻塞同樣地對應(yīng)兩種發(fā)生機制.聲子阻塞的實現(xiàn)有兩種主要的物理機理: 基于失諧機制的聲子反聚束需要較大的非線性來改變系統(tǒng)的能級結(jié)構(gòu),這被稱為傳統(tǒng)聲子阻塞(conventional phonon blockade,CPNB)[13?16].除了第一種物理機理外,還可以獲得強聲子反聚束,即利用雙聲子激發(fā)的不同路徑產(chǎn)生的破壞性干涉,即使在非線性遠小于腔模的衰減率(弱非線性)的條件下也能實現(xiàn),稱為非傳統(tǒng)聲子阻塞(unconventional phonon blockade,UPNB)[16?19].

自發(fā)現(xiàn)聲子阻塞效應(yīng)起,國內(nèi)外人員對這種物理現(xiàn)象進行了大量的研究.例如雙光力系統(tǒng)中,光子和聲子不同耦合路徑的干涉產(chǎn)生的光譜差別[20]、光學模式與機械模式之間產(chǎn)生的二階非線性相互作用導(dǎo)致的強聲子反聚束現(xiàn)象[21]、機械諧振器與兩能級系統(tǒng)耦合的光力系統(tǒng)的雙色二階邊帶的生成[22].多模光力系統(tǒng)[23]、有限溫度下耦合非線性微米/納米機電系統(tǒng)的諧振器的聲子反聚束效應(yīng)并與熱噪聲的關(guān)系[24]、機械振動位移的平方耦合的聲子阻塞現(xiàn)象研究[25]、光聲阻塞現(xiàn)象[26]、俘獲多個離子的庫侖晶體中聲子阻塞研究[27]等.

最近,關(guān)于非厄米哈密頓量的系統(tǒng)特性研究得到大量關(guān)注[28?44].其中包含了量子糾纏[28]、蘭姆位移[31]、光子統(tǒng)計特性[44]等.本文研究 NAMR-量子比特系統(tǒng)中的聲子統(tǒng)計性質(zhì),其中的系統(tǒng)是由一個納米機械諧振器耦合一個超導(dǎo)量子比特(以下簡稱量子比特)組成.這里利用了非厄米哈密頓量的零本征值方法,并假設(shè)κ<0,研究了 NAMR-量子比特系統(tǒng)中的聲子統(tǒng)計特性.同時給出探測聲子阻塞或聲子統(tǒng)計特性的方法.

2 NAMR-量子比特系統(tǒng)的物理模型

圖1研究的是由一個納米機械諧振器(右邊)耦合一個量子比特(左邊)組成的物理系統(tǒng).納米機械諧振器受到一個強度為ε的外加場驅(qū)動,量子比特受到一個強度為?的外加場驅(qū)動.整個系統(tǒng)的哈密頓量為[16]

其中 ?=1,σ+和σ?是量子比特的上升和下降算符,其躍遷頻率是ω0;a和a+表示 NAMR 中聲子的湮滅和產(chǎn)生算符,其頻率是ωm;g是量子比特與NAMR的耦合強度; 量子比特的外加驅(qū)動場振幅是?,頻率是ωq; NAMR的外加驅(qū)動場振幅是ε,頻率是ωa;?是兩個外加驅(qū)動場的相位差.

假設(shè)兩個外加驅(qū)動場的頻率相同且量子比特與 NAMR 的頻率相同,即ωq=ωa=ωd和ω0=ωm,在以入射光頻率旋轉(zhuǎn)的框架中,得出哈密頓量:

這里失諧量?≡ω0?ωd=ωm?ωd.

圖1 NAMR-量子比特系統(tǒng)的物理模型圖Fig.1.Schematic diagram of the nanomechanical resonator coupled with a qubit.

3 非厄米哈密頓量作用下的聲子阻塞效應(yīng)的零本征值

3.1 聲子阻塞的條件分析

考慮機械模衰減率κ和量子比特自發(fā)輻射速率γ.所以,整個系統(tǒng)可以用非厄米哈密頓量描述為

考慮系統(tǒng)總激發(fā)數(shù)為n+1,在基矢和下,可得到非厄米哈密頓量的矩陣形式:

考慮弱驅(qū)動的條件,即系統(tǒng)參數(shù)?,ε?|κ|.

分析(4)式中的矩陣,可得知其兩個特征值:

在弱驅(qū)動條件下,考慮系統(tǒng)激發(fā)數(shù)為1,即n=0.而且要使得(5)式特征值取到實數(shù),則滿足條件

此時,兩個特征值可以化簡為

當?=?g時,這一對特征值相等并且取得最小值0.此時可以知道特征值為零的條件為:

由圖2中的系統(tǒng)能級可知,系統(tǒng)參數(shù)條件滿足(8)式或(9)式時,可出現(xiàn)聲子阻塞現(xiàn)象.

在我們的方案中,γ設(shè)為正數(shù),κ設(shè)為負數(shù).事實上,在光學腔中,腔模衰減率κC<0 已被廣泛地研究[45,46],而且已經(jīng)有實驗實現(xiàn)了這個參數(shù)[47?51].本文基于此,做出了相應(yīng)的假設(shè),即聲子場衰減系數(shù)κ<0.實際上已有實驗通過相干驅(qū)動聲子技術(shù)[5,52?54]、引入聲子激光[55?57]和直接驅(qū)動機械振子[58,59]等方式來提供機械增益.這里簡要討論直接驅(qū)動納米機械諧振器來產(chǎn)生力學增益的可能性[60].外場驅(qū)動在可分辨邊帶條件下,對應(yīng)于納米機械諧振器中聲子冷卻的斯托克斯散射過程被極大抑制,給納米機械諧振器提供能量的反斯托克斯過程得到了增強并占主要優(yōu)勢.

3.2 數(shù)值模擬方法

通過計算系統(tǒng)的主方程來研究二階關(guān)聯(lián)函數(shù).系統(tǒng)的密度矩陣為:

只需關(guān)注穩(wěn)態(tài)時的情況,即?ρ/?t=0.通過二階關(guān)聯(lián)函數(shù)g(2)(0) 來研究聲子的統(tǒng)計特性.

3.3 結(jié)果分析

下面通過計算機數(shù)值模擬分析研究聲子阻塞效應(yīng),比較和分析(8)式和(9)式.系統(tǒng)中腔模的希爾伯特空間被截取到5維,以耗散率γ作為基本單位來設(shè)定其他參數(shù).圖3給出了不同條件下(g/γ=0.5,2.0,4.0)g(2)(0) 與?/γ的關(guān)系圖,可以得出出現(xiàn)聲子阻塞的特點.

1)g/γ=0.5,當出現(xiàn)g(2)(0) 的波谷,即g(2)(0)?1時,對應(yīng)于強聲子反聚束現(xiàn)象.此時?/γ=0,與 (8)式相對應(yīng).

2)g/γ=2,當出現(xiàn)g(2)(0)?1 時,此時?/γ=±2,對應(yīng)于 (9) 式.也就是說,在條件g/γ=0.5 下比在條件g/γ=2 下出現(xiàn)的反聚束現(xiàn)象更強.這是因為這里只取了的一個近似值.只要隨著g的增大,近似效果越明顯,反聚束效應(yīng)就會越強,例如圖3中的g/γ=4.

圖3 在不同的 g /γ 關(guān)系下,二階關(guān)聯(lián)函數(shù) g(2)(0) 與 ?/γ的關(guān)系圖 (a) κ /γ=?1,ε /γ=0.1,?=0,ε=0 ;(b) κ /γ=?1,? /γ=0.1,ε=0,?=0Fig.3.Logarithmic plot (of base e) of the zero-delay-time second-order correlation functions g(2)(0) as a function of?/γ for different g /γ with κ /γ= ?1 : (a) ε /γ=0.1,?=0,ε=0 ; (b) ? /γ=0.1,ε=0,?=0.

3.4 與CPNB和UPNB比較

現(xiàn)在討論在非厄米特哈密頓量作用下產(chǎn)生聲子阻塞效應(yīng)在零本征值下的物理機理.

圖4描述了基于不同路徑干涉的情況下的聲子阻塞現(xiàn)象的能級情況.綠色箭頭描述的是第一條路徑藍色箭頭是第二條路徑其中分別是衰 減到衰減到的衰減率.

物理原理上分析,能級分裂決定了聲子阻塞效應(yīng)的類型是UPNB還是CPNB.對于(8)式或者(9) 式的情況,驅(qū)動場頻率ωd如果等于那就滿足了單激發(fā)數(shù)共振條件,同時產(chǎn)生單聲子的可能性就大大增加.在這里,由于失諧,產(chǎn)生雙聲子的可能性并沒有像單聲子那樣大.

圖4 UPNB 能級圖Fig.4.Schematic energy-level diagram of unconventional phonon blockade.

在少聲子數(shù)近似下,系統(tǒng)的態(tài)矢量可寫作[16]:

在弱驅(qū)動的條件下,二階關(guān)聯(lián)函數(shù)

圖5比較了CPNB,UPNB和本文方案的區(qū)別.不管是在強非線性還是弱非線性的限制下,本文方案都可以實現(xiàn)聲子的反聚束現(xiàn)象.實現(xiàn)該方案的物理機理和CPNB相同,都是由于失諧所造成的聲子的反聚束.實現(xiàn)CPNB的最佳條件如下:

這些最佳條件同時也分析了κ與γ之間的定量關(guān)系.這是因為僅僅考慮了(2)式中的特征頻率,而沒有引入κ與γ.這就導(dǎo)致了在?=|g| 的條件下,不能得到 |g|=γ/2 這個條件(見圖6),而只能注意到?=|g|=0.本文方案最顯著的特點就是加入了κ/γ=?1這個條件.事實上,如果(9)式中的條件變?yōu)棣?0 和γ>0,那么就變成了 (13) 式,也就是說變?yōu)榱薈PNB.

圖5 本文方案與 CPNB 和 UPNB 的區(qū)別Fig.5.Different parameter range for the CPNB,the UPNB,and the present scheme.

圖6 二階關(guān)聯(lián)函數(shù) g(2)(0) 和平均聲子數(shù)的對數(shù)圖像 (a),(b) ε /γ=0.1,?=0 ; (c),(d) ? /γ=0.1,ε=0,?=0.其他參數(shù)為 κ /γ=?1.Fig.6.The logarithmic plot (of base e) of the zero-delay-time second-order correlation functions g(2)(0) and average photon numberN: (a) and (b) ε /γ=0.1,?=0 ; (c) and (d) ? /γ=0.1,ε=0,?=0.The shared parameters: κ /γ=?1.

圖7 二階關(guān)聯(lián)函數(shù) g(2)(0) (對數(shù)) 與 ? /γ 的關(guān)系圖,其中 ε /γ=0.1,?=0 (a) g /γ=0.5,κ /γ=?1 (本文方案),κ/γ=1(UPNB); (b) g /γ=5,κ /γ= ?1 (本文方案),κ /γ=1 (CPNB)Fig.7.The logarithmic plot (of base e) of the zero-delay-time second-order correlation functions g(2)(0) as a function of ? /γ.The shared parameters: ε /γ=0.1,?=0.Other parameters: (a) g /γ=0.5,κ /γ=?1 (our scheme),κ /γ=1 (UPNB); (b) g /γ=5,κ/γ=?1 (our scheme),κ /γ=1 (CPNB).

圖8 二階關(guān)聯(lián)函數(shù) g(2)(0) (對數(shù)) 與 ? /γ 的關(guān)系圖,?=0,ε=0,?=0 (a) ? /γ=0.1,g /γ=0.5,κ /γ=?1 (本文方案),κ/γ=1 (UPNB); (b) ? /γ=2,g /γ=10,κ /γ=?1 (本文方案),κ /γ=1 (CPNB)Fig.8.The logarithmic plot (of base e) of the zero-delay-time second-order correlation functions g(2)(0) as a function of ? /γ :?=0,ε=0,?=0.Other parameters: (a) ? /γ=0.1,g /γ=0.5,κ /γ=?1 (our scheme),κ /γ=1 (UPNB); (b) ? /γ=2,g/γ=10,κ /γ= ?1 (our scheme),κ /γ=1 (CPNB).

圖9 聲子統(tǒng)計特性探測模型Fig.9.The detecting model of the statistical properties of the phonons.

圖7和圖8比較了本文方案和CPNB,UPNB的不同.結(jié)果表明,在設(shè)定相應(yīng)的參數(shù)下,本文方案得出的聲子阻塞效果比其他兩種方案要好.這是因為非厄米哈密頓量的作用方式更貼合主方程.這就導(dǎo)致了在其他條件相同時,本文方案會比直接使用(2)式的更精確.CPNB的觸發(fā)是由于聲子場頻率與驅(qū)動場頻率不同步(失諧)而導(dǎo)致的,而UPNB的觸發(fā)是通過兩個不同路徑的量子干涉產(chǎn)生的.因此,當作用方式是量子干涉時,聲子的反聚束會對干涉中的相位差極其敏感,所以干涉路徑的改變會使反聚束的區(qū)域發(fā)生劇烈變化.然而,在本文方案中,驅(qū)動場的改變導(dǎo)致量子干涉路徑的改變并不會對反聚束的物理環(huán)境產(chǎn)生影響.所以本方案中的強聲子反聚束與UPNB方案的物理機理不同.

4 聲子阻塞效應(yīng)的探測

通過測量光學腔場的輸出光子的相關(guān)性,可以間接觀測到NAMR中的聲子阻塞現(xiàn)象.對于NAMR-量子比特系統(tǒng),我們參照了文獻中的測量方法[16].在最近的實驗中,一個量子比特耦合一個NAMR以后,NAMR再耦合一個超導(dǎo)腔組成了一個三體系統(tǒng)[61].假設(shè)這個超導(dǎo)光腔通過輻射壓相互作用耦合到NAMR,就可以通過研究超導(dǎo)光腔中的光子統(tǒng)計特性,來研究NAMR中的聲子統(tǒng)計特性,從而觀察NAMR中的聲子阻塞現(xiàn)象.聲子統(tǒng)計特性探測模型見圖9.

假設(shè)超導(dǎo)腔的驅(qū)動頻率為ωb,在以入射光頻率ωb旋轉(zhuǎn)的框架中,整個系統(tǒng)的總哈密頓量為

其中b和b+表示超導(dǎo)腔中光子湮滅和產(chǎn)生算符,超導(dǎo)腔的共振頻率為ωc;J是超導(dǎo)腔與NAMR的耦合強度;?c(假定為實數(shù))是超導(dǎo)腔的外加驅(qū)動場振幅;?b滿足共振條件?b≡ ωc? ωb=ωm.

超導(dǎo)腔的腔模算符可以寫成量子波動算符和穩(wěn)態(tài)平均場之和:b→b+α.這里α在頻率為ωb驅(qū)動光場中的穩(wěn)態(tài)平均場.在強驅(qū)動的條件下,|α|?1.同樣地,可以將Hom再在旋波近似下,哈密頓量變?yōu)槠渲泄饬ο到y(tǒng)有效的耦合強度G=gα,同樣假定|G|?ωm,在相互作用哈密頓量的演化下,聲子場和腔場之間形成糾纏態(tài),探測腔場光子統(tǒng)計特性可以實現(xiàn)對聲子阻塞或聲子統(tǒng)計特性的探測[61].

5 結(jié) 論

研究了在非厄米哈密頓量作用下的NAMR-量子比特系統(tǒng)的零本征值條件下的聲子統(tǒng)計特性.充分利用了零本征值方法,通過分析和計算,得到了強聲子反聚束的最佳條件,同時引入二階關(guān)聯(lián)函數(shù)討論了聲子阻塞效應(yīng).通過主方程的穩(wěn)態(tài)求解,分析了各種條件對聲子阻塞的影響,結(jié)果發(fā)現(xiàn)都能很好地匹配聲子阻塞現(xiàn)象.比較了本方案與CPNB和UPNB的區(qū)別,發(fā)現(xiàn)本文方案在強非線性和弱非線性條件下都能實現(xiàn)強聲子反聚束現(xiàn)象.闡明了這種聲子阻塞的物理機理是不同于UPNB的失諧原理.最后,簡要分析了利用外加超導(dǎo)腔去間接地探測NAMR中的聲子統(tǒng)計特性的方法.本文的研究結(jié)果將在量子信息處理以及精密測量等研究領(lǐng)域具有重要的意義和應(yīng)用前景.