李海堂

(重慶市榮昌中學(xué)校 402460)

眾所周知，教學(xué)離不開解題，高考真題可以為教師的授課提供有益的、切實(shí)可行的案例，有利于學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)的理解和思維的發(fā)展. 近年來(lái)，同角三角函數(shù)的基本關(guān)系、三角恒等變換、三角函數(shù)的最值問(wèn)題一直是高考的熱點(diǎn)問(wèn)題，此類問(wèn)題綜合性強(qiáng)、內(nèi)涵豐富，解法多樣. 本文對(duì)2018年高考全國(guó)Ⅰ卷數(shù)學(xué)理科16題進(jìn)行解法探究及變式拓展.

一、試題呈現(xiàn)

已知函數(shù)f(x)=2sinx+sin2x，則f(x)的最小值是____.

二、解法探究

1.利用四元均值不等式，巧妙轉(zhuǎn)化

解法2 由已知得：f(x)=2sinx+sin2x=2sinx(1+cosx)

∴[f(x)]2=4sin2x(1+cosx)2

=4(1-cosx)(1+cosx)3

點(diǎn)評(píng)運(yùn)用的是四元均值不等式解決此題，它的突破口是通過(guò)二倍角公式轉(zhuǎn)化為同一個(gè)角三角函數(shù)，平方后通過(guò)四元均值不等式“一正、二定、三取等”求最值，平方變換是關(guān)鍵，湊成和是一個(gè)常數(shù)是難點(diǎn)，四元均值不等式由于平時(shí)訓(xùn)練較少，學(xué)生難以突破.

2.利用導(dǎo)函數(shù)法，直擊要害

解法3由已知得：

又f(x)=2sinx+sin2x=2sinx(1+cosx),

解法4由已知得：f(x)=2sinx+sin2x=2sinx(1+cosx),

∴[f(x)]2=4sin2x(1+cosx)2=4(1-cosx)(1+cosx)3.

令t=cosx，則g(t)=4(1-t)(1+t)3(-1≤t≤1)

g′(t)=4[-(1+t)3+3(1-t)(1+t)2]=4(1+t)2(2-4t).

點(diǎn)評(píng)通過(guò)對(duì)f(x)求導(dǎo)或[f(x)]2后換元再求導(dǎo)，確定其單調(diào)性，根據(jù)單調(diào)性求出f(x)的最值，關(guān)鍵點(diǎn)是函數(shù)求導(dǎo)，解法4平方轉(zhuǎn)化利用sin2x+cos2x=1換成一個(gè)未知數(shù)cosx的函數(shù)是難點(diǎn)，求導(dǎo)方法學(xué)生容易想到，但容易出錯(cuò).

3.利用幾何方法，凸顯本質(zhì)

解法5由已知得：

f(x)=2sinx+sin2x=2sinx(1+cosx).

設(shè)sinx=m，1+cosx=n，則m2+(n-1)2=1，f(x)=2mn.

問(wèn)題轉(zhuǎn)化為在m2+(n-1)2=1下，求2mn的最小值.

當(dāng)m=0時(shí)，f(x)=0.

求f(x)的最小值只需考慮t<0的情況.

解法6 由已知得：f(x)=2sinx+sin2x=2sinx(1+cosx).

設(shè)sinx=m，1+cosx=n，則m2+(n-1)2=1，f(x)=2mn.

問(wèn)題轉(zhuǎn)化為在m2+(n-1)2=1下，求2mn的最小值.

當(dāng)m=0時(shí)，f(x)=0.

令f(n)=-n4+2n3(0≤n≤2),

點(diǎn)評(píng)把三角問(wèn)題通過(guò)換元轉(zhuǎn)化為幾何問(wèn)題，采用雙換元的思想，通過(guò)三角變換消去sinx、cosx，利用數(shù)形結(jié)合的思想，研究?jī)汕€的切線問(wèn)題求得其最小值，對(duì)考生的化歸與轉(zhuǎn)化、運(yùn)算求解的能力要求較高.

三、變式拓展

通過(guò)對(duì)問(wèn)題進(jìn)行拓展研究，給出如下變式.

變式1已知函數(shù)f(x)=2sinx+cos2x，則f(x)的最小值是____.

解由f(x)=2sinx+cos2x得

當(dāng)sinx=-1時(shí)，f(x)取得最小值，最小值為-3.

變式2已知函數(shù)f(x)=2sin2x+sin2x，則f(x)的最小值是____.

解由f(x)=2sin2x+sin2x得

變式3已知函數(shù)f(x)=2sinx+2cosx+sin2x，則f(x)的最小值是____.

解法1由f(x)=2sinx+2cosx+sin2x得

故當(dāng)t=-1時(shí)，y最小即f(x)取得最小值，最小值為-2.

∴g′(t)

如果學(xué)生在平時(shí)的練習(xí)中能總結(jié)這些題型的方法，三角函數(shù)求最值問(wèn)題就很容易得到解決.

(1)形如y=asin2x+bsinx+c的三角函數(shù)，可先設(shè)t=sinx，轉(zhuǎn)化為關(guān)于t的二次函數(shù)求最值問(wèn)題.

(2)形如y=asinx+bcosx+c的三角函數(shù)，可轉(zhuǎn)化為y=Asin(ωx+φ)+k的形式，再求最值.

當(dāng)然，有些三角函數(shù)求最值的題目難度較大，要利用三角恒等變換、換元思想通過(guò)均值不等式或用導(dǎo)函數(shù)求最值，這種題目換元化簡(jiǎn)及求導(dǎo)都較復(fù)雜，易出錯(cuò)，找導(dǎo)函數(shù)的零點(diǎn)是一個(gè)難點(diǎn)，運(yùn)算能力要求也較高.