陶漢斌

(浙江省金華第一中學(xué) 321015)

一、RC電路的一般特征

當uc=E時，i=0，充電過程結(jié)束.試驗證明，充電過程可用下面公式進行描述，即

從公式中不難看出，充電過程中uc和i是按指數(shù)規(guī)律變化的，而充電的快慢取決于電阻和電容的乘積，因此稱RC為時間常數(shù)τ，即τ=RC.如果R和C的單位取歐姆和法拉，則τ的單位為秒.從中可以看出，τ越大充電越慢.當t=3τ時，uc=0.95E，當t=5τ時，uc=0.993E.一般認為當t=3τ～5τ時，電容器上的電荷已被充滿.我們可用圖2所示的圖線來直觀理解電容器充電過程中電流與時間的關(guān)系.

當t=4τ～5τ時，工程上即認為電容的初始儲能已被全部消耗，也就是放電完畢.其放電過程的中電流與時間的關(guān)系與如圖2相仿.

當然，如果當開關(guān)打接到a充電時電容器的初始電壓uc不為零，那么充放電過程的公式將更加復(fù)雜，在這里就不進行討論了.

二、理解短暫過程與持續(xù)過程

在RC電路中，充放電的快慢取決于電阻和電容的乘積，因此稱RC為時間常數(shù)τ.當t=5τ時電容器充放電基本完成，那么這個5τ時間能否理解為“瞬間”的短暫過程呢？還是應(yīng)該理解為一個較長的持續(xù)過程呢？

我們可以設(shè)想在12V電源上充電，理想狀態(tài)電池沒有內(nèi)阻，連接的導(dǎo)線也沒有電阻，τ=RC=0，充電時間等于0，瞬間電流無窮大，這當然就應(yīng)該理解為“瞬間”的短暫充電過程.同理如果電容器放電的過程中電路中的所有電阻都可忽略不計，比如用一根足夠強度的金屬絲，直接短路電容器兩端使它放電，則由于金屬絲長度很短，電阻很小，造成短路電流很大，電容器儲存的電荷瞬間被釋放完畢，這也是“瞬間”的短暫放電過程.

在實際的電路中肯定存在一定的電阻，比如整個電路的等效電阻為1Ω，電容器的電容為1000uF，時間常數(shù)τ=RC=1ms，充放電的時間可認為就是5τ=5ms，這個過程就可理解為較長的持續(xù)過程.如果我們將電容器換成1F的超級電容，那么時間常數(shù)τ=RC=1s，充放電的時間就是5τ=5s，這應(yīng)該是一個相當?shù)拈L的持續(xù)過程了.這種短暫過程與持續(xù)過程，在經(jīng)典力學(xué)中涉及動量守恒問題時也常常有這兩種過程的分析.

三、典型錯例欣賞

(1)導(dǎo)體棒獲得初速度v0時，電容器的帶電量；

(2)導(dǎo)體棒上滑過程中加速度的大小

(3)求導(dǎo)體棒從最高點滑到低端的時間.

解析本題從力與能量兩個角度分析電磁感應(yīng)現(xiàn)象，根據(jù)法拉第電磁感應(yīng)定律、歐姆定律和電流的定義式推導(dǎo)出電流與加速度的關(guān)系是解題的關(guān)鍵.對于第2小題導(dǎo)體棒切割類型，關(guān)鍵要正確受力分析，把握其運動情況和能量轉(zhuǎn)化關(guān)系.

(1)【霧里看花】

當導(dǎo)體棒獲得初速度v0時將產(chǎn)生感應(yīng)電動勢，電容器的電壓等于此時導(dǎo)體棒切割磁感線產(chǎn)生感的應(yīng)電動勢，即

U=E=BLv0

此時電容器的帶電量為

q=CU=CBLv0

【正本清源】 由于電容與導(dǎo)體構(gòu)成的回路中，整個回路的電阻為0，電容器初始電壓為0，電容器充電的過程是一個短暫的過程.在這個短暫的過程中，導(dǎo)體棒的電流為無窮大，它將受到很大的安培力作用(此時重力可忽略)，在瞬間安培力的作用下導(dǎo)體棒的速度發(fā)生突變而位置不變，這類似經(jīng)典力學(xué)中的瞬間碰撞過程.我們可在這個短暫的過程對棒應(yīng)用動量定理

-BiL·Δt=mv-mv0

而充電的電流

mgsinθ-F安=ma

又F安=BiL，

聯(lián)立方程可解得

導(dǎo)體棒的運動是向上做勻減速運動的一個持續(xù)過程.

(3)【霧里看花】上滑過程中導(dǎo)體棒做勻減速運動，由運動學(xué)公式求出導(dǎo)體棒上滑的最大距離.對于下滑過程運用動量定理和積分法求導(dǎo)體棒的運動時間.

以最大速度勻速下滑時

導(dǎo)體棒下滑的過程中，由動量定理可得

mgsinθ·t1-I安=mv1-0

mgsinθ-F安=ma

所以開關(guān)打到a后做勻加速度直線運動

以最大速度勻速下滑時

解得最大速度為

導(dǎo)體棒下滑的過程中，由動量定理可得

mgsinθ·t1-I安=mv1-0

開關(guān)打到a時為瞬間的短暫過程，這個過程速度v1會發(fā)生突變，我們對這個短暫的過程對棒應(yīng)用動量定理-BiL·Δt=mv2-mv1

此過程中電容器的充電量為q′=CBLv2

然后導(dǎo)體棒做勻加速度運動對電容器繼續(xù)充電，根據(jù)牛頓第二定律mgsinθ-F安=ma

同樣我們可解得

所以開關(guān)打到a之后的持續(xù)過程中，導(dǎo)體棒做勻加速度直線運動，由運動學(xué)公式