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        復雜網絡電輸運性能與通信序列熵之間的關聯(lián)*

        2019-08-27 00:22:54陳單石丹丹潘貴軍
        物理學報 2019年11期
        關鍵詞:電導標度全局

        陳單 石丹丹 潘貴軍

        (湖北大學物理與電子科學學院,武漢 430062)

        1 引 言

        21世紀初網絡科學的出現(xiàn)極大地推動了復雜系統(tǒng)的跨學科研究.隨著人類認知能力的提升,發(fā)現(xiàn)在每個系統(tǒng)背后都有一個網絡,它對系統(tǒng)各部分之間的交互進行編碼[1?4].例如: 編碼基因、蛋白質和代謝物之間相互作用的網絡將這些成分整合到活細胞中[3]; 捕捉神經元之間連接的接線圖,稱為神經網絡,是理解大腦如何運作和思考的關鍵[4].這些網絡大多表現(xiàn)出高度的復雜性,如連接結構的復雜性、節(jié)點類型的復雜性和網絡演化過程的復雜性[5]等.此外,網絡還具有小世界性質[6]、無標度性質[7]和模塊性質[8,9].這些特征足以說明,網絡不僅具有不斷變化的內容和形式,而且具有更加復雜的連接結構.

        網絡結構與動力學的關系決定了基于網絡的復雜系統(tǒng)的行為,其中一個核心問題是,在給定約束條件下如何設計網絡結構來優(yōu)化其功能,諸如網絡上的同步優(yōu)化[5]、擴散動力學優(yōu)化[8]、導航優(yōu)化[10?15]以及電輸運性能優(yōu)化[16?22]等.特別地,通過向基礎地理網絡添加遠程連接可以優(yōu)化網絡中的信息和能量傳輸[12,13],這意味著合理的設計網絡可以使網絡中的信息高效地從源流向目標.另外,當從信息的角度去看待系統(tǒng)時,以香農熵為背景的信息理論工具已經成功應用于許多領域.熵作為一種有效度量系統(tǒng)信息的指標,以其獨特的內涵應用于統(tǒng)計物理、信息論以及其他廣義系統(tǒng),已成為復雜系統(tǒng)研究的重要工具[23].在網絡科學領域,從香農信息理論工具的角度去觀察網絡對于理解網絡結構和動力學之間的關系是非常有益的.

        Hu等[24]將熵用于解釋小世界網絡中有效導航標度律的可能起源.李勇軍等[25]提出基于最大熵模型的鏈路預測算法,該方法在預測鏈路時避免了特征之間相互獨立的約束.此外,熵也被用作衡量網絡異質性的重要指標[26].例如: Wang等[27]認為度分布熵可以作為表征網絡異質性的測度; 吳俊等[28]以節(jié)點的相對度值為指標,定義相對度分布熵來衡量網絡的異質性.上述兩種熵只關注“節(jié)點”和“邊”在網絡結構中的單一作用,在全局特征描述上存在不足[23].蔡萌等[29]通過引入綜合考慮徑向測度和中間測度的網絡流概念,提出了流介數(shù)結構熵.最近,Cai等[30]綜合分析了之前的幾種熵,指出流介數(shù)結構熵能夠有效地表征復雜網絡的異質性.從以上的這些熵中可以發(fā)現(xiàn)一個共同的特點: 它們主要是基于描述網絡某一局部特征而構建的概率分布熵,忽略了網絡的其他信息,所以不能很好地表征網絡的整體拓撲信息,進而就不能有效地分析它們與網絡功能之間的關系.為此,尋求可以描述網絡整體信息的概率分布是極其重要的.Braunstein等[31]利用縮放的拉普拉斯矩陣的譜定義了一種新的熵,打破了傳統(tǒng)分布熵的局限性.特別地,最近de Domenico 和 Biamonte[32]提出了一套基于譜熵的信息理論工具,用于比較復雜網絡.該譜熵相對于傳統(tǒng)的分布熵似乎更能反映出網絡的整體拓撲信息.另外,Chen等[33]提出了一個表征網絡全局通信能力的測度-復雜網絡的通信序列熵,基于該測度可以有效地量化網絡之間的差異性,證實了通信序列熵是表征網絡整體結構信息的有效測度.

        在文獻[16—22]中已經研究了不同拓撲結構的網絡對電輸運性能的影響,本文將從信息的角度尋求影響網絡電輸運性能的關鍵測度,預測復雜網絡的電輸運性能與其通信序列熵之間的緊密聯(lián)系.為了探索這其中的關聯(lián),系統(tǒng)地研究了小世界網絡、無標度網絡、關聯(lián)無標度網絡、有社團結構的網絡以及IEEE57等節(jié)點網絡的通信序列熵和電輸運性能之間的關聯(lián)特性.最終的研究結果表明,對于小世界網絡、無標度網絡、關聯(lián)無標度網絡、社團網絡以及IEEE57等節(jié)點網絡而言,它們的通信序列熵與電輸運性能成正關聯(lián).這一發(fā)現(xiàn),對構建高效率的電輸運網絡具有一定的指導意義,換句話說,可以通過提高網絡的通信序列熵來優(yōu)化它們的電輸運性能.

        2 方 法

        2.1 網絡通信序列熵的定義

        考慮一個由N個節(jié)點和E條邊組成的無權無向網絡,鄰接矩陣用N×N的矩陣A表示,矩陣元素用aij表示.如果節(jié)點i和節(jié)點j之間直接相連,則aij=1,否則aij=0.為了表征節(jié)點間的通信能力,Estrada等[34?36]提出了網絡的通信矩陣:

        任意一對節(jié)點i和j之間的通信能力對應于通信矩陣C第i行j列的元素,即cij.使用特征值分解可以將鄰接矩陣分解為A=QΛQ?1,從 而eA=QeΛQ?1,這樣便可求出矩陣C的矩陣元,其中Q是一個由標準正交基組成的正交矩陣.

        考慮到通信矩陣C的對稱性,這里僅將矩陣C對角線上方的元素cij(i

        S(P)稱 為網絡的通信序列熵,這里規(guī)定 0 log20:=0.為了消除網絡尺寸效應,定義標準熵為

        2.2 網絡電輸運性能的表征

        本文為了表征整個網絡的電輸運性能,利用文獻[16—22]采用的方法將網絡的所有連邊視為電阻并在任意一對節(jié)點i和j之間外加電源裝置,這樣,運用歐姆定律和基爾霍夫定律便可求出節(jié)點i和j之間的局部電導Gij,所有節(jié)點間的平均全局電導被用來表征網絡的電輸運性能,即

        3 特殊網絡的SN與之間關聯(lián)性的理論研究

        接下來將首先對幾種特殊網絡SN和進行相應的理論研究.

        孤立節(jié)點網絡鄰接矩陣A的特征值全為0,eA=I,I是N階單位矩陣.由于孤立節(jié)點網絡不同節(jié)點之間沒有邊相連,所以它們之間的通信能力均為 0,每個節(jié)點的自通信為 1,通信序列為P={0,···,0},因此通信序列熵SN=0.此外,孤立網絡任意一對節(jié)點間的局部電導均為 0,故平均電導=0.

        完全網絡鄰接矩陣A有N?1 個特征值等于–1,還有一個特征值是N?1,因此,通信矩陣的對角線元素為cii=(eN+N?1)/(Ne)[36],剩下的非對角元素均相等,即cij,i=j=(eN?1)∑/(Ne).于是,通信矩陣對角線上方元素之和為i

        因此可以根據(jù)(3)式計算出完全網絡的通信序列熵:

        由于完全網絡中任意一對節(jié)點都有直接相連的邊,所以通信序列中的元素是相等的,熵是最大的.

        不難想象完全網絡的平均電導也是最大的.為了證實這一點,這里以三個節(jié)點的完全網絡來說明任意一對節(jié)點之間電導的計算過程.如圖1,假定每條邊對應一個單位電阻,即R=1,加在任意一對節(jié)點之間的是一個單位電流源.

        根據(jù)并聯(lián)電路分流定律知I=I1+I2,即有為節(jié)點 1 和 2 之間的等效電阻.同理,G13=1.5,G23=1.5.所以平均電導=1.5.以此類推,對于N個節(jié)點的完全網絡,平均電導如下:

        圖1 完全網絡任意一對節(jié)點之間等效電導的計算過程Fig.1.The calculation of equivalent conductance between any pair of nodes in a complete network.

        因此,對于一個節(jié)點數(shù)量為N的網絡,有

        星型網絡鄰接矩陣A有兩個非零特征值,分別為如果設定中心節(jié)點是1,則中心節(jié)點的自通信能力為由于任意一個邊緣節(jié)點到中心節(jié)點的距離均為1,所以通信矩陣第一行和第一列的元素均相等,即

        對角線上的其余元素也相等,cii=(c11+N?2)/(N?1)(i=2,···,N).不難想象,任意一對邊緣節(jié)點間的最短路徑距離均等于2,因此通信矩陣中剩余元素均等于

        于是,星型網絡的通信序列為

        相應的通信序列熵:

        對于星型網絡,每條邊對應的局部電導均等于1,即G1i=1(i2).當輸入輸出節(jié)點均不為中心節(jié)點時,輸入節(jié)點和輸出節(jié)點間的局部電導Gij=0.5(i=j=1).因此星型網絡的全局平均電導為

        因此,對于孤立節(jié)點網絡、完全網絡和星型網絡,可以得出如下結論:SN(孤立)

        4 復雜網絡SN與之間的關聯(lián)性研究

        本節(jié)以小世界網絡[6]、無標度網絡[7]、關聯(lián)無標度網絡、有社團的網絡[37]以及IEEE57等節(jié)點網絡為例研究復雜網絡的通信序列熵和電輸運性能之間的關聯(lián)特性.

        4.1 小世界與無標度網絡

        圖2 WS 小世界網絡的 (a) 通信序列熵 SN 和 (b) 平均全局電導與 重連概率 Prew 的依賴關系; (c),(d) 相應的 SN 與之間的關系Fig.2.Dependence of (a) communicability sequence entropy S N and (b) mean global conductance on rewiring probability of WS small-world network; (c),(d) the relation between SN and of WS small-world network.

        在圖2(a)和(b)中分別展示了WS小世界網絡的通信序列熵SN,平均全局電導與重連概率Prew的關系,其中網絡尺寸N=1000,表示網絡的平均度.在重連概率Prew從 0 (對應一個完全規(guī)則的網絡)增加到1 (對應一個完全隨機的網絡)的過程中,網絡的SN和均呈現(xiàn)出增大的趨勢.對于較小的Prew,SN和呈現(xiàn)非常緩慢的增長趨勢,當Prew近似大于 1 0?2時,SN和都呈現(xiàn)出明顯的增長趨勢.由此可以得出在網絡節(jié)點和邊一定的情況下,SN(規(guī)則)

        這里,采用Gao個人網站[38]上的算法生成無標度網絡并控制最大節(jié)點度kmaxN1/2,以保證不同度分布指數(shù)γ下的無標度網絡具有相同的平均度,并且使生成的網絡近似于無關聯(lián)網絡.進而研究通信序列熵SN,平均全局電導與度分布指數(shù)γ的依賴關系.其中網絡尺寸N=1000,代表網絡的平均度.圖3(a)和(b)顯示,在嚴格控制成本后,熵SN隨著γ的增大逐漸增大,也隨著γ的增大而增大.并且在節(jié)點一定的情況下,SN和都 會隨著的增大而增大.在文獻[16]中已經詳細地研究了無標度網絡P(k) ~k?γ的電輸運性能.在本文中,會 隨著γ的增大而增大,而文獻[16]恰好顯示了一個相反的結果,但這二者并不矛盾,原因是文獻[16]并沒有嚴格控制不同度分布指數(shù)下的無標度網絡具有相同的平均度.在他們的模型中,平均度會隨著γ的增大而減小.而我們顯示的結果表明在控制不同γ的無標度網絡具有相同的平均度這一前提下,將 隨著γ的增大而增大.類似地,將與SN映射在同一個坐標系下,從圖3(c)和(d)中可以明顯地看出二者也成正關聯(lián).對于無標度網絡,隨著度分布指數(shù)γ的增大,節(jié)點之間的通信能力變得越來越均勻,網絡逐漸從有序向無序轉變,當γ→ ∞時,網絡幾乎是一個ER隨機網絡,此時通信能力變得最均勻,達到最無序的狀態(tài),所以SN會隨著γ的增大而增大.另一方面,在無標度網絡中,由于存在樞紐節(jié)點,在電輸運模型中,這些節(jié)點會影響電輸運效率[16].所以當γ逐漸增大時,網絡向隨機網絡演化,度-度異質性變弱,樞紐節(jié)點的影響力越來越小,電輸運性能不斷增強.

        圖3 無標度網絡的 (a) 通信序列熵 SN 和 (b) 平均全局電導與 度分布指數(shù) γ 的依賴關系; (c),(d) 將與 SN 映射在同一坐標系下的結果Fig.3.The dependence of (a) communicability sequence entropy S N and (b) mean global conductance on degree distribution exponent γ of scale-free network; (c),(d) the results of mapping w ith SN in the same coordinate system.

        4.2 關聯(lián)無標度網絡

        大多數(shù)真實網絡不僅具有度分布的無標度特性,而且還具有度-度關聯(lián)特性.實證表明,絕大多數(shù)社會網絡呈現(xiàn)正關聯(lián)特性,而自然網絡則趨向于負關聯(lián)特性.常見的衡量網絡度相關特性的方法有基于最近鄰平均度值knn(k) 的度-度相關性和基于Pearson相關系數(shù)r的度-度相關性[39].對于前者,當knn(k) 是 關于k的單調增函數(shù)時,表明網絡中度大的節(jié)點傾向于連接度大的節(jié)點,網絡是正相關的;當knn(k) 是 關于k的單調減函數(shù)時,表明網絡中度大的節(jié)點傾向于連接度小的節(jié)點,網絡是負相關的.對于后者,若r>0,網絡是正相關的; 若r<0,網絡是負相關的; 若r=0,則表明網絡中節(jié)點的度-度之間不具有相關性.

        事實上,Xue等[20]提出了一種通過分類或選型拓撲對無標度網絡的傳輸效率進行調優(yōu)的方法,闡明無標度網絡的獨特傳輸行為是由度分布的異質性造成的,從數(shù)值仿真結果發(fā)現(xiàn)在無標度網絡從異配(負關聯(lián))演變到同配(正關聯(lián))的過程中,網絡的平均全局電導逐漸減小(如圖4(b)和(e),度分布指數(shù)分別為γ=2.5 和γ=3.0).下面我們將研究關聯(lián)的無標度網絡的通信序列熵和電輸運性能之間的關聯(lián),其中N=3000,=4.圖4(a) 和 (d)分別展示了度分布指數(shù)γ=2.5 和γ=3.0 下的SN和度-度關聯(lián)系數(shù)r的依賴關系,結果表明通信序列熵SN呈現(xiàn)出與平均電導類似的變化關系,即SN是關于r的單調遞減函數(shù).在文獻[40]中,Johnson等通過引入吉布斯函數(shù)熵,利用最大熵原理證明了負關聯(lián)的無標度網絡的熵大于無關聯(lián)的無標度網絡的熵,給出了自然網絡趨向于負關聯(lián)特性的一個解釋.這里,基于通信序列熵也得出了同樣的結論.最后將通信序列熵SN和平均全局電導映射在同一個坐標系下(圖4(c)和(f)),可以明顯地看出SN與成正關聯(lián)特性.對于圖4(a) 和 (d),可作如下解釋: 在無標度網絡中由于大量的節(jié)點只擁有少量的連邊,少部分節(jié)點擁有大量的連接.因此,大度節(jié)點和大度節(jié)點相連,會導致大度節(jié)點之間具有更強的通信能力,而大部分小度節(jié)點之間的通信能力會較小,導致通信序列中元素的分布變得不均勻.于是網絡從異配演變到同配的過程中,通信序列熵會減小.對于電輸運性能而言,在同配模型中,大度節(jié)點和大度節(jié)點相連會導致電輸運效率下降,電導減小[20].

        圖4 度分布指數(shù) γ 分別等于 (a) 2.5 和 (d) 3.0 時的關聯(lián)無標度網絡的通信序列熵 S N 與度-度關聯(lián)系數(shù) r 的依賴關系; 相應的平均全局電導 與 關聯(lián)系數(shù) r 的依賴關系,γ 分別等于 (b) 2.5 和 (e) 3.0; (c),(f)與 SN 的關系曲線Fig.4.Dependence of communicability sequence entropy S N of the scale-free network on the degree-degree correlation coefficient r,here,the degree distribution exponent γ is equal to (a) 2.5 and (d) 3.0,respectively; (b),(e) the dependence of the mean global conductance on the correlation coefficient r ; (c),(f) the a nd SN relation curve.

        4.3 社團網絡

        實證研究表明,許多真實網絡都含有社團結構,即整個網絡由若干個社團組成,每個社團內部之間的節(jié)點連接比較緊密,社團之間具有少量的連接.下面研究具有社團結構的網絡對通信序列熵和電輸運性能的影響.首先,基于文獻[37]的算法,以BA網絡和ER網絡[41]為基礎構造具有社團結構的無標度網絡和隨機網絡.以BA網絡為例,具體算法如下: 1)按照文獻[7]的方法生成一個包含N個節(jié)點和E條邊的 BA網絡; 2)生成a個獨立的BA社團網絡,每個社團擁有幾乎相等的節(jié)點和邊,在各自獨立的集團中隨機選取少量的邊斷開,并將這些斷開的邊的端點連接到其他社團中斷開的邊的端點上,組成一個含有a個社團的網絡(圖5).

        分別計算基于BA和ER的同等規(guī)模且平均度相同的社團網絡的通信序列熵SN,平均電導和社團數(shù)量a的關系,相應的數(shù)值結果如表1所示.隨著網絡中社團數(shù)量的增加,這兩種類型網絡的通信序列熵SN和平均電導均逐漸減小.由于社團的存在,其內部的點連接相對稠密,社團之間的連接稀少,這就導致了通信序列中的元素分布不均勻,因而通信序列熵SN變小.社團數(shù)量越多,元素分布的不均勻性越強,通信序列熵SN就會越小.另一方面,對于電導而言,社團內部節(jié)點之間的局部電導較大,而處在不同社團的節(jié)點對之間局部電導較小,然而這些節(jié)點對的數(shù)量占主導地位,所以平均電導隨著社團數(shù)量的增加而減小.因此,對于含有社團結構的網絡而言,通信序列熵SN和平均電導成正關聯(lián)特性.

        表1 含有社團結構的網絡[BA (左),ER (右)]通信序列熵 SN 、平均全局電導與社團個數(shù)的關系Table 1.Relationship between communicability sequence entropy SN,mean global conductance and number of communities in networks[BA (left),ER (right)] containing communities.

        表1 含有社團結構的網絡[BA (左),ER (右)]通信序列熵 SN 、平均全局電導與社團個數(shù)的關系Table 1.Relationship between communicability sequence entropy SN,mean global conductance and number of communities in networks[BA (left),ER (right)] containing communities.

        ER SN images/BZ_280_721_1206_811_1285.png1(C1) 0.9363 1.9380 1 0.9704 2.2106 2 (C2) 0.8925 1.6168 2 0.9256 1.8006 3 (C3) 0.8703 1.5026 3 0.9010 1.6625 4 (C4) 0.8512 1.4401 4 0.8832 1.5728 5 (C5) 0.8440 1.3929 5 0.8704 1.5203 6 (C6) 0.8409 1.3653 6 0.8642 1.4813 BA SN images/BZ_280_721_1206_811_1285.png

        圖5 以BA網絡為例構建的社團網絡可視化圖,社團個數(shù)為1—6,分別表示為C1—C6.圖中每一個網絡中社團網絡的生成方式都是按照文獻[7]的方法生成.網絡規(guī)模 N=900,網絡邊數(shù) E ≈2700.具體算法如下: 1)首先生成一個含有900個節(jié)點,2700條邊的BA網絡(圖C1); 2)生成兩個含有450個節(jié)點、1350條邊的BA網絡,然后在每個社團中隨機斷開少量的邊,并將這些斷開的邊連接到其他社團中斷開的邊的端點上,形成一個含有兩個社團的網絡C2; 3)以此類推,便可生成含有3,4,5,6個社團的 BA 網絡 C3,C4,C5,C6Fig.5.A visualization of the community network based on the BA network.The number of communities is 1 to 6,which are denoted as C1 to C6.The generation method of the community network in each network in the figure is generated according to the method of Ref.[7].The network size is N=900,the number of network edges is E ≈2700.The specific algorithm is as follows:1) First,a BA network with 900 nodes and 2700 edges is generated,as shown in figure C1; 2) two BA networks containing 450 nodes and 1350 edges are generated,and then a small number of edges are randomly disconnected in each community,and these disconnected edges are connected to the endpoints of the interrupted edges of other communities to form a network C2 containing two communities; 3) in this way,BA network C3,C4,C5 and C6 containing 3,4,5 and 6 communities can be generated.ntaining 3,4,5 and 6 communities can be generated.

        4.4 IEEE57和IEEE118節(jié)點網絡

        最后,以IEEE57節(jié)點和IEEE118節(jié)點供電網絡為例,測試了三個dk隨機化參考模型 (d=0,1,2) 以及網絡本身的通信序列熵和平均全局電導,結果如表2 所示.這里,d=0 可以保證在隨機布線的過程中與原網絡具有相同的節(jié)點數(shù)和邊數(shù);d=1可以保證隨機布線的過程中與原網絡具有相同的節(jié)點數(shù)和度分布;d=2 則是保證與原網絡具有相同節(jié)點、度分布和二階度相關性.顯然,階數(shù)d越大,隨機化網絡模型就越接近原始的網絡.隨機化參考模型采用文獻[42]中的算法生成.結果表明,從0階模型演化到2階模型的過程中,通信序列熵和平均電導均逐漸減小,并且都大于原始網絡的通信序列熵和平均電導.這是因為在不考慮權重的情況下,0階模型是最無序的,通信序列元素集中在某個值附近,熵最大.隨著階數(shù)的增加,網絡逐漸從無序狀態(tài)轉變到有序狀態(tài),熵逐漸減小.對于電輸運性能而言,真實的網絡通常是復雜拓撲結構的共同體,根據(jù)前面的研究結論,真實網絡的電輸運性能比其各階隨機化模型的電輸運能力要小是不難理解的.另外可以推測出當隨機化模型階數(shù)充分高時,相應的通信序列熵SN和平均電導將無限的接近于原始網絡的SN和.因此,可以得出SN和成正關聯(lián).需要指出的是,這里討論的均是無權網絡,然而對于真實電氣節(jié)點網絡而言,每條連接都是有權重的,通信序列熵能否有效表征有權重網絡的電輸運能力是下一步要研究的內容.

        表2 電力供需網絡以及對應的隨機化參考模型的 SN 和平均電導,IEEE57 (左),IEEE118 (右)Table 2.Power supply network and corresponding randomized reference model S N and mean global conductance,IEEE57 (left),IEEE118 (right).

        表2 電力供需網絡以及對應的隨機化參考模型的 SN 和平均電導,IEEE57 (左),IEEE118 (右)Table 2.Power supply network and corresponding randomized reference model S N and mean global conductance,IEEE57 (left),IEEE118 (right).

        IEEE57 SN images/BZ_280_721_1206_811_1285.pngIEEE118 SN images/BZ_280_721_1206_811_1285.png0階 0.8744 0.6404 0階 0.8884 0.7418 1階 0.8502 0.6302 1階 0.8692 0.7388 2階 0.8391 0.6225 2階 0.8689 0.7086原始 0.8116 0.5616 原始 0.8029 0.4981

        5 結 論

        在文獻[33]中已經提出了可以基于通信函數(shù)[34,35]的通信序列熵來表征網絡的整體拓撲信息,并基于該測度比較成功地量化了網絡之間的差異性.本文從網絡的通信能力這一角度系統(tǒng)地研究了網絡的電輸運性能與通信序列熵的關聯(lián)性.首先,通過對孤立節(jié)點網絡、完全網絡和星型網絡等特殊網絡的通信序列熵SN,電輸運性能指標進行相關的理論研究,發(fā)現(xiàn)這三種網絡的SN大小順序與的大小順序是一致的.其次,在聚焦網絡成本(節(jié)點和邊)一定的條件下,研究了小世界網絡、無標度網絡、關聯(lián)無標度網絡、有社團結構的網絡以及IEEE57 等節(jié)點網絡的SN與之間的關聯(lián).研究發(fā)現(xiàn),這些網絡的SN與成正關聯(lián).具體來講,從規(guī)則網絡演變到小世界網絡的過程中,網絡的SN和都逐漸增大; 對于無標度網絡,在度分布指數(shù)逐漸增大的過程中,網絡的SN和均逐漸增大; 對于度-度關聯(lián)性改變的無標度網絡,從異配演變到同配的過程中,SN和都逐漸減小; 對于含有社團結構的網絡,SN和均隨著社團數(shù)量的增加而減小.最后研究了IEEE57和IEEE118兩個經典的節(jié)點供電網絡以及相應的隨機化模型的SN和之間的關聯(lián).結果表明,隨著隨機化模型階數(shù)d的增加,SN和都逐漸減小,并且都越來越接近原始網絡的SN和.綜上所述,對于以上所研究的網絡而言,它們的通信序列熵與電輸運性能成正關聯(lián).這一發(fā)現(xiàn),為設計高傳輸效率的電輸運網絡提供了一個有效的策略,即可以通過提高網絡的通信序列熵來優(yōu)化其電輸運性能.值得注意的是,本文尋求出了一個影響電輸運性能的關鍵結構測度,但對于特定網絡,并未展開討論如何改變其結構來提高通信序列熵,進而提升網絡的電輸運性能,然而,后者在工程實際中卻具有更為廣泛的應用價值.為此,這些問題有必要在今后的工作中進一步探索.

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