王冬冬

(甘肅省靜寧縣仁大中學(xué) 743400)

一、引言及舉例

由于空間線面角和面面角是近年高考數(shù)學(xué)立體幾何部分的高頻考點(diǎn)，所以本文擬通過(guò)典例剖析的形式，具體說(shuō)明兩種常用解題技巧——“幾何法”和“空間向量法”.通過(guò)不同解法的對(duì)比，可以進(jìn)一步體驗(yàn)：對(duì)于同一數(shù)學(xué)問(wèn)題，思考的出發(fā)點(diǎn)不同，則獲得的解題思維也不同，這其中就涉及到解法的優(yōu)與劣.

(1)求證：直線AB⊥平面DEF；

(2)求直線BE與平面DAB所成角的正弦值．

好題點(diǎn)睛本題亮點(diǎn)體現(xiàn)在以平面圖形的翻折為載體，主要考查立體幾何中線面垂直的證明與線面角的求解，體現(xiàn)了近年高考命題的熱點(diǎn)，側(cè)重考查考生的空間想象能力、數(shù)形結(jié)合能力、邏輯推理能力以及運(yùn)算求解能力.

二、多解探究

1.第一問(wèn)解法

因?yàn)镋、F分別是AC、AB的中點(diǎn)，所以EF∥BC.又因?yàn)椤螦BC=90°，所以可得EF⊥AB．

因?yàn)镈A=DC，E是AC的中點(diǎn)，所以DE⊥AC．又因?yàn)槠矫鍭DC⊥平面ABC，平面ADC∩平面ABC=AC，DE?平面ADC，所以DE⊥平面ABC，所以DE⊥AB．

又因?yàn)镋F∩DE=E，故由直線與平面垂直的判定定理得直線AB⊥平面DEF．

2.第二問(wèn)解法一：幾何法

作EO⊥DF，垂足為O，連接OB，由(Ⅰ)可知AB⊥平面DEF，又EO?平面DEF，可得AB⊥EO，又DF∩AB=F，所以EO⊥平面DAB，則直線BE與平面DAB內(nèi)的射影為OB，所以∠OBE就是直線BE與平面DAB所成的角.

圖3

3.第二問(wèn)解法二：空間向量法